运筹学-目标规划

1、运筹学目标规划OR21第1页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR22第五章 目标规划要求1、理解概念2、掌握建模3、掌握图解法和单纯形解法4、理解目标规划的灵敏度分析第2页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR235.1目标规划的概念及数学模型1多目标问题多目标线性规划例1 产品资源 A B限量原材料（kg)设备（台时） 2 1 1 2 11 10单位利润 8 10求利润最大的生产方案。第3页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR24例2：例1的要求多元化：决策者在原材料供应受严格限制的基础上： 1、首先是产品A的产量不大于产

2、品B的产量。 2、其次是充分利用设备的有效台时，不加班。 3、再次是使利润额尽可能达到并超过计划利润指标56元。此问题即为多目标决策问题，目标规划就是解这类问题的方法。 A B限量原材料（kg)设备（台时） 2 1 1 2 11 10单位利润 8 10minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3-第4页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR25例2的解法解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x250 (1) x1+ 2x2 40 (2) 2）目标约束：那些不

3、必严格满足的等式约束和不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些约束中可以加入正负偏差变量。第5页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR263）偏差变量：目标约束不是刚性的，而是弹性的，允许在一定范围内有偏差，这更接近于实际。为表达这种灵活性，便引入了偏差变量的概念，偏差变量有正负之分，正偏差变量表示为：d+， d+表示超过目标值的部分；负偏差变量表示为： d-， d-表示不足目标值的部分.显然有d- d+=0（？）第6页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR274）

4、目标（期望）值：是指预先给定的某个目标的期望值。5）实际值：是指当决策变量选定以后，目标函数的对应值。显然： d+实际值目标值0 d-目标值实际值 0尽可能达到并超过计划利润指标56元，此处的56元即为目标值第7页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR286）目标函数的优先级与权系数:目标的重要程度不同，因此目标的满足有先有后，即有优先级别。设最重要的为P1级，次之者为P2级 P看成实数 ，且有 P1P2注：目标的优先级是一个定性概念，不同的优先级之间无法用数量衡量，仅仅表示优化过程中的目标考虑的先后次序。对于同一优先级的不同目标，按其重要程度可分别赋予不同的权系数。权系

5、数是一种可以用数量表示的指数，因此，对于一个具体的目标规划问题，它是一个数字。第8页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR297）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。目标函数的基本形式有三种：1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽可能地小，这时， minZf(d+d-).2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正偏差变量要尽可能地小，这时， minZf(d+).3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量要尽可能的小，这时， minZf(d-) 显然，本题目标函数表示为：minZ=P1 d1+ +P2 (

6、d2-+ d2+) +P3 d3- 第9页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR210综上所述，本题的数学模型为： minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3- 2x1+x2 11 x1 - x2+ d1- -d1+=0 x1+2x2+ d2- -d2+ =10 8x1 + 10 x2+ d3- -d3+ =56 x1 ，x2 ，di-，di+ 0 ,i=1,2,3第10页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR211几点说明：1）有时绝对约束转化为目标约束，则不再表示为绝对约束。2）有时同级别的目标中，其重要程度又有差别，则设

7、置不同的权重。第11页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR212目标规划问题的特点：1）问题的目标函数是关于优先等级、权系数和偏差变量的极小化函数；2）约束条件由绝对约束或目标约束构成；3）所有决策变量和偏差变量都受到非负约束。第12页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR213例3：请建立以下问题的数学模型某建筑施工单位计划生产A,B两种预制构件。决策者首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额指标62.5kw/日，其次考虑完成与超额完成利润指标10百元/日。每日可供给予制水泥8吨。其它有关数据如下表，问应如何确定A,B的产量。产品耗电量(kw/产

8、品）水泥消耗（吨/产品）利润（百元/产品）A1021B1212第13页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR214课堂练习：某工厂生产A、B两种产品，已知有关数据如下：要求：首先、B产品不超过10单位；其次，利润不低于1600元，再次，充分利用2车间的生产能力，尽量不加班。请建立该问题的模型。 产品资源 A B限量1车间2车间 2 1.5 1 25040单位利润 80 100第14页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR215图解法的基本步骤：（1）先作硬约束与决策变量的非负约束，同一般线性规划作图法。（2）作目标约束，此时，先让di- -di+0，

9、然后标出di- 及di+的增加方向（实际上是目标值减少与增加的方向）。（3）按优先级的次序，逐级让目标规划的目标函数中极小化偏差变量取0，从而逐步缩小可行域，最后找出问题的解。5.2目标规划的图解法第15页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR2165.2目标规划的图解法图解例2:minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3- 2x1+x2 11 x1 - x2+ d1- -d1+=0 x1+2x2+ d2- -d2+ =10 8x1 + 10 x2+ d3- -d3+ =56 x1 ，x2 ，di-，di+ 0 ,i=1,2,3第16页，共30页，

10、2022年，5月20日，18点42分，星期三OR217例4：第17页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR218考虑目标规划数学模型的一些特点，作以下规定：1）因目标函数为求最小化，所以要求2）因非基变量检验数中含有不同等级的优先因子，即 ，因p1p2pk；从每个检验数的整体看：检验数的正、负首先决定于p1的系数a1j的正负，若a1j0， 则此检验数的正、负就决定于p2的系数a2j的正负，依次类推。5.3 目标规划的单纯形解法第18页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR2193)目标规划使用单纯形法求解， di-，di+ 视为普通变量。P1P2 P

11、L第19页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR220求解目标规划单纯形法的步骤：P1051、建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行，置k=1。2、检查该行中是否存在负数，且对应的前k1行的系数是零。若有负数，取其中最小者对应的变量为换入变量，转（3），若无负数，则转（5）。3、按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。4、按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回（2）。5、当k= K时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置k= k 1，返回到（2）。第20页，共30页，2022年，

12、5月20日，18点42分，星期三OR221例题5:用单纯形法求解下列目标规划问题 minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3- 2x1+x2 11 x1 - x2+ d1- -d1+=0 x1+2x2+ d2- -d2+ =10 8x1 + 10 x2+ d3- -d3+ =56 x1 ，x2 ，di-，di+ 0 ,i=1,2,3第21页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR2225.5 目标规划的灵敏度分析例5：已知目标规划问题：目标函数的等级变化为：试分析原解有什么变化？第22页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR22

13、3CBXBbx1x22p13p1p2p3x2X1641820100100010-3-1-1031-11-201-120001000-100001000-100P200000000302-300203-20000010000001P1P2p3解:原问题的最优单纯形表为：第23页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR224问题1的变化情况为：第24页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR225CBXBbx1x22p13p1p2p3x2X1641820101100010-3-1-1031-11-201-120001000-100001000-100P200

14、000000302-300203-20000010000001P1P2p3p2p3000此时，检验数大于等于零，可见，原解仍是满意解。p3003203002302001010第25页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR226CBXBbx1x22p13p1p2p3x2X1641820101100010-3-1-1031-11-201-120001000-100001000-100P200000000302-300203-20000010000001P1P2p3p12p23p2p1-320300200-230100p1级的检验数不是大于等于零，则p1级目标未实现，继续迭代。

15、过程见书第108页。第26页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR227某单位考虑职工的升级调资方案时，依次遵守得规定：1、不超过年工资总额60000元；2、每级的人数不超过定编规定的人数；3、二、三级的升级面尽可能达到现有人数的20，且无越级提升；4、三级不足编制的人数可录用新职工，又一级的职工中有10要退休。有关资料如下，问应如何拟定一个满意的方案。等级工资额（元/年）现有人数编制人数123200015001000101215121515合计3742第27页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR228已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之

16、间地供需量和单位运费见下表，有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应地优先等级：P1：B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；P2：A3向B1提供地产量不少于100；P3：每个销地地供应量不小于其需求量地80；P4：所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10。P5：因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4；P6：给B1和B3的供应率要相同；P7：力求总运费最省。试求满意的调运方案。 销地产地B1B2B3B4产量A1A2A3534255642763300200400销量200100450250900/1000其它条件不考虑，用表上作业法得最小运费为2950。第28页，共30页，2022年，5月20日，18点42分，星期三OR229习题： 某工厂计划期内要安排生产A,B两种产品。