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1、4.4 函数的极值x1x2x3x4x5定义41(极值的概念) 设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0 x0)内有定义 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极大值 x0称为函数f(x)的极大值点 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0) 总有f(x)f(x0) 则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x0称为函数f(x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点 (1) 极值是局部性概念注.(2)极值只能在区间内部取得x1x2x3x4x5观察与思考： 如果f(x)在点x0处有极值 且f (x0)存在

2、 则f (x0)有什么特点？ 定理44 (极值的必要条件) 如果函数f(x)在点x0处有极值 且f (x0)存在 则f (x0)0 费尔马(Fermat)引理反之如何？不一定成立！x1x2x3x4x5观察与思考： 曲线的升降与极值之间的关系2. 极值点是单调性的分界点！1. 极大值点左增右减；极小值点左减右增.定理45 (极值的第一充分条件) 设函数f(x)在点x0的某邻域(x0 x0)内连续并且可导(但f (x0)可以不存在) (1)如果当x(x0 x0)时f (x)0 而当x(x0 x0)时f (x)0 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0) (2)如果当x(x0 x0)时f (x)0

3、 而当x(x0 x0)时f (x)0 则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0) (3)如果当x(x0 x0)和x(x0 x0)时 f (x)不变号 则函数f(x)在x0处无极值 由极值的第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：极值点是单调性的分界点！ 解 例1 求f(x)(x1)2(x1)3的单调增减区间和极值 f (x)(x1)(x1)2(5x1) 列表判断 f(x) f (x)x( 1)11(1 )0000非极值 0极小值 解 令f (x) 0 得驻点x1不可导点为x0 列表判断 f(x) f (x)无00极大值x( 0) 01(1 )(0 1) 定理46 (极值的第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f (x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值 解 例3 求函数f(x)x33x的极值 f (x)3x233(x1)(x1)f (x)6x 令f (x)0得驻点x1 x1 因为f (1)60所以f(1)2为极大值 因为f (1)60所以f(1)2为极小值 定理2 (极值的第二充分条件) 设f (x0)0 f (x0)存在 (1

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