静电场边值问题的唯一性定理

1、静电场边值问题的唯一性定理第1页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四唯一性定理边界条件可将空间里电场的分布唯一地确定下来即给定边界条件后，不可能存在不同的静电场分布该定理对包括静电屏蔽在内的许多静电问题的正确解释至关重要理论证明在电动力学中给出，p59 给出物理上的论证第2页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四几个引理引理一在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值证明（反证）若有极大，则极大极小若有极小，同样证明第3页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四引理二若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0即意味着空间电势有极大值，违背

2、引理一证明（反证）在无电荷空间里电势分布连续变化，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上电势又处处等于零必出现极大值或极小值推广：若完全由导体所包围的空间里各导体的电势都相等（设为U0），则空间电势等于常量U0第4页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四引理三若所有导体都不带电，则各导体的电势都相等证明（反证）若不相等，必有一个最高，如图设U1U2、U3，导体1是电场线的起点其表面只有正电荷导体1上的总电量不为0与前提矛盾引理二 ( )引理三推论：所有导体都不带电的情况下空间各处的电势也和导体一样，等于同一常量第5页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四叠

3、加原理在给定各带电导体的几何形状、相对位置后，赋予两组边界条件：1：给定每个导体的电势Uk（或总电量Qk）2：给定每个导体的电势Uk（或总电量Qk)设U、 U满足上述两条件，则它们的线性组合 U=a U+b U必满足条件3:3:给定每个导体的电势Uk=a Uk+b U k （或总电量Qk= Qk a k+b Q k）特例 ： 取Uk U k，则U=UU(a=1,b=-1)满足4：给定每个导体的电势为0 第6页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四唯一性定理给定每个导体电势的情形第7页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四与电势参考点有关给定每个导体上总电量的情形

4、 第k个导体上的电量电量与场强、电势的关系第8页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四解释静电屏蔽唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特性，又是物理实在，则这种电荷分布就是唯一可能的分布。 图中是根据导体内场强处处为零判断存在两种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布 第9页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四电像法解静电问题的一种特殊方法在一接地的无穷大平面导体前有一点电荷q求空间的电场分布和导体表面上的电荷分布基本思想：利用唯一性定理，边界条件确定了，解是唯一的，可以寻找合理的试探解像电荷第10页，共16页，2022年，5月20日，2点55分

5、，星期四真空中有一半径为R的接地导体球，距球心为a(aR)处有一点电荷Q,求空间各点电势寻找像电荷对称性分析，确定像电荷位置使球面上电势0任取 P点，利用叠加原理求出像电荷位置对所有都成立，即要求第11页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四求p点电势讨论：由Gaoss定理收敛于球面上的电通量为Q，Q=球面上的总感应电荷，它受电荷Q产生的电场吸引从接地处传至导体球上，|Q|Q,Q发出的电力线只有一部分收敛于导体球，剩下的伸展至无穷第12页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四电偶极层设想一厚度均匀的曲面薄壳，两面带有符号相反的面电荷 电偶极层，如图，求P点的电势和场强 第13页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四面元dS在垂直于矢径r方向的投影定义电偶极层强度：单位面积上的电偶极矩 第14页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期四P点的电场强度 电偶极层的电势和场强只与对场点所张的立体角有关几何上决定，电偶极层两侧立体角有的跃变负电荷一侧： 曲面S对场点P所张的立体角正电荷一侧：第15页，共16页，2022年，5月20日，2点55分，星期