拉格朗日(Lagrange)中值定理

1、拉格朗日(Lagrange)中值定理教学目的：熟练掌握中值定理及其几何意义能应用拉格朗日中值定理证明不等式了解拉格朗日中值定理的推论1和推论2教学重点：拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理证明中辅助函数的引入。利用导数证明不等式的技巧。教学难点：辅助函数的引入和中值定理的应用技巧教学内容：1罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数f(x)满足下列条件：在闭区间L,b连续；在开区间(a,b)可导；f(a)=f(b)罗尔定理的几何意义大家都清楚了如图1,现在我们把坐标系统绕原点在平面内的旋转a角，使在新坐标系如图2，大家看看有什么不同？2拉格

2、朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少有一点g(agb),使得等式f(b)f(a)=fG)(ba)成立。注：a、深刻认识定理，是两个条件，而罗尔定理是三个条件。b-ab-ab、若加上f(a)=f(b),则fG)=f(b)-f(a)=亠=0,即：fG)=0,拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理是拉格朗日定理的特例。拉格朗日(微分)中值定理几何意义我们从几何的角度看一个问题，如下：设连续函数y=f(x)，a与b是它定义区间内的两点(ab)，假定此函数在(a,b)上处处可导，也就是在(a,b)内的函数图

3、形上处处有不垂直于x轴的切线，那么我们从图2上Ayf(b)f(a)容易看到，差商子=就是割线AB的斜率，若我们把割线AB作平行于自身Axba的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点C(x=)处成为曲线的切线，而切线ba的斜率为f(E)，由于切线与割线是平行的，因此f(E)=f的f成立。3.分析与证明：分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数(x)，使它满足罗尔定理的条件。由前述分析，我们知道图2是在图1的基础上绕点A旋转了a角得到的，现进行逆变换，即将图2曲线f(x)减去铅直量(xa)tan

4、a得到图1的曲线，而tana=。作辅助函数ba9(x)=f(x)-(x-a)，注意9(x)满足罗尔定理的三个条件。ba在开区间C,b)可导，又9(a)=9(b)，根据罗尔定理，9(x)在(a,b)内至少存在一点使得9点)=0，而9(x)=f(x)注1罗尔定理是拉格朗日中值定理f(a)=f(b)时的特例注2几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f(x)上至少存在一点C点,f点),该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB。我们在证明中引入的辅助函数9(x)，正是曲线y=f(x)与铅直量(x-a)tana之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于图形绕点A在平面内的旋转，使在新坐标系下，线

5、段AB平行于新x轴(甲(a)=9(b)。本定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范，同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是高等数学中的重要而常用的数学思维的体现。注3拉格朗日中值定理的中值点是开区间Gb)内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点的存在性，而非“定量”地指明的具体数值。注4拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，该公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。当设f(x)在a,b连续，在(a,b)内可导时，若x,x+Axe(a,b)，00则有f(

6、x+Ax)f(x)=f(x+0Ax)-Ax(001)；当y=f(x)时，也可写成000Ay=f(x+0Ax)-Ax，(001)，试与微分dy=f(x)-Ax比较：即微分dy=f(x)-Ax0是函数增量Ay的近似表达式，而Ay=f(x+0Ax)-Ax(001)是函数增量Ay的精确表达式。所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式，拉格朗日中值定理又称有限增量定理。它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：f(b)f(a)=f()(ba),e(a,b)f(b)f(a)=fa+0(ba)(ba),0e(0,1)f(a+h)f(a)=f(a+0h)h,0e(0,1)拉格朗日中值定理的两个重要推论推论1函数f(x)在区间I上可导且f(x)三0,nf(x)为I上的常值函数.证明：任取两点叫，xeI(设x0时，ln(1+x)x1+x证明：设f(x)=ln(1+x),则f(x)在0,x上满足拉氏定理的条件于是f(x)-f(0)=f()(x-0),(0 x)1又f(0)=fx)=仁，于是ln(1+x)=而0 x,所以11+1+122x从而丘Wx即氐ln(1+x)x例2证明arcsinx+arccosx=22证明：