悖论――自引用――不一致――无

1、悖论自引用不一致无eantslveprblesbyusingthesaekindfthinkingeusedhenereatedthe.-AlbertEinstein写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是讨论它们之间的这一“，即对这些主题词的相关方面作一些初步的讨论。1悖论悖论自古有之。比较知名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我如今在说谎。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，那么这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我如今在说谎就是谎话，因此他说的是实话。由这句话是真话，可以推导出这句话是谎话；由这句话是谎话，又可以推

2、导出这句话是真话。这就称为悖论。更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出AA的否认的形式写法，并且由A可以推导出A。悖论还有很多，如“苏格拉底悖论、“万能上帝悖论、中国古代的“矛盾悖论、“先有鸡先有蛋悖论、“自由悖论、康德的二律背反等等。还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题。自毁命题的定义是：“由A可以推导出A，但由A并不能推导出A。自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否认却没有约束。比方克里特哲学家说：“克里特人总是说谎，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲

3、学家也总是说谎，这个哲学家如今当然也是在说谎，即这句话是谎话；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎，由此并不能推出矛盾。再看“世上没有绝对的真理，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理，这并不能产生矛盾。再如“中国文化一无用处，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否认也并不能产生矛盾。?五灯会元?里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不承受。佛陀就问道：“

4、那你承受不承受什么都不承受这个观点呢？长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。自毁命题也还有很多，比方“真理是不可言说的，“墙上不准写字，“我没有在说话，“我在睡觉，“以暴止暴等。另外，还有一类“自成命题。自成命题的定义是：“A并不可以推导出A，但由A可以推导出A。自成命题具有自成性质，自成命题的否认将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比方哥德尔语句，就是自成命题。悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。悖论与自毁命题、自成命题的一样之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否认命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题

5、在否认命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。2罗素悖论悖论里面最出风头的要数“罗素悖论，他直接引起了“第三次数学危机，撼动了整个数学的基矗以下，我们介绍一下“罗素悖论。假设集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的，比方所有集合的集合。如今假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？假设说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。假设说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞，即T是不自吞的。“罗素悖论的通俗形式是“理发师悖论：一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？假设他不给自己理发，那么按照他的

6、声称，他应该给自己理发。假设他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发性质的，也就是他不为自己理发。数学家“日用而不知的“集合概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐开展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目

7、前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的？所谓一致的，就是不矛盾的，或称协调的，也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式A为真。这个问题又扩展到对数学根底的反思，什么样的数学根底是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？1对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派罗素，怀特海、形式主义或公理学派希尔伯特、直觉主义布劳威尔学派。本文主要涉及形式主义学派。希尔伯特大力提倡数学的形式主义即公理化。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回忆历史，我们还可以

8、惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式A，或者A是可证的，或者是A可证的。正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学根底问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。3哥德尔哥德尔19061978在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔

9、远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的晦涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。哥德尔Gdel一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家或许还加上一个弗雷格，他是现代逻辑的创始人。他有几个主要的奉献：一阶逻辑的完备性定理，哥德尔第一、第二不完全性定理、连续统假设与ZF公理集合论的协调、旋转宇宙里时间旅行的可能、把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年，他对哲学产生了深沉的兴趣，尤其是康德、莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。哥德尔晚年的转向，其背后包含有什么东西呢？在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，假设一个包含

10、算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和A在这个系统内都不可证。在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算也就是目前的计算机可计算、labda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。4自引用哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描绘：“这个数论语句在系统中是不可证的。这个G是不可证的，也就是“这个

11、数论语句在系统中是不可证的在系统中是不可证的。在这里，我们看到了“自引用或称“自指，“怪圈。这种怪圈并不是在数学上独有的。侯世达先生DuglasR.Hfstadter的?哥德尔、艾舍尔、巴赫集异壁之大成?2是人工智能界的一本奇书。在这本书里，作者考察了各种形式的“自引用。为了对这种“自引用有个直观的理解，大家不妨看一下艾舍尔的木雕画，看看那些“瀑布、“拿着反光球的手、“变形、“左手画右手，右手画左手等怪画。同样，在巴赫的卡农与赋格里，也存在类似的怪圈。数理逻辑学家哥德尔更是神奇般地把这种怪圈引进了以准确著称的数学领域。令人叫绝的是，侯世达先生甚至在本书的创作中也使用了很多怪圈。另外，在博尔赫斯

12、和卡尔维诺的文学作品里，我们也可以看到类似的怪圈。我在?玄奘东归记?的创作中，也尝试使用了这种怪圈。再者，这种怪圈在道德界也经常可以发现，但它往往是以反面的形式出现，也就是“不自指的。我们习惯于指责别人，我们很难做到“责人先责己。我们严于律人，宽以待己。我们习惯于指责其它民族，我们却很难反省一下我们历史上的“帝王将相动那么活埋数十万人，我们却很难反省一下狂乱的“文化大革命。目前，市面上总算看到了关于文革反省的?一百个人的十年?冯骥才著我们习惯于指责社会的物质化，我们却很难控制自己对物质的欲望。我们习惯于指责社会在堕落，我们却很难反省我们参与了整个社会的堕落。我们习惯于指责其别人贪污腐败，我们却

13、很难反省一下我们对权利财富的不当追逐。我们习惯于说别人都是坏的，我们却很难反省我们自己也是坏的。其实，一切道德命题都应该是“自指的。康德的“普遍化原那么说道：“要只按照你同时认为也能成为普遍规律的准那么去行动。再来看自然语言方面，每个词语都要由其它词语定义，那么在语词深处，不可防止地是循环定义的，是自引用的。不要再讲这么多太玄的东西，我们只要简单地对看一眼，这时就是一个“自引用的悖论。假设甲与乙对看了一眼，那么请问甲看得多，还是乙看得多？假设说甲看得多，那么甲看到的所有东西通过甲的眼睛在乙的眼睛里的成像都会被乙看到，这样来说乙看得更多；假设说乙看得多，同理可得甲看得更多。这不是悖论是什么？这种

14、怪圈在音乐界，在美术界，在文学界，在数学界，道德界、语言界乃至日常生活中都有其客观的存在，那能否说怪圈是人类的一种普遍现象呢？是不是因为某种更本质的怪圈比方意识里的怪圈，才导致了这种怪圈现象在音乐、在美术、在文学、在数学上的投影呢？现象学、存在主义、心理学、唯识学能对这种怪圈现象有什么奉献吗？5不一致根据第一不完全性定理可以推导出，一个包含算术形式系统的一致性在这个系统内是不可证的。这就是哥德尔第二不完全性定理。根据这个定理，一致性的证明超出了形式系统的才能。也就是说，形式系统可能是一致的，形式系统也可能是不一致的。在没有发现形式系统的矛盾性之前，我们只有学习维特根斯坦，对系统的“一致性保持沉

15、默。前期的维特根斯坦认为语言与世界共有一种逻辑本质并追求一种准确的语言，而后期的维特根斯坦那么成认日常语言，承受日常语言的模糊性，诉诸常识世界图示。这又能给我们什么启示？我们左绕右绕，绕了这么久，还是绕不开“不一致？那么我们不妨换一种思维：“既然甩不掉你，那你要跟着，你就跟着吧。或许“不一致正如同人的影子，它是人类远不脱的宿命？在这样的思路下，非单调逻辑和弗协调逻辑诞生了。非单调逻辑成认人在不同时间里理论不协调性的可能。比方当人类看到大雁会飞、鸽子会飞于是总结出“所有的鸟都是能飞的。但后来人类又发现驼鸟是不能飞的，于是原来的命题就应该改为“所有的鸟都是能飞的，除了驼鸟。而且，假设以后发现还有其

16、它鸟不能飞，这个命题就还要再改。这样来看，系统的定理集并不是单调递增的。非单调逻辑在“允许不一致方面进展了探究，但非单调逻辑还不是严格的“不协调的逻辑。非单调逻辑允许在不同的时间里可以有A和A同时成立，但是在同一时间里，非单调逻辑也不允许A和A同时成立。那么，是否有一种逻辑允许A和A同时成立呢？我们来分析一下，假设有一种逻辑系统允许A和A同时成立，那么这个系统称为不一致的。由反证法规那么可以推导出，在不一致的系统里，所有的公式都是真的。这种公式全真的系统，我们称之为“缺乏道的系统，也就是没有研究价值的系统。如此可以看出，“不一致的系统通过反证法规那么一定是“缺乏道的系统。那么，我们能不能构造一

17、个“不一致但又足道的系统呢？答案是可以的，前提是该系统里不能成认反证法规那么。弗协调逻辑ParansistentLgi3，就是这样一个逻辑系统。在这个逻辑系统里，矛盾律和反证法不普遍有效。如此，就引入了一个不一致但却足道的逻辑系统。弗协调逻辑是人类思维的一个大胆飞跃，它大胆地否认了“矛盾律的普遍有效性，在系统里面引入了“不一致。在这个逻辑系统里，A和A可以同时成立。科斯塔N.A.dasta，1929，弗协调逻辑的创始者，定义了一系列逻辑系统n(1=n=)。在1系统中，AA成立时，归谬律才成立。在2系统中，AAAAAA成立时，归谬律才成立。如此类推，可以定义到。6无科斯塔的这些逻辑系统层次与佛教

18、中的“四重二谛是有类似之处的。我曾在?以数理逻辑试解四重二谛?4中试图用逻辑语言来表达“四重二谛，并提出了真理的层次论。在“四重二谛中，有以下的性质：a.每一重里，真谛来自于对俗谛的否认。b.第(n+1)重的俗谛是第n重俗谛与真谛之分的前提。这种层次之分，与弗协调逻辑里的层次很有相似之处。不同之处在于，科斯塔的弗协调逻辑侧重“立的方面，“四重二谛那么侧重“破的方面。“四重二谛的前三重可以对应一个数学归纳法。到了第四重，那么对于前三重建立的所有系统来了一个更彻底的否认，直至“言亡虑绝。另外，在侯世达先生的?哥德尔、艾舍尔、巴赫集异壁之大成?里，我们也能看到很多禅宗的故事。一个外国人，通过一学期的汉语课，就能对禅宗有如此深的悟解，这是不能不让我们惊叹且惭愧的。本文的最后，我们也来欣赏一个禅宗故事。?大慧普觉禅师语录?卷30里写道：僧问赵州：“狗子还有佛性也无？州云：“无。此一字子，乃是摧许多恶知恶觉底器仗也。如僧问赵州：“狗子还有佛性？州云：“无。只管提撕举觉，左来也不是，右来也不是；又不得将心等悟，又不得向举起处承当，又不得作玄妙领略，又不得作有无