lesson42线性规划问题案例建模及讨论

1、五、线性规划问题案例建模及讨论案例1.工业原料的合理利用案例2.农场发展规划问题案例3.最优的货轮装载方案案例4.合理的仓库租借合同案例5.招工方案的制定案例6.配料问题案例7.人员分配问题案例8.最佳项目投资方案案例9.客观评价学生的学习情况1案例1.工业原料的合理利用要制作100套钢筋架子，每套有长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一根。已知原材料长7.4米，应如何切割使用原材料最省。解 下面几种方案都是能节省材料的好方案（见下表）。080302010料头（米）6671727374合计（米）131222211329米21米15米 下料数 方案长度 2设方案用 x1 根，方案用 x2 根，

2、方案用 x3 根，方案用 x4 根，方案用 x5 根。则线性规划模型为：080302010料头（米）6671727374合计（米）131222211329米21米15米 下料数 方案长度 3添加人工变量后，模型变为：方案30根，方案10根，方案50根。即只需90根原材料，就可以制造出100套钢筋架子。余料16米。用单纯形法求得的最优下料方案为：用Lingo求解4约束条件不变，利用LINGO软件计算，最优解为：方案下40根，方案下30根，方案下20根。进一步讨论：用Lingo求解1.将目标函数变为所用原材料“根数最少”，即2.约束条件的改进及完善 在求解线性规划问题时，若约束条件为等式约束， 则

3、容易产生无可行解。 因此在建模的时候，尽量避免使用等式约束。 对于此例，如果条件改为“要求制作29套”钢筋架子， 目标函数仍然用“余料最少”，则相应的模型为：无可行解用Lingo求解5进一步讨论：2.约束条件的改进及完善 在求解线性规划问题时，若约束条件为等式约束， 则容易产生无可行解。 对于本问题，可行的做法是 将所有约束条件改为“”，则相应的模型为：用Lingo求解结果为：方案下100根，方案下50根，余料为10米！ 目标函数应该为 或者 用Lingo求解返回首页6进一步讨论：3. 引进整数限制 对于此例，如果条件改为“要求制作111套”钢筋架子， 目标函数用“所用原材料根数最少”，则相应

4、的模型为： 结果为：方案下33.3根，方案下11.1根，方案下55.5根. 改为 返回首页结果为：方案下32根，方案下12根，方案下55根，方案下1根.7案例2.农场发展规划问题8实例2.某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。 农场劳动力情况为秋冬季3500人天，春夏季4000人天。 如劳动力用不了时可外出干活。其净收入为: 春夏季为2.1元/人.天，秋冬季为1.8元/人.天。 该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。 种作物不需专门投资，而每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。 养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工: 秋冬季100人天，春夏季50

5、人天，年净收入400元/头。 养鸡时不占土地，需人工喂每只鸡秋冬季需0.6人天， 春夏季0.3人天，年净收入为2元/每只鸡。 农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。 三种作物每年需要 的人工及收入情况 如右表所示。 试决定该农场的经营 方案，使年净收入为最大。 9x1x7x6x5x4x3x2土地限制：资金限制：劳动力限制：牛栏限制:鸡舍限制:用Lingo求解10 x1x7x6x5x4x3x2Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 20260.87 Variable Value Redu

6、ced Cost X1 0.000000 16.30435 X2 39.13043 0.000000 X3 0.000000 17.39130 X4 21.30435 0.000000 X5 0.000000 0.4000000 X6 0.000000 0.8086957 X7 0.000000 0.6826087用Lingo求解牛的数量应该为整数11Objective value: 20241.80 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 25.00000 X2 39.31333 0.000000 X3 0.000000 40.00000 X4 21.

7、00000 -200.0000 X5 5.000000 -0.8000000 X6 21.00000 -1.800000 X7 0.000000 1.900000Objective value: 20230.70 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -175.0000 X2 39.00000 -300.0000 X3 0.000000 -120.0000 X4 21.00000 -400.0000 X5 58.00000 -2.000000 X6 0.000000 -1.800000 X7 7.000000 -2.100000用Lingo求解建议种植

8、玉米为整数公顷返回首页12有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的最大允许载重量和容积如右表所示： 现有三种货物待运，有关数据列于下表： 货物数量（件）每件体积（立方米件）每件重量（吨件）运价（元件）ABC600100080010578651000700600为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系。具体要求：前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱不超过10%。问该货轮应装载A、B、C各多少件，运费收入为最大？案例3.最优的货轮装载方案13前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%；前、后舱不超过10%。舱位载重限制:舱位体

9、积限制:商品数量限制:平衡条件:目标函数:货物数量体积件重量件运价件ABC60010008001057865100070060014解 用i1，2，3分别代表商品A、B、C，用j1，2，3分别代表 前、中、后舱，设xij为装于j 舱位的第i 种货物的数量（件）， 则问题的线性规划模型为：Lingo求解15货物数量体积件重量件运价件ABC600100080010578651000700600 Global optimal solution found at iteration: 10 Objective value: 801000.016进一步讨论: 1.目标为总运费最小。 xj = 0，即不装

10、运货物。2.限制B至少装350件，C至少装300件，目标函数求最大。Global optimal solution found at iteration: 336158 Objective value: 787400.0 01600C15000B75275250A后中前Global optimal solution found at iteration: 10Objective value: 801000.0Lingo求解Lingo求解17进一步讨论: 1.目标为总运费最小。 xj = 02.限制B至少装350件，C至少装300件，目标函数求最大。Global optimal solution

11、 found at iteration: 336158 Objective value: 787400.0 01600C15000B75275250A后中前Global optimal solution found at iteration: 10Objective value: 801000.03.限制B至少装350件，C至少装300件，目标函数求最小。 Global optimal solution found at iteration: 10 Objective value: 425000.0Lingo求解返回首页18案例4.合理的仓库租借合同 工厂在今后四个月内需租用仓 库堆存物资。已

12、知各个月所需 的仓库面积如右表所示。 月份1234所需仓库面积（平方百米）15102012仓库租借费用，当租借合同期限越长时，享受的折扣优待越大，具体数字如右表所示。 合同租借期限1个月2个月3个月4个月合同期内每平方百米的租借费用（元）2800450060007300租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积和期限。因此，该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，目标是使所付的租借费用最小。试确定租用方案。 19月份1234所需面积15102012合同租借期限1个月2个月3个月4个月租借费用28004500600

13、07300第1个月的租用面积约束:第2个月的租用面积约束:第3个月的租用面积约束:第4个月的租用面积约束:目标函数:xij 为第i个月签订租用期限为j个月的合同的面积。Lingo求解20Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: 118400.0月份1234所需面积15102012合同租借期限1个月2个月3个月4个月租借费用2800450060007300详细结果如下。21月份1234所需面积15102012对结果做如下说明：（1）总租借费用为118400；（2）租借合同为：1月份签一份租借1个月5平方百米的合同

14、； 1月份签一份租借4个月10平方百米的合同； 3月份签一份租借1个月8平方百米的合同； 3月份签一份租借2个月2平方百米的合同。返回首页22案例5.招工方案的制定 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。 第一项工作可由一个技工单独完成， 或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。 第二项工作可由一个技工或一个力工单独完成。 第三项工作可由五个力工组成的小组完成， 或一个技工领着三个力工完成。 已知技工和力工每周工资分别为100元和80元， 每周每人实际的有效工作时间分别为42和36小时。 为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为： 第一项工作14000小时，第二项18000

15、小时，第三项24000小时。 又能招收到的工人数为技工不超过700人，力工不超过1000人。 试确定招收技工和力工的人数，使总的工资支出为最少。23x11x21x12x22x31x32问题的求解决策变量假设如下： xij第i项工作的第j个方案 所派的组数 详见右表。问题的数学模型为： 24x11x21x12x22x31x32Lingo求解详细结果如下：25x11x21x12x22x31x32328138233912510 Global optimal solution found at iteration: 176 Objective value: 127640.0返回首页26案例6.配料问题

16、 某染料厂用甲、乙、丙三种原料混合配制出 A、B、C三种不同的产品。 原料甲、乙、丙每天的最大供应量分别为100、100、60千克， 每千克单价分别为65、25、35元。 由于A、B、C三种产品的质量限制，要求 产品A中含原料甲不少于50%，含原料乙不超过25%； 产品B中含原料甲不少于25%，含原料乙不超过50%； 产品C的原料配比无限制，产品A、B含原料丙比例无限制。 产品A、B、C每千克的售价分别为50、35、25元。 问应如何安排生产，才能使所获利润达到最大。 表1-4表1-527 原料产品甲乙丙ABCx11x21x31x12x22x32x13x23x33其中xij 表示第i 种产品中

17、含第 j 种原料的数量。则此问题的数学模型为28原料配比约束日供应量约束原料产品甲乙丙ABCx11x21x31x12x22x32x13x23x33Lingo求解29Global optimal solution found at iteration: 10Objective value: 500.0000 原料产品甲乙丙ABC1000050005000根源：定价偏低原料过剩利润太少30Lingo求解Global optimal solution found at iteration: 10Objective value: 500.0000 Global optimal solution fou

18、nd at iteration: 8 Objective value: 3000.000 原料产品甲乙丙ABC10000400606000原料产品甲乙丙ABC1000050005000适当提高定价31原料产品甲乙丙ABC10000400606000原料产品甲乙丙ABC1000050005000规定:产品B至少生产50千克。Lingo求解不生产B产品！32原料产品甲乙丙ABC10000400606000原料产品甲乙丙ABC1000050005000原料产品甲乙丙ABC8713040263447130返回首页33案例7. 人员分配问题 某中型商场每周对售货员的需求如右下表。售货员每周工资为300元

19、。为了保证售货员的休息，规定每人每周工作5天，休息2天，并且休息的2天是连续的。问应该如何安排售货员的作息时间，使得既满足工作需要，又使支出最少？时 间所需售货员人数星期日12人星期一18人星期二15人星期三12人星期四16人星期五19人星期六14人34时 间所需售货员人数星期日12人星期一18人星期二15人星期三12人星期四16人星期五19人星期六14人设决策变量 xi 表示：星期 i 开始休息的员工人数，详见下表。则此问题的数学模型为：35时 间所需售货员人数星期日12人星期一18人星期二15人星期三12人星期四16人星期五19人星期六14人用Lingo求解36Global optimal

20、 solution found at iteration: 13 Objective value: 22.00000 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 1.000000 X2 5.000000 1.000000 X3 3.000000 1.000000 X4 2.000000 1.000000 X5 1.000000 1.000000 X6 7.000000 1.000000 X7 3.000000 1.000000详细结果见下表。37时 间所需售货员人数星期日12人星期一18人星期二15人星期三12人星期四16人星期五19人星期六14人总人数22

21、人返回首页38案例8.最佳项目投资方案某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目1 从第一年到第四年的每年年初投资， 并于次年末回收本利115%；项目2 第三年年初投资，到第五年末能回收本利125%， 但规定最大投资额不超过40万元；项目3 第二年年初投资，到第五年末能回收本利140%， 但规定最大投资额不超过30万元；项目4 五年内每年年初均可投资，并于本年末回收本利106%。 该部门现有资金100万元， 问如何确定投资方案， 使得到第五年末拥有资金的本利额最大？39设决策变量xij表示：项目i在第j年初的投资额，详见下表。40Lingo求解此问题的数学模型为：且为整数41Object

22、ive value: 143.7500 Variable Value X14 0.00000 X23 40.00000 X32 30.00000 X45 48.82075 X11 71.69811 X41 28.30189 X12 0.000000 X42 0.000000 X13 42.45283 X43 0.000000 X44 0.000000详细结果见下表。返回首页42案例9.客观评价学生 的学习情况某专业30名学生连续两个学期的专业综合成绩如右表所示，请对这30人给出客观、合理并具有激励、鞭策作用的“综合排名”。学生学期1学期2学生学期1学期219493167561292951775

23、813908718747248978197373587852071846879021705578669226982885832368709846524667410838625654711827926638012807627625313796428567714777229525715767930496843学生学期1（ai）学期2（bi）学生学期1（ai）学期2（bi）194931675612929517758139087187472489781973735878520718468790217055786692269828858323687098465246674108386256547118279266380128076276253137964285677147772295257157679304968解决思路：将第1学期成绩看做基础成绩，在此基