整理曲线积分与曲面积分17261

1、精品文档第二十一章曲线积分与曲面积分 1第一型线面积分222求 f(xy + yz + zx)ds,其中 L 是球面 x + y + zL=a与平面x + y + z=0的交线。解法，、,1 、，(xy yz zx)ds =-2(xy yz zx)dsL2 l12222=-(x y z) -(x y - z )ds2 L-1222(x y z )ds 二L解法求曲线L的参数方程。由 x2十y2z22,、2x (x z)(x (1 -2a2z2)J2asin t ,则 .3z a _-(12- 22a22、 a ,z ):一二cost?2a . sin t.6, a .cost sin t, 6

2、cost sin t于是得到两组参数方程aa .,cost sin t 2. 6, a .cost sin t, a .cost sin tJ3asint2 asin t ,3L都具有轮换对称性，则我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和(xy yz zx)ds =3 zxdsLL精品文档精品文档 TOC o 1-5 h z 22 二1222=,3a sint (cost sin t) x (t) y z (t)dt0. 32 二12 二二-3a3 sint (cost sint)dt - -a3 sin2tdt -二a3030解法3作坐标旋转。就坐标是 （x, y）,新坐标是（X,Y）,

3、旋转角为e ,则旋转变换的一般公式为x = X cosH Y sin 8 , y = X sin 6 +Y cos9因为平面x+y+z=0的单位法矢为n =1,1,1,则它与z轴的夹角余弦为cos =13F面分两步进行旋转，先将 Oxy平面旋转 二，得新坐标系Ou,vz;再将Ozu平面旋转巾，得新坐标系 Ouvw。即Oxyz *-Ou vz *Ouvw由旋转公式得于是得x=E(u-v)y =%(u，+v)1 ,0, y0, z a 0的边界线，从球的外侧看去，L的方向为逆时针方向； TOC o 1-5 h z 222222(2)L te球面x +y +z =a和柱面x +y = ax(a a

4、0)的交线位于 Oxy平面上万的部分，从x轴上(b,0,0)(b a)点看去，L是顺时针方向。解 (1)显然，L具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将 L分为三段22Li ： x +y =1, z=0 (x0, y 0)22L2 ： y +z =1, x = 0 (y0, z 0)22L3： x +z =1, y = 0 (x0, z 0)贝UI = (y2 -z2)dx (z2 - x2)dy (x2 - y2)dzL=3 (y2 - z2)dx (z2 - x2)dy (x2 - y2)dzL101=3 y2dx - x2dy = 3 (1 - x2)dx - 3 (1 - y2

5、)dy = -4Li10或 I = (y2 z2)dx (z2 x2)dy (x2 y2)dz精品文档精品文档=3 (y2 -z2)dx=3()(y2 -z2)dxLL1 L2 L3 TOC o 1-5 h z 01-2_222、.=3 y dx 3 -z dx = 3 (1 - x )dx - 3 (1 - x )dx - -4L1L310注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为L1上的积分的3倍。第二种方法：积分曲线 L不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。问题1是否可化为既是 L1上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的

6、3倍，即222222一 22I = (y - z )dx (z -x )dy (x - y )dz = 9 (y - z )dxLL1(2)曲线关于 Ozx平面对称，且方向相反(y2-z2)dx= (y2 -z2)dx(y2-z2)dx = 0lL,y_0L,y 生同理 (x2 y2)dz =(x2 y2)dz=(x2 y2)dz = 0lL,y 0L,ya故 I = (y2 -z2)dx (z2 -x2)dy (x2 -y2)dz = (z2 -x2)dy LL下面求曲线 L的参数方程。方法1利用球面的参数方程x=acossin4, y = asinHsine, z=acos4,代入柱面方程

7、 x2 + y2 = ax得sin * = cos6 ,于是得L的参数方程2JT= acos 日， y=asincos日，z = a|sin|,日从万到一万 TOC o 1-5 h z a aa万法2利用柱面的参数万程 x = - +cos8 , y = sin ,代入球面方程2 222222x +y +z =a，得L的参数方程a a . ax=一十一cos,y= sin, z=a|sin|,日从 2n 到 02 222不妨取方法1中的参数方程进行计算，-二/2I = (z2x2)dy = a2sin21-cos4 ua(cos2 u - sin21)duL-：!./ 2精品文档精品文档0= 2a3 1cos2i cos4 i(2cos2i _1)cH二/2二/2=-2a3 (-1 3cos2 1-cos41-2cos6 1)di031335 3 二 3二-2a 二- - 2 = a2 4 4 2 26 4 2 22值得注意的是第二型的Ozx平面对注2这里利用对称性(不是轮换对称性)，立即可知前两项的积分为 0。 曲线积分与第一型的曲线积分对称性的应用是不同的。例如第一项