数学归纳法(第一课时)

1、2.3 数学归纳法第一课时 问题1：在仪容仪表检查中，如何断定我们班的所有同学不戴耳环？方法一： 检查每位同学，确认每位同学不戴耳环。完全归纳法方法二： 检查局部同学，确认他们不戴耳环。不完全归纳法定义： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法。 元素个数无限多个（如与自然数有关的命题）完全归纳法不完全归纳法结论的正确性实际的可行性 用完全归纳法得到的结论正确吗？ 不完全归纳法呢？ 如果一个问题中的元素有无限多个 如与自然数有关的命题，怎样 归纳出其结论的正确性？：问题2：正确不一定正确不可行可 行问题3：通过看视频发现多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

2、1、第一块骨牌倒下2、前一块骨牌倒下一定导致后一块骨牌倒下 多米诺骨牌 数学命题证明目标 每片骨牌倒下要求 1第一片要倒下2假设前片倒下，那么后片也倒下结论 由12知 游戏成功 神奇的比照每个n值都成立 1 n=1时要成立 2假设n=k时成立 那么n=k+1时也成立 由12知 命题成立思考：这个猜测与多米诺骨牌游戏有没有相似的地方？ 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按以下步骤进行：1证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; 2假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立.由(1),(2)可知，命题对从n0开始的所有正整数都成立。 这种证明

3、方法叫做 数学归纳法数学归纳法 (归纳递推) 递推的依据 (归纳奠基) 递推的根底例1.用数学归纳法证明证明: (1)当n=1时,左=12=1，右=n=1时，等式成立(2)假设n=k时，等式成立，即那么，当n=k+1时左=12+22+k2+(k+1)2= =右n=k+1时，等式也成立由(1)、(2)可知，当nN*时，等式都成立步骤： 递推根底不可少，根底归纳假设要用到，依据结论写明莫忘掉。结论例2：证明方法是否正确？为什么？n=1时，左边=1，右边= =1 等式成立n=2时，左边=1+3=4，右边= =4 等式成立n=3时，左边=1+3+5=9，右边= =9 等式成立 从而可知，对nN等式都成

4、立理由：因为是不完全归纳法，缺乏递推的依据，结论不可靠，即使验证 了100个正确也是不严密的。解：等式成立。证明如下： 135(2n1) 135(2n1)n21解：等式成立。证明如下：假设当n=k时等式成立，即135(2k1)k21那么当n=k+1时，135(2k1)(2k1)k21(2k1) (k1)21当n=k+1时等式也成立对nN等式都成立理由：第一步没有证明正确，缺乏递推的根底，从而假设没有根据。强调： 两个步骤缺一不可，因为有第一步无第二步，就是不完全归纳法，结论就不可靠；有第二步而无第一步，第二步中的假设就失去了根底。 第二步的证明n=k+1成立中必须用归纳假设， 并且证明必须详细。1、用数学归纳法证明 35(2n1)n1n1时， 第一步应验证n_时，等式成立。思考与练习：2 在验证n=1时，左端计算所得项为 （ ） (A) 1 (B) 1+2 (C) 123 (D) 12321 则当nk1时，左端应在nk时的左端加上 _ 2、用数学归纳法证明1232nn(2n1)时，B(2k+1)+(2k+2)例3：2、数学归纳法：证明与自然数n有关的命题。 小结：今天我们学习了1、由特殊到一般的归纳思想。步骤： 证明当n取第一