复变函数全课件

1、复变函数全课件复变函数全课件联系方式闻国光理学院数学系电子邮件：*2联系方式闻国光*42013年9月3日第一章 复数与复变函数*32013年9月3日第一章 复数与复变函数*5对 象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅立叶变换和拉普拉斯变换等复数与复变函数、解析函数、*4对 象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处. 但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的性质与结果

2、*5学习方法复变函数中许多概念、理论、和*7背景十六世纪,在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义，需要扩大数系，使实数域扩大到复数域在十八世纪以前，对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾.在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十八世纪，J.DAlembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数被广泛承认接受，复变函数论顺利建立和发展.*6背景十六世纪,在解代数方程时引进复数*8十九世纪奠定复变函数的理论基础三位代表人物: A.

3、L.Cauchy （1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性质通过他们的努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.*7十九世纪奠定复变函数的理论基础*9 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数1复数及其代数运算*8 1. 复数的概念1复数及其代数运算*10 一般, 任意两个复数不能比较大小.1. 复数的概念 定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy或z=x+yi为复数.复数z

4、的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part) 复数的模 判断复数相等*9 一般, 任意两个复数不能比较大小.1. 复数的概念 定义定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2. 代数运算四则运算*10定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2

5、)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，*11z1+z2=z2+z1；运算规律复数的运算满足交换律、结合律共轭复数的性质3.共轭复数定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.(conjugate)*12共轭复数的性质3.共轭复数定义 若z=x+iy , 称*13*15 1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法2 复数的表示方法*14 1. 点的表示2 复数的表示方法*161. 点的表示点的表示： 数z与点z同义.*151. 点的表示点的表示： 数z与点z同义.*172. 向量

6、表示法 oxy(z)P(x,y)xy 称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴 为始边, 以 为终边的角的弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z0时)*162. 向量表示法 辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满足 的0称为辐角Argz的主值，记作0=argz. z=0时，辐角不确定. 计算argz(z0) 的公式*17辐角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，把其中满 当z落于一,四象限时，不变. 当z落于第二象限时，加 . 当z落于第三象限时，减 . *18 当z落于一,四象限时，不变. 当z落于第二象限时*19*21*20*22*21*23oxy(z) z1z2

7、 z1+z2z2- z1由向量表示法知3. 三角表示法4. 指数表示法*22oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z1由向量表示法知*23*25引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程（或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方程（或不等式）来确定它所表示的平面图形.例1 用复数方程表示:（1）过两点 zj=xj+iyj (j=1,2)的直线；（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆.oxy(z)Lz1z2z解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-t 0为半径的圆 | z -z 0|(或 0 | z z 0| 0为开集 若G内的每一点都是 内点，则称G是开集.连通是指区域 设 D

8、是一个开集， 且D是连通的，称 D是一个区域.D-区域边界与边界点 已知点P不属于D，若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；内点外点D的所有边界点组成D的边界.P*44开集 若G内的每一点都是连通是指区域 设 D是一个有界区域与无界区域若存在 R 0, 对任意 z D, 均有zG=z | |z|R，则D是有界区域；否则无界.闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区域,*45有界区域与无界区域闭区域 区域D与它的边界一起构成闭区*46*482. 简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;则曲线方程可记为：z=z(t)， atb有限条光滑曲

9、线相连接构成一条分段光滑曲线.*472. 简单曲线（或Jardan曲线)令z(t)=x(t)+i重点 设连续曲线C：z=z(t)，atb，对于t1(a，b), t2 a, b,当t1t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线C的重点. 定义 称没有重点的连续曲线C为简单曲线或 Jardan曲线;若简单曲线C 满足z(a)=z(b)时，则称此曲线C是简单闭曲线或Jordan闭曲线 . z(a)=z(b)简单闭曲线z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线*48重点 设连续曲线C：z=z(t)，atb，定义 3. 单连通域与多连通域简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 C：z=z(t)， ta，

10、b，把复平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为C的外部；还有一个是它们的公共边界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)内部外部边界定义 复平面上的一个区域 B ，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B内，就称 B为单连通域；非单连通域称为多连通域.*493. 单连通域与多连通域简单闭曲线的性质 任一条简单闭曲线 例如 |z|0）是单连通的； 0r|z|R是多连通的.单连通域多连通域多连通域单连通域*50例如 |z|0）是单连通的；单连通域多连通域作业P31 1（）（），（）（）（），（）（），（）（）（）（）（）（）*51作业P31 1（）（），*

11、53*52*54*53*55*54*56*55*57 1. 复变函数的定义 2. 映射的概念 3. 反函数或逆映射5 复变函数* 1. 复变函数的定义5 复变函数*1. 复变函数的定义与实变函数定义相类似定义 *1. 复变函数的定义与实变函数定义相类似定义 *例1例2*例1例2*oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上， w=f(z)可以看作： 定义域函数值集合 2. 映射的概念复变函数的几何意义zw=f(z)w*oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上， w= 以下不再区分函数与映射（变换）. 在复变函数中用两个复平面上点集之间的 对应关系来表达两对变量 u，v 与

12、x，y 之间的对应关系，以便在研究和理解复变 函数问题时，可借助于几何直观.复变函数的几何意义是一个映射（变换）* 以下不再区分函数与映射（变换）. 在复变函数中用两个复平例3解关于实轴对称的一个映射见图1-11-2旋转变换(映射)见图2例4解*例3解关于实轴对称的一个映射见图1-11-2旋转变换(oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o图1-1图1-2图2uv(w)o*oxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R=4*例5oxy(z)ouv(w)oxy(z)ouv(w)R=2R 3. 反函

13、数或逆映射例 设 z=w2 则称 为z=w2的反函数或逆映射定义 设 w =f (z) 的定义集合为G,函数值集合为G*则称z=(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.* 3. 反函数或逆映射例 设 z=w2 则称 例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在平面w上的象.例*例 已知映射w= z3 ，求区域 0argz 在2008.10.8(第三次课)*2008.10.8(第三次课)* 1. 函数的极限 2. 运算性质 3.函数的连续性6 复变函数的极限与连续性* 1. 函数的极限6 复变函数的极限与连续性*1. 函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义: 当变点z一旦进入z0

14、的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的邻域中*1. 函数的极限定义uv(w)oAxy(z)o几何意义: * (1) 意义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高.(2) A是复数. 2. 运算性质复变函数极限与其实部和虚部极限的关系：定理1(3) 若f(z)在 处有极限,其极限是唯一的.* (1) 意义中 的方式是任意的.(2) A是定理2 以上定理用极限定义证!*定理2 以上定理用极限定义证!*例1例2例3*例1例2例3*3.函数的连续性定义定理3*3.函数的连续性定义定理3*例4 证明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续.证明xy(z)ozz*例4 证

15、明f (z)=argz在原点及负实轴上不连续. 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数.有界性：* 定理4 连续函数的和、差、积、商 (分母不为0) 有界第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 第二节 函数解析的充要条件 第三节 初等函数*第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念* 1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念2.1 解析函数的概念* 1. 复变函数的导数定义2.1 解析函数的概念* 一. 复变函数的导数(1)导数定义定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z0 +zD，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z

16、0处可导.称此极限值为f (z)在z0的导数，记作 如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f (z)在区域D内可导.* 一. 复变函数的导数(1)导数定义定义 设函数w=f (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零. (2) z=x+iy,z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) 例1* (1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零. (2(2)求导公式与法则 常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数).证明 对于复平面上任意一点z0，有-实函数中求导法则的推广*(2)求导公式与法则 常数的导数 c=(a+ib)= 设函数f (z),g (z) 均可导，则 f

17、 (z)g (z) =f (z)g(z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z)* 设函数f (z),g (z) 均可导，则*复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)， 其中w=g(z). 反函数的导数 ，其中: w=f (z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0.*复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解*例3 问：函数f (z)=x+2yi是否可导？例2解解*例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.证明*例4 证明 f (z)=zRez只在z=0处才可导.证* (1)

18、复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为z0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故. (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中，却轻而易举.* (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数(2) 在高等数(3)可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 w=f (z) 点 z0 处连续.?*(3)可导与连续若 w=f (z) 在点 z0 处可导 2.4 解析函数1. 解析函数的概念定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z)在z0解析； 如果f (z)在区域D内每一点都解

19、析，则称 f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）.如果f (z)在点z0不解析，就称z0是f (z)的奇点. (1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导. (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析.*2.4 解析函数定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的*例如(1) w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；(2) w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数；(3) w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4).定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)g(z)，

20、f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时)均是D内的解析函数.*例如定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析.*定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解调和函数*调和函数* 在6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内 容 简 介7 解析函数与调和函数的关系* 在6我

21、们证明了在D内的解析函数,其导数内 容 简 定义定理*定义定理*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义*即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*如*如*定理*定理* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，* 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应

22、用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.* 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际*例1解曲线积分法*例1解曲线积分法*故 *故 *又解凑全微分法*又解凑*又解偏积分法*又解偏*又解不定积分法*又解不定* 1. 解析函数的充要条件 2. 举例2 函数解析的充要条件* 1. 解析函数的充要条件2 函数解析的充要条件* 如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析. 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并

23、给出解析函数的求导方法.问题 如何判断函数的解析性呢？* 如果复变函数 w = f (z) = u(x一. 解析函数的充要条件*一. 解析函数的充要条件* 记忆定义 方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).* 记忆定义 方程*2008.10.15第四次课*2008.10.15*定理1 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有*定理1 设 f (z) = u (x

24、, y) + iv(x证明（由f (z)的可导 C-R方程满足上面已证！只须证 f (z)的可导 函数 u(x, y)、v(x, y)可微）.函数 w =f (z)点 z可导，即则 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+(z)z (1), 且*证明函数 w =f (z)点 z可导，即则 f (u+iv = (a+ib)(x+iy)+(1+i2)(x+iy)=(ax-by+1x-2y)+i(bx+ay+2x+1y)令：f (z+z) - f (z)=u+iv，f (z)= a+ib， (z)=1+i2 故（1）式可写为因此 u=ax-by+1x-2y , v=bx+ay+2x+1y*u+iv

25、 = (a+ib)(x+iy)+(1+i所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. （由函数u(x,y) ,v (x,y)在点(x,y)处可微及满足 C-R方程 f (z)在点z=x+iy处可导）u(x，y)，v(x，y)在(x，y)点可微，即：*所以u(x, y)，v(x, y)在点(x, y)处可微. *定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来. 利用该

26、定理可以判断那些函数是不可导的.*定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性， ii) 验证C-R条件.iii) 求导数： 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的, 但是求复变函数的导数时要注意, 并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.*使用时: i) 判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解 (1) 设z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 则*二. 举例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：解解(2) f (z)=ex(

27、cosy +isiny) 则 u=excosy, v= exsiny*解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则*仅在点z = 0处满足C-R条件，故解 (3) 设z=x+例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f (z)在z0处解析，其导数为*例2 求证函数证明 由于在z0处，u(x,y)及v例3 证明*例3 证明*例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函数， 且f (z)0，那么曲

28、线族u(x, y)=C1， v(x, y)=C2必互相正交，这里C1 、 C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、 vy 均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族 u(x, y)=C1，v(x, y)=C2中任一条曲线的斜率分别为 解利用C-R方程 ux=vy, uy=-vx 有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1，即：两族曲线互相正交.*例4 如果f (z)=u(x, y)+i v(x, ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=， k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的, 它们仍互相正交.练习: a=2 , b=-1 , c=

29、-1 , d=2*ii) uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=，* 1. 指数函数 2. 三角函数和双曲函数 3. 对数函数 4. 乘幂与幂函数 5. 反三角函数与反双曲函数3 初等函数* 1. 指数函数3 初等函数* 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它们的解析性.内 容 简 介* 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复一. 指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义*一. 指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义* 这个性质是实变指数函数所没有的.* 这个性质是实变指数函数所没有的.* 例1例2* 例1例2*二. 三角函数

30、和双曲函数推广到复变数情形定义*二. 三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义*正弦与余弦函数的性质*正弦与余弦函数的性质*思考题：*思考题：*由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)*由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)*定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质*定义称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质*三. 对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数.即，(1) 对数的定义*三. 对数函数定义 指数函数的反函数称为对数函数.即，(故*故*特别 *特别 *2008.10.22第五次课*2008.10.22*(2) 对数函数

31、的性质见1-6例1*(2) 对数函数的性质见1-6例1*例4*例4*四. 乘幂 与幂函数 乘幂ab定义 多值一般为多值*四. 乘幂 与幂函数 乘幂ab定义 q支*q支* (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 n次根意义一致. (1)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂 意义一致.* (2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的 解例5*解例5* 幂函数zb定义当b = n (正整数)w=z n 在整个复平面上是单值解析函数* 幂函数zb定义当b = n (正整数)w=z n 在整个* 除去b为正整数外，多值函数，当b为无理数或复数时，无穷多值. 5. 反三角函数与反

32、双曲函数详见P52 重点：指数函数、对数函数、乘幂* 作 业P67 2, 8, 15, 18*作 业P67 2,*第三章复变函数的积分*第三章复变函数的积分* 1. 有向曲线 2. 积分的定义 3. 积分存在的条件及其计算法 4. 积分性质1 复变函数积分的概念* 1. 有向曲线1 复变函数积分的概念*1. 有向曲线*1. 有向曲线*CA(起点)B(终点)CC*CA(起点)B(终点)CC* 2. 积分的定义定义DBxyo* 2. 积分的定义定义DBxyo* * *3. 积分存在的条件及其计算法定理 *3. 积分存在的条件及其计算法定理 *证明*证明* * *由曲线积分的计算法得*由曲线积分的计

33、算法得* 4. 积分性质由积分定义得：* 4. 积分性质由积分定义得：*例1解又解Aoxy*例1解又解Axy*例2解oxyrC*例2解oxyrC*=-=-=-+0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnp *=-=-=-+0002)()(01010n第六次课10月29日*第六次课*oxy例3解*oxy例3解*解:例4*解:例4*分析1的积分例子:2 Cauchy-Goursat基本定理*分析1的积分例子:2 Cauchy-Goursat基本定猜想：积分的值与路径无关或沿闭路的积分值0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨*猜想：积分的

34、值与路径无关或沿闭路的先将条件加强些，作初步的探*Cauchy 定理*Cauchy 定理*Cauchy-Goursat基本定理： BC也称Cauchy定理*Cauchy-Goursat基本定理： BC也称Cauch(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0, z1B, 积分c f (z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z1*(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论 设复合闭路定理：3 基本定理推广复合闭路定理*复合闭路定理：3 基本定理推广复合闭路定理*证明DCc1c

35、2BL1L2L3AAEEFFGH*证明DCc1c2BL1L2L3AAEEFFGH*说明*说明* 此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过f(z)的不解析点.闭路变形原理D CC1C1C1* 此式说明一个解析函D CC1C1C1*例解C1C21xyo*例解C1C21xyo*练习解C1C21xyo*练习解C1C21xyo* 1. 原函数与不定积分的概念 2. 积分计算公式4 原函数与不定积分* 1. 原函数与不定积分的概念4 原函数与不定积分* 1. 原函数与不定积分的概念 由2基本定理的推论知：设f (z)在单连通区域B内解析，

36、则对B中任意曲线C, 积分c fdz与路径无关，只与起点和终点有关. 当起点固定在z0, 终点z在B内变动,c f (z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理 设f (z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且* 1. 原函数与不定积分的概念 由2基本定理的定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，即 ,称 (z)为f (z)在B内的原函数. 上面定理表明 是f (z)的一个原函数.设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数，这表明：f (z)的任何两个原函数相差一个常数.(见第二章2例3)*定义 若函数 (z) 在区域B内的导数等于f (z) ，2.

37、 积分计算公式定义 设F(z)是f (z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f (z)的不定积分，记作定理 设f (z)在单连通区域B内解析， F(z)是f (z)的一个原函数，则 此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式. 但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强*2. 积分计算公式定义 设F(z)是f (z)的一个原例1 计算下列积分：解1) *例1 计算下列积分：解1) *解)*解)*例3 计算下列积分：*例3 计算下列积分：*小结 求积分的方法*小结 求积分的方法*第七次课11月5日*第七次课*利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导

38、出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.5 Cauchy积分公式*利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,分析DCz0C1*分析DCz0C1*DCz0C1猜想积分*DCz0C1猜想积分*定理(Cauchy 积分公式)证明*定理(Cauchy 积分公式)证明* * * 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.* 一个解析函数在圆心处的值等于它在*例1解*例1解*例2解CC1C21xyo*例2解CC1C21xyo*本节研究解析函数的无穷次可导性，并导

39、出高阶导数计算公式. 研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点与实变函数有本质区别.6 解析函数的高阶导数*本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式. 研形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.*形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.*定理证明 用数学归纳法和导数定义.*定理证明 用数学归纳法和导数定义.*令为I*令为I*依次类推，用数学归纳法可得*依次类推，用数学归纳法可得*一个解析函数的导数仍为解析函数.*一个解析函数的导数仍为解析函数.*例1解*例1解*作业P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)

40、(2) 9(3)(5)*作业P100 7(3)(5)(7)(9) 8(1)(2解析函数与调和函数的关系*解析函数与调和函数的关系* 在6我们证明了在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数.本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系.内 容 简 介7 解析函数与调和函数的关系* 在6我们证明了在D内的解析函数,其导数内 容 简 定义定理*定义定理*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则*证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内即u及v 在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义*即u及v 在D内满足拉普拉斯(L

41、aplace)方程:定义*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：*如*如*定理*定理* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，* 公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，* 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.* 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际*例1解曲线积分法*例1解曲线积分法*故 *故 *又解凑全微分法*又解凑*又解偏积分法*又解偏*又解不定积分法*又解不定*第八次课11月12日*第八次课* 1. 复数列的极限 2. 级数的概念第 四 章

42、级 数1 复数项级数* 1. 复数列的极限第 四 章 级 数1 复数项级数 1. 复数列的极限定义又设复常数：定理1证明* 1. 复数列的极限定义又设复常数：定理1证明*2. 级数概念级数的前n项的和-级数的部分和不收敛-无穷级数定义设复数列：*2. 级数概念级数的前n项的和-级数的部分和不收敛-例1解定理2证明*例1解定理2证明* 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题.性质定理3证明* 由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为性质定理3证明* ?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4* ?定义由定理3的证明过程，及不等式定理4*解例2：P108*解例2：P108*例

43、3解练习(P108,例1)：*例3解练习(P108,例1)：* 1. 幂级数概念 2. 收敛定理 3. 收敛圆与收敛半径 4. 收敛半径的求法 5. 幂级数的运算和性质2 幂级数* 1. 幂级数概念2 幂级数*1. 幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的最前面n项的和级数的部分和*1. 幂级数的概念定义设复变函数列：称为复变函数项级数级数的若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数-级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数*若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数-级数(1)的2. 收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1 阿贝尔(Able)定

44、理讨论P142：5*2. 收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理证明*证明*(2)用反证法，3. 收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i) 若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛.(ii )除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时， 级数(3)在复平面上除z=0外处处发散.*(2)用反证法，3. 收敛圆与收敛半径由Able定理，显然， 否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错.故播放*显然， 否则，级数(3)将在处发散.将收敛部分染成红

45、* (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析.定义红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；圆的半径R叫做幂级数的收敛半径.(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域.* (i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外定义红蓝两色的4. 收敛半径的求法 定理2(比值法)证明*4. 收敛半径的求法 定理2证明* 定理3(根值法) 定理2(比值法)* 定理3 定理2*第九次课11月19日*第九次课*例1：P111解 综上*例1：P111解 综上*例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛

46、圆周上的情形:解 (1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的.*例2 求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解 综上该级数发散.该级数收敛，* 综上该级数发散.该级数收敛，*故该级数在复平面上是处处收敛的.*故该级数在复平面上是处处收敛的.*5. 幂级数的运算和性质代数运算-幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算*5. 幂级数的运算和性质代数运算-幂级数的加、减运算-幂级数的代换(复合)运算 幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3：P116解代换*-幂级数的代换(复合)运算 幂级例3：P116解代解代换展开还原*解代换展开还原*分析运算定理4-幂级数的逐项

47、求导运算-幂级数的逐项积分运算*分析运算定理4-幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐 作业P103 30(1)(2),31P141 1(2)(4),3(3)(4),6(2)(3)(4),11(1)(3)* 作业P103 30(1)(2),31* 1. 泰勒展开定理 2. 展开式的唯一性 3. 简单初等函数的泰勒展开式3 泰勒(Taylor)级数* 1. 泰勒展开定理3 泰勒(Taylor)级数*1. 泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函数在解析点能否用幂级数表示？）由2幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在

48、它的收敛圆内部是一个解析函数.以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示.*1. 泰勒(Taylor)展开定理现在研究与此相反的问题：由定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得*定理（泰勒展开定理）Dk分析：代入(1)得*Dkz*Dkz*-(*)得证！*-(*)得证！*证明(不讲)*证明*(不讲)*(不讲)*证明(不讲)*证明* * *2. 展开式的唯一性结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的Taylor级数.利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数:*2. 展开式的唯一性结论 解析函数展开成幂级数是唯一的由

49、此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的.-直接法-间接法代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和 已知函数的展开式来展开函数展开成Taylor级数的方法：*由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor-直接法3. 简单初等函数的泰勒展开式例1 解(P120)*3. 简单初等函数的泰勒展开式例1 解(P120)* 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.例2 把下列函数展开成 z 的幂级数:解* 上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法.例2(2)由幂级数逐项求导性质得：*(2)由幂级数逐项求导性质得：*(1)另一方面，因ln(1+

50、z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为z1.*(1)另一方面，因ln(1+z)在从z=-1向左沿负*定理*定理*第十次课11月26日*第十次课*?*?* 1. 预备知识 2. 双边幂级数 3. 函数展开成双边幂级数 4. 展开式的唯一性4 罗朗(Laurent)级数* 1. 预备知识4 罗朗(Laurent)级数* 由3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数.若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z -

51、z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析，那么，f (z)能否用级数表示呢？例如，P127* 由3 知, f (z) 在 z0 解析由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即*由此推想，若f (z) 在R 1z - z0R2 内 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法.它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础.* 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析*1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域-见第三章第18题P101Dz0R1R2

52、rRk1k2D1z*1. 预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域-见2. 双边幂级数-含有正负幂项的级数定义 形如-双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：*2. 双边幂级数-含有正负幂项的级数定义 形如-双级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在z - z0=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在z - z0=R 2外发散. *级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数在*z0R1R2z0R2R1*z0R1R2z0R2R1* (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上,* (2)在圆环域的边界z - z0=R1, z - 3. 函数展开成

53、双边幂级数定理*3. 函数展开成双边幂级数定理*证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2*证明 由复连通域上的CauchyDz0R1R2rRk1k2*式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路定理可将cn写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分.*式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 就利用洛朗（ Lauren

54、t ）级数来展开.* (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点4. 展开式的唯一性结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数.事实上，Dz0R1R2c*4. 展开式的唯一性结论 一个在某一圆环域内解析的函数Dz0R1R2c*Dz0R1R2c* 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法.在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系数的方法.例1解* 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可例1解*例2解例3解*例2解例3解*

55、例4xyo12xyo12xyo12P132*例4xyo12xyo12xyo12P132*解:没有奇点*解:没*注意首项*注意首项*(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式.小结：把f (z)展成洛朗( Laurent )级数的方法：*(2)对于有理函数的洛朗展开式，首先把有理小结：把f (z)解 (1) 在(最大的)去心邻域例5yxo12*解 (1) 在(最大的)去心邻域例5yxo12* (2) 在(最大的)去心邻域xo12练习：* (2) 在(最大的)去心邻域xo12练习：* (2)根据区域判别级数方式：在

56、圆域内需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)级数，在环域内需要把f (z)展成洛朗( Laurent )级数.* (2)根据区域判别级数方式：* (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点： Taylor级数先展开求R, 找出收敛域. Laurent级数先求 f(z) 的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远 点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成 级数.* (3) Laurent级数与Taylor 级数的不同点：*计算沿封闭路线积分中的应用P135*计算沿封闭路线积分中的应用P135*作业P143 12(1)(3),16(2)(3)*作业P143

57、12(1)(3),16(2)(3)*第五章 留数*第五章 留数*第十一次课12月3日*第十一次课* 1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系1 孤立奇点* 1. 定义1 孤立奇点* 1. 定义例如-z=0为孤立奇点-z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,)都是它的奇点-z=1为孤立奇点定义* 1. 定义例如-z=0为孤立奇点-z=0及z=*xyo这说明奇点未必是孤立的.除此之外，其它奇点不是孤立的*xyo这说明奇点未除此之外，其它奇点*2. 分类以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行分类.考察：特点：没有负幂次项特点：只有有限

58、多个负幂次项特点：有无穷多个负幂次项*2. 分类以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内， 若f (z)的洛朗级数没有负幂次项，称z=z0为可去奇点;只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级（阶）极点;有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点.*定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻3. 性质若z0为f (z)的可去奇点若z0为f (z)的m (m 1) 级极点*3. 性质若z0为f (z)的可去奇点若z0为f (z)例如：z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点.若z0为f (z)

59、的本性奇点*例如：z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z4. 零点与极点的关系定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成则称z=z0为f (z) 的m 级零点.例如：*4. 零点与极点的关系定义 不恒等于0的解析函数f (z)定理事实上，必要性得证！充分性略！*定理事实上，必要性得证！充分性略！*例如*例如*定理:证明“”若z0为f (z)的m 级极点*定理:证明“”若z0为f (z)的m 级极点*例解显然，z=i 是(1+z2)的一级零点*例解显然，z=i 是(1+z2)的一级零点*综合*综合* 1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则2 留数(Residu

60、e)* 1. 留数的定义2 留数(Residue)*1. 留数的定义*1. 留数的定义*定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0)1 的系数 c1 称为f (z)在 z0 的留数，记作 Res f (z), z0 或 Res f (z0).由留数定义, Res f (z), z0= c1 (1)*定义设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在2. 留数定理定理证明*2. 留数定理定理证明*Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i 除上式两边得:得证！*Dcznz1z3z2由复合闭路定理得：用2i 除上式两边得 求