GPS高程拟合的转换方法

1、GPS 高程拟合的转换方法（河北理工大学）摘要：本文从GPS定位系统的组成和介绍开始，分析研究了GPS高程的使用意义和不 足，说明大地高、正常高和正高的概念及转换关系，阐述了 GPS 高程拟合的原理。讨论了 绘等值线图法，解析内插法中的多项式曲线拟合方法、三次样条曲线拟合方法和 Akima 曲 线拟合方法，曲面拟合中的多项式曲面拟合法、多面函数曲面拟合法、曲面样条拟合法和移 动曲面拟合方法。研究并分析了 GPS水准拟合的精度评定。关键词：大地高，正常高，高程异常，高程拟合引言GPS系统由GPS卫星星座（空间部分）、地面监控系统（地面控制部分）和GPS信号接收机图1.1全球定位系统（GPS）构成

2、示意图GPS （Global Positioning System/全球定位系统）系统是一种以空间卫星为基础的无 线电导航与定位系统，是一种被动式卫星导航定位系统，能为世界上任何地方，包括空中、 陆地、海洋甚至于外层空间的用户，全天候、全时间、连续地提供精确的三维位置、三维速 度及时间信息，具有实时性的导航、定位和授时功能。GPS卫星星座21颗工作卫星和3颗在轨备用卫星组成，这24颗卫星均匀分布在6个轨 道平面上。卫星轨道平面相对地球赤道平面的倾角约为55，各轨道平面升交点的赤经相 差 60，在相邻轨道上，卫星的升交距角相差 300,轨道平均高度约为 20200km ，卫星运 行周期为11时5

3、8分（恒星时12h）。这一分布方式，保证了地面上任何时间、任何地点至 少可同时观测到4颗卫星。GPS卫星的作用是接收和播发由地面监控系统提供的卫星星历。 地面监控系统由主控站、注入站和监测站三部分组成，它们主要负责编算GPS星历将其发射 到GPS卫星上，监测和控制GPS卫星的“健康”状况，保持各颗卫星处于同一时间标准，即 处于GPS时间系统.。GPS信号接收机的主要任务是接收GPS卫星发射的信号，以获取必要 的导航定位信息，并经数据处理而完成导航定位工作。当GPS卫星在用户视界时，接收机能 捕获到按一定卫星高度截止角所选择的待测卫星，并能跟踪这些卫星的运行：对所接收到的 GPS信号具有变换、放

4、大和处理的功能，以便测量出GPS信号从卫星到接收机天线的传播 时间，解译出GPS卫星所发射的导航电文，实时地计算出测站的三维坐标位置，甚至三维速 度和时间。GPS水准高程拟合模型的研究是为了实现由GPS大地高求出水准高，用GPS水准代替几 何水准，提高GPS水准测量的精度，发挥GPS技术提供三维坐标的优越性；结合实际工程， 将各种模型应用到不同的地形条件下，经过模型优选，分析比较和精度评定，得出具体的结 论，指导生产和工程实践。数据的处理，采用五种拟合方法编写程序实现似大地水准面拟合 的模型程序化，在一定条件下，拟合所得到的结果可以满足四等水准测量的精度要求，具有 一定的使用价值。GPS 水准

5、高程基本概念图 2.1 大地高、正高、正常高关系（不考虑垂线偏差）大地高程系统是以参考椭球面为基准面的高程系统，它是一个几何量，不具有物理意义 大地高的概念：由地面点沿通过该点的椭球面法线，到参考椭球面的距离，通常以H表示。 GPS定位测量获得的是WGS-84椭球空间直角坐标系中的成果，其中的高程值是地面点相 对于WGS-84椭球的大地高H。正高系统是以大地水准面为基准面的高程系统，地面某点P的正高H定义为由地面点P沿垂线方向至大地水准面的距离。大地水准面是一族重力等位面（水准面）中的一个，由于 水准面之间不平行，所以，过一点并与水准面相垂直的铅垂直线，实际上是一条曲线，正高 的计算公式为：1

6、H 二I Hgg dH（2.1）g gm式中，J Hgg dH是地面点至大地水准面之间的位能差；gm为由地面点沿垂线方向至大 地水准面的平均重力加速度。由于gm无法直接测定，所以严格的讲，正高是不能精确确定 的。由于正高是以大地水准面为基准面，具有非常重要的物理意义，所以它在水利建设、管 道和隧道建设等精密工程技术方面有着广泛的应用。若以hg表示大地水准面和椭球面之间 的差距，则正高与大地高的关系按如下公式可得：H = H + h（2.2）g g由于gm无法直接测定，导致正高无法严格确定。为了方便使用，根据前苏联大地测量学学 者莫洛金斯基的理论，建立了正常高系统。其公式为：任意点处的大地水准面

7、与椭球面的差值称为高程异常，正常高与大地高的转换关系为：H = H +匚（2.3）Y其中匚为似大地水准面的高程异常。1H = I Hrg d H（2.4）Y YmGPS测量高程原理GPS是一种三维观测系统，通过相位观测值可求出网中每两点间的地心WGS-84坐标 系中的坐标差AX= （AX0，AY0，AZ0）t，提供了地面点间位置和高程信息。如何求出地面点的 高程（正常高）需要经过一些中间步骤，现介绍其基本过程。GPS测得的基线向量AX,以坐标为未知参数进行自由网平差，求出该网点三维地心坐 标。取网中至少三个己知地面控制点，其点位的大地坐标经度L、纬度B和大地高H为已 知，将这些点上的己知数转换

8、到相应椭球的三维直角坐标系中，求出坐标值。转换公式为：x_(N(B) + H)cos B cos L x =y=(N (B) + H )cos B sin Lz(1 e 2) N (B) + H )sin B式中e2二2 f 一 f 2, N (B)1 e2 sin2 B , a、f是相应的椭球参数。以已知点上大地直角三维坐标X为控制,采用七参数法,将WGS-84系直角坐标转换至与控制点相应的直角坐标系中,公式为:以已知点上大地直角三维坐标X为控制,采用七参数法,将WGS-84系直角坐标转换至与控制点相应的直角坐标系中,公式为:Axxx100 x0zysSSSy=y+010yz0 xsSSSz

9、z001zyx0sSSS1AyAzex式中Ax、Ay、Az为平移参数，m为尺度比，ex、ey、ez为旋转参数。由此求得GPS的直角坐标，再经下式变换，即得与已知点相同椭球的经度、纬度和大地高：L = arctg( y / x)B = arctgeB = arctge2N(B) -1 N (B) + H 丿p-x2 + y2cos BHN(B)众所周知，大地高是地面点至椭球面的高程，我们需要的是海拔高程正常高)，两个基准面之差为该点的高程异常，即椭球面至似大地水准面之间的高差，表达式为：H =H 匚Y式中Hr，H分别为正常高、大地高，C为高程异常。另一种过程是求出正常高高差，现简述其原理如下。由

10、GPS获得的基线向量(AxS，AyS，AzS)，通过网中至少三个已知点，经(2.8)式变换到三AxAxAy=Ay+AzAzsxSzSSxSzSS0 zSz 0Sy xSS求得GPS测点从属于地面控制坐标系的三维坐标差。有类似的X2.10)式，变换到椭球面 上，求得基线向量的精度差、纬度差和大地高差。再由下式求得正常高高差:AH = AH - ACY由于坐标系转换时采用了七参数或四参数法，GPS网点经转换后与相应地面测点仍有 间隙，亦即转换后GPS网点坐标与地面网系统并不兼容，这对于城市网和工程控制网而言, 不能说不是一个问题。因此，在我国自行制作的软件中采取了一系列措施，使GPS网点坐 标和地

11、面网系统兼容。在地形起伏较大的地区及位于较高建筑物上的未知点，用传统水准测量方法测定这些点 的高程较为困难，通常采用三角高程测量的方法。三角高程测量是以水平面为基准面和视线 成直线为前提的。因此，只有当A、B两点间的距离很短时，才比较准确。当A、B两点距 离较远时，还应该考虑地球弯曲和大气折光的影响了，另外三角高程加测天顶距，计算边长, 则会不可避免的带来误差传播，并增加工程量。对于一般工程单位而言，无法获得必要的重 力数据和天文数据，因此重力方法在一般的工程单位很难施行。相比于前面的方法，GPS 测高只需摆好接收机，开机等待即可，测站距离可以达几km,劳动强度小，不受气候影响， 工作效率高，

12、内业较为简单。因此在点多量大的水利工程测量中，如果能用GPS测高代替 四等水准，其优越性是非常明显的，特别是在山区更为明显。GPS高程转换方法GPS水准高程，是目前GPS作业中最常用的一种方法。目前，国内外用于GPS水准计算的各种方法主要有：绘等值线图法；解析内插法；曲 面拟合法等。下面重点介绍解析内插法和曲面拟合法的多项式曲面拟合法和多面函数拟合法。(1) 线形解析内插法1, Akima曲线拟合法Akima法的原理是：Akima插值法规定在两个实测点之间进行内插，除需要用到这两个 实测值外，还要用这两个点相近邻的四个实测点上的观测值。也就是说，在两个实测点之间 进行内插，共需六个实测点。设已

13、知数据点为(x ,y )(i = 1,2,3,n)，现在要找一条光滑曲i i线y = fx),使得满足匚.=f(X.)o所谓“光滑”是指fx)具有连续的一阶导数。同时还约定， 在任意两相邻的数据点之间，用三次多项式来逼近。设给定n个不等距GPS测点为X x x x (或y y y y )。相应的0 12n-1012n-1高程异常值为C i (i = 0,1,2,n -1)若在子区间上xk，xk J(k = O12,n -2)上两个端点处满足以下4个条件:X = f (x ) TOC o 1-5 h z kk(3.1)匚=f (x )(3.1)v k+1k+1C = gk k匚=gk+1k+1式

14、中gk，gk+1可由从Akima条件唯一确定。则在xk,xk+1 (k = 0,1,2,，n-2)区间上确定一个三次多项式：s(x) = s + s (x - x ) + s (x - x )2 + s (x - x )3(3.2)01k 2k3k由上式可计算该子区间插值点t处的高程异常值C。其中：s 1ss 1s2s3(3.3)k TOC o 1-5 h z =3(匚一匚)/(x x ) 2t t/(x x )k +1 kk +1k kk +1k +1k=t +1 2(匚一匚)/(x x )/(x x)2kk+1k+1kk +1kk+1k上式中的tk，tk+1为k号和k+1号点实测要素的斜率

15、，tk用k2、k1、k、k+1、k+2已知点 计算， tk+1 用 k1、 k、 k+1、 k+2、 k+3 已知点计算，一般计算公式为：(3.4)t = (|m m 卜 m + |m m 卜 m )/(|m m | + |m m |)(3.4)ii+1ii1i1i2ii+1ii1i2式中 i = k, k +1 m = (C C ) /(x x )ii +1 i i+1 i当上式分母为零时，t = 1/2(m + m )或t = mii 1 i i i2 三次样条曲线拟合法当测线长，已知点多，C变化大是，在R = min条件下解各a,误差会增大，故通常总采取分 段计算。这样使曲线在分段点上不

16、连续，也影响拟合经度。为此，采用三次样条法来拟合 三次样条曲线实际上是由一段一段的三次多项式曲线拼接而成的连续曲线。在连接点处，不 仅函数自身是连续的，而且其一阶导数和二阶导数也是连续的。这样既保留了多项式在表达 上的简便性，又克服了单个多项式不灵活、不稳定的缺点，且计算较简单，故在长测线似大 地水准面拟合中得到了应用。 TOC o 1-5 h z 设过n个已知点，C 和x.(或y.或拟合坐标)在区间x ,x (i = O，1，2,n 一】)上有三次样条 i i i ii +1函数关系C(x)=C(x )+(xx )C(x,x )+(xx )(xx)C(x,x,x )(3.5)i i i i+

17、1ii +1ii+1式中x为待定点坐标，x , x为待求点两端已知点的坐标。其中匚(x , x )为一阶差商。 TOC o 1-5 h z ii+1i i+1:(x ,x )二(匚-C )/(x - x )；: (x,x ,x ) 为二阶 差商，i i+1i+1ii+1ii i+1匚(x, x , x )=匚(x ) + C (x) + C (x ),而:(x ) (i = 1,2,n 1),满足系数矩阵i i +16 ii +1i为对称三角阵的线性方程组(x- x)C(x)+2(x- x)C(x )+(x- x)C(x)ii -1i -1i +1i -1ii +1ii +1=6C (x ,x

18、 )-C (x ,x )(3.6)i i +1i -1 iC (x ) =C (x )二 00n用追赶法解(3.10)方程组，可求出C (x )和C (x , x )，而 ii i +1i事实上，我们可查询有关数值分析和其论文C，(x)=护 Mii事实上，我们可查询有关数值分析和其论文C，(x)=护 Mi-1 +iC(x)=C(x )+(x-x )C(x ,x )ii i +1一般采用下式来拟合M h 2) i-_ii-16 丿(x-xi1)M6h ii(3.7)x -x*(i = 1,2,n -1) (3.8)hi式中M =C (x )，i i i 方程组解得。(2)曲面拟合法当 GPS 点

19、布设成一定区域面时，在 GPS 网中联测一些水准点，然后利用这些点上的正h = x -xi i ii-1， y =C (x)。i i i待定参数 Mi 同样可由对称三角阵的线性高和大地高求出它们的高程异常值，再根据这些点上的高程异常值与坐标的关系，用最小二 乘的方法拟合出测区的似大地水准面，利用拟合出的似大地水准面，内插出其他GPS点的 高程异常，从而求出各个未知点的正常高。1 多项式曲面拟合 设点的C与平面坐标x、y (或大地坐标B、L或AB、AL),有以下关系：C=f (x, y) + (3.9)或AC=f (Ax, A y) +A(3.10)其中f(x，y)为心中趋势值，为误差、山=x

20、- xo、Ay = y - yo、xo =( xi)/n， t=0y =(y )/n0i t=0设 f(x,y) =a +a x+a y+a x2 +a xy+a y2 +a x3 +a x2y+a y2x+a y3 +0123456789(3.11)写成矩阵形式有：(3.12)其中：a8-1xyX 2000000匚=匚， B =a8， X =1xyX 211， 8 =1.111a81xyX 2n-1n-1n-1-n-1n-1n-1对于每一个已知点，均可以列出上式方程，在E 8 2 = min条件下，可求解系数阵:B = (XtX)-i(Xt: )(3.13)再由已知高程异常的权阵情况下，上式

21、可改写为:B = (X t PX)-1( X t PJ(3.14)系数求出后，再按(3.12)式求出待求点的Z,从而求出Hr。实践表明，在地势较为平坦的地区，当已知高程异常的点，密度适当，分布比较均匀时， 该法计算高程异常的精度，可达厘米级。在难以达到代替三、四等水准测量要求的大地水准面的起伏较大的山区，一般可采用根 据测区地形情况，适当增加已知高程异常点的密度，并改善其分布；综合利用测区的重力观 测资料，改善模型对高程异常的分辨率；考虑到高程异常与测区地形的密切相关性，在模型 中可引入地形影响的改正项，以提高确定高程异常的精度等方法加以改善。下面列出几个常用的多项式内插公式:平面模型: f(

22、x,y)=a0+a1x+a2y TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark70 o Current Document 平面相关模型: f(x,y)=a +a x+a y+a x 2 + a xy 01234 HYPERLINK l bookmark72 o Current Document 二次曲面模型: f (x, y) = a +a x+a y +a x2 + a xy + a y 2 012345三次曲面模型:f (x, y) = a +a x+a y +a x2 +a xy +a y2 +a x3 +a x2y +a y2x+a y30123456789在本文

23、论述的其它拟合方法中，其中移动曲面的基本数学模型采用的是多项式形式，由 此可见对它的模型的研究和探讨有着重要的意义。其次，要说明的是，最小二乘原理和参数 估计始终贯穿所有数学模型的计算，同时也是测量平差的基础。 182 多面函数曲面拟合多面函数拟合法，1971年由美国哈笛(Hardy)提出。1976年将此法应用于美国大地测量、 拟合重力异常、大地水准面差距、垂线偏差等，1978年将此法用于地壳形变。它的基本思 想是任何一个规则或不规则的连续曲面均可以由若干简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。 具体做法是在每个数据点上建立一个曲面，然后在方向上将各个旋转曲面按一定比例叠加成 一张整体的连续曲面使

24、之严格地通过各个数据点。多面叠加的数学表达式为：:=f (x,y) =aQ(x,y,x ,y )(3.15)ii ii =1式中a.为待定系数；Q(x, y, x., y.)为x和y的核函数，其中心在(xi5 y.)处，简称多面函数。常 用的简单核函数有以下几种。即：锥面Q(x, y,x , y ) = C + * (x- x )2 + (y - y )2(3.16) TOC o 1-5 h z i i1ii双曲面Q(x, y,x , y ) = (x-x )2 + (y - y )2 +5 2(3.17) HYPERLINK l bookmark78 o Current Document i

25、 iii倒曲面Q(x,y,x ,y ) = 1(x-x )2 + (y- y )2 +5 2(3.18) HYPERLINK l bookmark80 o Current Document i iii这里5为非零参数。上式表示一段双曲面绕竖轴旋转而成的曲面，当5 =0时，此曲面 就退化成圆锥面。三次曲面Q(x,y,x ,y ) = C + (x x )2 + (y y )2 +5 22(3.19)i iii上式是母线为三次曲线的旋转面。在上式各式中，(x-x )2 + (y- y )2为内插点到参考点之间的水平距离的平方。ii旋转面小-D 2Q 1t式中a为参数。a 2母线旋转面Q = C e

26、xp-a20上式是以高斯曲线为母线的旋转面，C0和a为两个参数，其中5为光滑系数。设已知参考点有m个，选择其中n个点作为节点(j = 12,n m)，记B = (a ,a，a )T，12n则同样有(3.16)误差方程，式中X为核函数矩阵。当已知数m大于节点数n时，利用最小二乘法原理，可以根据(3.17)计算方程系数，在已知核函数权阵的情况下，可以根据(3.18)计算方程系数。系数求出后，同样按3.15)式求出待求 点的&从而求出Hr如果已知数m等于节点数n时，方程唯一解，可以按线性方程求解，如下式：B 二 X弋(3.20)这时待定点的解为：匸二 X B 二 X X 一(3.21)PPP这里补充

27、说明，对于已知参考点个数等于误差方程系数的情况下，方程存在唯一解，只 可以线性求解。m个已知点，要求是高程异常显著点，即能很好描述该区域内高程异常分布 的特征点，最好位于最高、最低及坡度变化处。这种拟合法，虽然理论上严密，但使用上有些困难，特别是5和核函数的选取，需要不 断试验改进选取。下面就其中三个问题进行深入分析。1.核函数的选择多面函数是属于纯数学逼近方法，其差值精度与选用的核函数有密切的关系，高程变化 大的地区内插的精度往往较低，所以我们要选择一个一成不变的核函数对各种地形进行最小 二乘推估。只要高程变化大的地区保证了精度，对于平坦地区的推估，其核函数影响是不大 的。对于待求点的估值实

28、质上就是数据点的加权平均值。因而选择优良核函数的准则是：由 它计算的权系数只要相对集中，并且数值稳定性好。在对地壳垂直运动中速率面的拟合采用 正双曲线函数；2光滑系数6的确定优化的6选取对其高拟合效果有作用，但比较困难。试验表明6越大，内插的曲面越平滑， 但当大于某一值时将使结果出现很大的偏差。6对于倒双曲面函数，6必须大于零，否则无 法计算，同时6的取值也有正双曲面的性质，6越大，内插的曲面越平滑。但当大于某一 值时也将使结果出现很大的偏差。3核函数节点的选取在大范围有较多的GPS水准点，即已知高程异常的点较多，可选其中部分作为节点， 其余作用拟合高程异常的检核。此时，拟合结果就与所选节点不

29、同而异，这是需要试验研究 的问题。对于局部GPS网，GPS水准点不会很多，就可全部用来作为节点，进行拟合。 5拟合精度评定为了能客观地评定GPS水准计算的精度，采用内符合精度和外符合精度检核，内符合 精度表明的是结点与所选模型的符合程度，而外符合精度表示的是检核点与所选模型的符合程度。1 内符合精度根据参与拟合计算已知点高程异常值与计算后得到的高程异常值匚,用V= : c i求拟 i i i i i合残差V，按下式计算GPS水准拟合的内符合精度U :i TOC o 1-5 h z 卩=肿/(n -1)(5.1)式中n为参参与计算的已知点个数。2 外符合精度根据参与检核点的高程异常值C与计算后得到的高程异常值C ，用V= C c i求拟合残差 ii iiV，按下式计算GPS水准的外符合精度M：i