新人教版高中数学必修第二册第六章平面向量及其应用课件

1、6.1平面向量的概念第六章平面向量及其应用学习目标XUE XI MU BIAO1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量 的区别.2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等 概念，会辨识图形中这些相关的概念.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE1.向量：既有 又有 的量叫做向量.2.数量：只有 没有 的量称为数量.知识点一向量的概念大小方向大小方向1.有向线段具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.知识点二

2、向量的几何表示方向起点方向长度2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用 ).3.模、零向量、单位向量001思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案错误.理由是：向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.(1)记法：向量a与b平行，记作 .(2)规定：零向量

3、与任意向量 .2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做 向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.知识点三相等向量与共线向量相同或相反非零ab平行相等相同共线思考(1)平行向量是否一定方向相同？答案不一定；(2)不相等的向量是否一定不平行？答案不一定；(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？答案零向量；(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案平行(共线)向量.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.如果 .()提示

4、向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.2.若a，b都是单位向量，则ab.()提示a与b都是单位向量，则|a|b|1，但a与b的方向可能不同.3.力、速度和质量都是向量.()提示质量不是向量.4.零向量的大小为0，没有方向.()提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.2题型探究PART TWO例1(多选)下列说法错误的有A.向量 与向量 的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量都是相等的D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等一、向量的概念解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个

5、单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1下列说法中正确的是A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.二、向量的几何表示及应用例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50的方向走了2

6、00 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.在四边形ABCD中，ABCD且ABCD，四边形ABCD为平行四边形，反思感悟作向量的方法准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练2在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使ba；解根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c| ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？解由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为 的圆(作图略).三、相等向

7、量与共线向量例3如图所示，ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.(1)写出与 共线的向量；解因为E，F分别是AC，AB的中点，又因为D是BC的中点，(2)写出模与 的模相等的向量；(3)写出与 相等的向量.反思感悟相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.跟踪训练3如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.(1)与 的模相等的向量有多少个？解与

8、 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与 共线的向量有几个？核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI特殊向量的作用典例给出下列命题：若ab，则a与b的方向相同或相反；若ab，bc，则ac；若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；若ab，bc，则ac，其中正确的是_.(填序号)解析由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a0，则对于任意的向量b，都有ab，知错误；取b0，则对于任意的向量a，c都有ab，bc，知

9、错误；两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知错误；由两个向量相等的概念可知正确.素养提升(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.3随堂演练PART THREE1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是A.单位圆B.一段弧C.线段D.直线123452.(多选)下列说法错误的有A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若 ，则一定有直

10、线ABCDD.若向量 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上解析A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.12345A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形所以四边形ABCD为平行四边形，所以四边形ABCD为菱形.123454.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有_.(填序号)A，O，C三点在一条直线上，123450123451.知识清单：(1)向量的基本概念.(2)向量的几何表示.(3)相等向量与共线向量(平行向量).2.方法归纳：数形结合.3.常见

11、误区：忽视零向量这一特殊向量.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.2.1向量的加法运算第六章6.2平面向量的运算学习目标XUE XI MU BIAO1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则 作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE1.向量加法的定义求 的运算，叫做向量的加法.知识点一向量加法的定义及其运算法则两个向量和2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内

12、任取一点A，作 a， b，则向量 叫做a与b的和，记作 ，即ab .这种求向量和的方法，称为向量加法的_ 法则.对于零向量与任意向量a，规定a0 _平行四边形法则以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则ab三角形0aa平行四边形 的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.位移力思考|ab|与|a|，|b|有什么关系？答案(1)当向量a与b不共线时，ab的方向与a，b不同，且|ab|b|，则ab的方向与a相同，且|ab|a|b|；若|a|0001

13、.(1)(a) .(2)()a .(3)(ab) .特别地，()aa ，(ab) .2.向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b) .知识点二向量数乘的运算律()aaaab(a)ab加减数乘1a2b向量a (a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使 .知识点三向量共线定理ba思考向量共线定理中为什么规定a0?答案若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线.(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.

14、若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一.2.若ba，则a与b共线.()3.若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.4.|a|a|.()提示|a|a|.2题型探究PART TWO例1(1)若a2bc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)等于A.a B.bC.c D.以上都不对一、向量的线性运算解析原式3a6b6b2c2a2ba2b2c2bc2b2cc.(2)若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.解析由已知，得3x3a2x4a4x4a4b0，所以x3a4b0，所以x4b3a.4b3a反思感悟向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似

15、于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.跟踪训练1计算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a2a4b8a10a4b.二、用已知向量表示其他向量解析因为E是BC的中点，反思感悟用已知向量表示其他向量的两种方法(1)直接法(2)方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法

16、则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.解析示意图如图所示，三、向量共线的判定及应用例3设a，b是不共线的两个向量.a2b，A，B，C三点共线.(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值.解8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0，解得2，k24.反思感悟(1)证明或判断三点共线的方法一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得 即可.(2)利用向量共线求参数的方法已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.A，B，DA，B，D三点共线.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG

17、 ZHI LUO JI TUI LI三点共线的常用结论A.1 B.2C.3 D.4解析连接AO(图略)，O是BC的中点，素养提升(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使 ，且xy1.(2)应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.3随堂演练PART THREE123451.下列运算正确的个数是(3)2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0.A.0 B.1 C.2 D.3解析根据向量数乘运算和加减运算规律知正确；(a2b)(2ba)a2b2ba0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.所以运算正确

18、的个数为2.1234512345123454.化简4(a3b)6(2ba)_.解析4(a3b)6(2ba)4a12b12b6a10a.10a解析因为A，B，D三点共线，(3k)e1(2k1)e2，所以3e12e2(3k)e1(2k1)e2，123451.知识清单：(1)向量的数乘及运算律.(2)向量共线定理.2.方法归纳：数形结合、分类讨论.3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.2.4向量的数量积第六章6.2平面向量的运算学习目标XUE XI MU BIAO1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定

19、义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作 a， b，则 (0)叫做向量a与b的夹角(如图所示).知识点一两向量的夹角与垂直当0时，a与b ；当时，a与b .2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作ab.非零向量AOB同向反向非零向量a，b的夹角为，数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .知识点二向量数量积的

20、定义|a|b|cos |a|b|cos 0思考若a0，且ab0，是否能推出b0.答案在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0.因为其中a有可能垂直于b.知识点三投影向量|a|cos e知识点四平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，e是与b方向相同的单位向量.则(1)aeea|a|cos .(2)abab0.(3)当ab时，ab特别地，aa 或|a| .(4)|ab| |a|b|. ，a与b同向， ，a与b反向.|a|b|a|b|a|2知识点五平面向量数量积的运算律1.ab (交换律).2.(a)b (数乘结合律).3.(ab)c

21、(分配律).ba(ab)a(b)acbc思考若abbc，是否可以得出结论ac?答案不可以.已知实数a，b，c(b0)，则abbcac，但是abbc推不出ac.理由如下：如图，ab|a|b|cos |b|OA|，bc|b|c|cos |b|OA|.所以abbc，但是ac.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.()2.若ab0两向量夹角为锐角，ab0两向量夹角为钝角.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.3.1平面向量基本定理第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示学习目标XUE XI MU BIAO1.理

22、解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数1，2，使a1e12e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一个基底.知识点平面向量基本定理不共线任一有且只有一对所有思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.平面内任意

23、两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.()提示只有不共线的两个向量才可以作为基底.2.0，e可以作为基底.()提示由于0和任意向量共线，故0，e不可作为基底.3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.()2题型探究PART TWO例1(多选)设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是A.e1e2和e1e2B.3e14e2和6e18e2C.e12e2和2e1e2D.e1和e1e2一、平面向量基本定理的理

24、解解析选项B中，6e18e22(3e14e2)，6e18e2与3e14e2共线，不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.反思感悟考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1已知向量a，b是一个基底，实数x，y满足(3x4y)a(2x3y)b6a3b，则xy_.解析因为a，b是一个基底，所以a与b不共线，3所以xy3.二、用基底表示向量解因为DCAB，AB2DC，E，F分别是DC，AB的中点，延伸探究1.本例中若取BC的中点G，则 _.2.本例中若EF的中点为H，试表示出

25、.反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.ab2ac3随堂演练PART THREE1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：其中可作为该平面其它向量基底的是A. B. C. D.123452.如果e1，e2是平面内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是A.若存在实数1，2使1e12e20，则120B.对空间任意向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC.1e1

26、2e2(1，2R)不一定在平面内D.对于平面内任意向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解析B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；C错，在平面内任意向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内；D错，这样的1，2是唯一的，而不是无数对.12345123453.给出下列三种说法：一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为A. B. C. D.12345A.BD2CD B.BDCDC.BD3CD D.CD2BD因为平行四边

27、形的对角线互相平分，123451.知识清单：(1)平面向量基本定理.(2)基底.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示学习目标XUE XI MU BIAO1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作正交分解.知识点一平面向量的正

28、交分解垂直1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取i，j作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得axiyj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .2.在直角坐标平面中，i ，j ，0 .知识点二平面向量的坐标表示单位向量a(x，y)(1,0)(0,1)(0,0)思考点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？答案区别表示形式不同向量a(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a(x，y)的

29、坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同设a(x1，y1)，b(x2，y2)，知识点三平面向量加、减运算的坐标表示数学公式文字语言表述向量加法ab(x1x2，y1y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法ab(x1x2，y1y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 (x2x1，y2y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

30、思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.零向量的坐标是(0,0).()2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.()2题型探究PART TWO例1如图，在平面直角坐标系xOy中，OA4，AB3，AOx45，OAB105， .四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；一、平面向量的坐标表示解作AMx轴于点M，则OMOAcos 45AMOAsin 45AOC18010575，AOy45，COy30.又OCAB3，(3)求

31、点B的坐标.反思感悟在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.跟踪训练1已知点M(5，6)，且 (3,6)，则N点的坐标为_.(2,0)二、平面向量加、减运算的坐标表示A.(7，4) B.(7,4)C.(1,4) D.(1,4)即x4，y2，反思感悟平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.3随堂演练PART THREE1.已知向量a(1,2)，b(3,1)，则ba等于A.(2,1) B.(2，1)C.(2,0)

32、D.(4,3)12345解析由题意得ba(3,1)(1,2)(2，1).12345123453.若A(3,1)，B(2，1)，则 的坐标是A.(2，1) B.(2,1)C.(1,2) D.(1，2)12345(2，4)(2，4).123455.若a(2,2)，b(3，4)，c(1,5)，则abc_.(2,3)解析abc(231,245)(2,3).1.知识清单：(1)平面向量的正交分解及坐标表示.(2)平面向量加、减运算的坐标表示.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：已知A，B两点求 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.3.4平面向量数乘运

33、算的坐标表示第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE已知a(x，y)，则a ，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数 .知识点一平面向量数乘运算的坐标表示(x，y)乘原来向量的相应坐标设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则a，b共线的充要条件是存在实数，使ab.如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b0

34、)共线.注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.知识点二平面向量共线的坐标表示x1y2x2y10思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则 .()提示当y1y20时不成立.2.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3.若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(b0)，且x1y2x2y10，则ab.()4.向量a(1,2)与向量b(4,8)共线.()2题型探究PA

35、RT TWO例1 (1)已知向量a(1,2)，2ab(3,2)，则b等于A.(1，2) B.(1,2)C.(5,6) D.(2,0)一、平面向量数乘运算的坐标表示解析b2ab2a(3,2)(2,4)(1，2).A.(2，2) B.(2,2)C.(1,1) D.(1，1)反思感悟平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.跟踪训练1已知a(1,2)，b(2,1)，求：(1)2a3b；解2a3b2(1,2)3(2,1)

36、(2,4)(6,3)(4,7).(2)a3b；解a3b(1,2)3(2,1)(1,2)(6,3)(7，1).二、向量共线的判定解析A选项，(2)634240，a与b不平行；B选项，22334950，a与b不平行；C选项，114(2)7280，a与b不平行；D选项，(3)(4)2612120，ab.例2下列各组向量中，共线的是A.a(2,3)，b(4,6)B.a(2,3)，b(3,2)C.a(1，2)，b(7,14)D.a(3,2)，b(6，4)反思感悟向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.跟踪训练2下列各

37、组向量中，能作为平面内所有向量基底的是A.e1(0,0)，e2(1，2)B.e1(1,2)，e2(5,7)C.e1(3,5)，e2(6,10)D.e1(2，3)，e2解析A选项，e10，e1e2，不可以作为基底；B选项，1725170，e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，310560，e1e2，故不可以作为基底；e1e2，不可以作为基底.三、利用向量共线的坐标表示求参数例3(1)已知向量a(2,6)，b(1，)，若ab，则_.3解析由题意知62，所以3.(2)已知点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1).若向量 与向量a(，1)共线，则_.解析点P(1,2)，线段PQ的中点M的

38、坐标为(1，1)，所以4160，反思感悟利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用向量共线定理ab(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.跟踪训练3(1)已知非零向量a(m21，m1)与向量b(1，2)平行，则实数m的值为解析非零向量a(m21，m1)与向量b(1，2)平行，所以2(m21)1(m1)0，且m1，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI定比分点坐标公式及应用典例(1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的

39、任一点P，存在一个实数，使 ，叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为，求P点的坐标.解设P(x，y).(xx1，yy1)(x2x，y2y)，(2)如图，ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 2，求点G的坐标.解D是AB的中点，设G点坐标为(x，y)，素养提升(1)用有向线段的定比分点坐标公式 可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现

40、我们思维的独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.3随堂演练PART THREE1.下列各组向量中，共线的是A.a(1,2)，b(4,2)B.a(3,2)，b(6，4)C.a ，b(10,5)D.a(0，1)，b(3,1)12345解析若a与b(b0)共线，则存在实数使得ab，经过验证，只有B满足条件，b2a.2.已知向量a(2，1)，b(x1,2)，若ab，则实数x的值为A.2B.2C.3D.3解析因为ab，所以22(1)(x1)0，得x3.123451234512345解析设与a平行的单位向量为e

41、(x，y)，123455.已知向量a(1，)，b(2,1)，c(1，2)，若向量2ab与c共线，则_.解析因为向量a(1，)，b(2,1)，c(1，2)，所以2ab(4,21)，所以由2ab与c共线得8(21)0，1.知识清单：(1)平面向量数乘运算的坐标表示.(2)两个向量共线的坐标表示.2.方法归纳：化归与转化.3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.课堂小结KE TANG XIAO JIE6.3.5平面向量数量积的坐标表示第六章6.3平面向量基本定理及坐标表示学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握平面向量数量积的坐标表示.2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂

42、直有关的问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为.则ab .(1)若a(x，y)，则|a|2 或|a| .若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a( ， )，|a| .(2)ab .(3)cos .知识点平面向量数量积的坐标表示x1x2y1y2x2y2x2x1y2y1x1x2y1y20思考若两个非零向量的夹角满足cos 0，则两向量的夹角一定是钝角吗？答案不一定，当cos 0，则两向量的夹角一定是锐角.()提示当两向量同向共线时，cos

43、10，但夹角0，不是锐角.3.两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，满足x1y2x2y10，则向量a与b的夹角为0.()2题型探究PART TWO例1已知a(2，1)，b(1，1)，则(a2b)(a3b)等于A.10 B.10 C.3 D.3一、数量积的坐标运算解析a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b)(a3b)4(1)(3)210.反思感悟进行数量积运算时，要正确使用公式abx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系(1)|a|2aa.(2)(ab)(ab)|a|2|b|2.(3)(ab)2|a|22ab|b|2.跟踪训练1向量a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a

44、等于A.1 B.0 C.1 D.2解析因为a(1，1)，b(1,2)，所以2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab)a(1,0)(1，1)1.二、平面向量的模解a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，例2已知平面向量a(3,5)，b(2,1)，求a2b及其模的大小.反思感悟求向量a(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方.(2)aaa2|a|2或|a| ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.解析a(2,1)，a25，即a22abb250，5210b2

45、50，b225，|b|5.三、平面向量的夹角、垂直问题例3(1)已知|a|1，b(0,2)，且ab1，则向量a与b夹角的大小为解析因为|a|1，b(0,2)，且ab1，设a与b的夹角为，(2)设向量m(2x1,3)，向量n(1，1)，若mn，则实数x的值为A.1 B.1 C.2 D.3解析因为向量m(2x1,3)，向量n(1，1)，mn，所以mn(2x1)13(1)2x130，解得x2.反思感悟解决向量夹角问题的方法及注意事项(2)注意事项：利用三角函数值cos 求的值时，应注意角的取值范围是0180.利用cos 判断的值时，要注意cos 0时，也有两种情况：一是是锐角，二是为0.跟踪训练3已

46、知向量a(1,2)，b(m,1).若向量ab与a垂直，则m_.解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3).又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.73随堂演练PART THREE1.若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于12345解析abx63，故x3.2.已知a(3,4)，b(5,12)，则a与b夹角的余弦值为12345ab3541263.123453.已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于A.1 B. C.2 D.4解析(2ab)b2ab|b|22(1n2)(1n2)n230，123454.若平面向量a(1

47、，2)与b的夹角是180，且|b| ，则b等于A.(3,6) B.(3，6)C.(6，3) D.(6,3)解析由题意，设ba(，2)(0)，又0，则角C为钝角.()2题型探究PART TWO例1(1)在ABC中，已知b3，c ，A30，求a；一、已知两边及一角解三角形解由余弦定理，得a2b2c22bccos A(2)在ABC中，已知b3，c ，B30，求角A、角C和边a.解由余弦定理b2a2c22accos B，即a29a180，解得a3或a6.当a3时，A30，C120；A90，C60.反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边

48、的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.跟踪训练1已知在ABC中，a1，b2，cos C ，则c ；sin A .2解得c2.二、已知三边解三角形例2在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角.解acb，A为最大角.由余弦定理的推论，又0A180，A120，最大角A为120.反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.解易知acc2，且b2c2a2，且c2a2b2.ABC为钝角三角形a2b2c2或b2c2a2或c2a2bc，C为最小角且C为锐角，

49、123454.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是A.90 B.120 C.135 D.15012345解析设ABC三边分别为AB5，AC7，BC8，B60，BCACAB，ABC，最大角与最小角的和为AC180B120.123451.知识清单：(1)余弦定理.(2)余弦定理解决的两类问题.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.课堂小结KE TANG XIAO JIE第2课时正弦定理第六章6.4.3余弦定理、正弦定理学习目标XUE XI MU BIAO1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.2.能运用正弦定理与三角形内角和定

50、理解决简单的解三角形问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.知识点一正弦定理正弦1.a ，b ，c .知识点二正弦定理的变形公式思考在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？答案等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.2Rsin A2Rsin B2Rsin C思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.正弦定理对任意的三角形都成立.()2.在ABC中，等式bsi

51、n Ccsin B总能成立.()3.在ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.()4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.()2题型探究PART TWO例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形.一、已知两角及任意一边解三角形又C180(3060)90，反思感悟(1)正弦定理实际上是三个等式： ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角.跟踪训练1在ABC中，已知B30，C105，b4，解三角形.解因为B30，C105，所以A180(BC)180(30105)45.二、已知两边及其中

52、一边的对角解三角形例2在ABC中，已知c ，A45，a2，解三角形.0C180，C60或C120.延伸探究若把本例中的条件“A45”改为“C45”，则角A有几个值？反思感悟这一类型题目的解题步骤为用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；用三角形内角和定理求出第三个角；根据正弦定理求出第三条边.其中进行时要注意讨论该角是否可能有两个值.跟踪训练2在ABC中，AB2，AC3，B60，则cos C等于三、三角形形状的判断例3在ABC中，已知 ，且sin2Asin2Bsin2C.求证：ABC为等腰直角三角形.a2b2即ab，又sin2Asin2Bsin2C，ABC为等腰直角三角形.反思感悟判断三角形的形状

53、，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆的半径)；(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：跟踪训练3在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形解析方法一(利用边的关系进行判断)由正弦定理和余弦定理，所以ABC是等腰三角形.方法二(利用角的关系进行判断)因为在ABC中，ABC，即

54、C(AB)，所以sin Csin(AB).由2sin Acos Bsin Csin(AB)，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin B0，所以sin(AB)0.因为AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形.即a2c2b2c2，即a2b2，故ab.3随堂演练PART THREE1.在ABC中，a5，b3，则sin Asin B的值是12345123452.在ABC中，若sin Asin C，则ABC是A.直角三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析由sin Asin C及正弦定理，知ac，ABC为等腰三角形

55、.123453. 在ABC中，一定成立的等式是A.asin Absin B B.acos Abcos BC.asin Bbsin AD.acos Bbcos A4.在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于12345123455.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B45，C60，c1，求ABC最短边的边长.解由三角形内角和定理，得A180(BC)75，所以B是最小角，b为最短边.1.知识清单：(1)正弦定理.(2)正弦定理的变形推论.2.方法归纳：化归转化、数形结合.3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论.课堂小结KE TANG XIAO JIE第

56、3课时余弦定理、正弦定理应用 举例第六章6.4.3余弦定理、正弦定理学习目标XUE XI MU BIAO1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量 问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理知识点二高度问题类型简图计算方法底部可达测得BCa，BCAC，ABatan C.底部不可达点B与C，D共线测得CDa及C与ADB的度数.先由

57、正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.点B与C，D不共线测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数.在BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.知识点三角度问题测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角

58、.()2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.()3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.()4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.()2题型探究PART TWO例1如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则BC为 m.一、距离问题解析由题意知，ACB180307575，反思感悟求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.跟踪训练1A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA7 km，CB5 km，C60，则A，B两点之间的距离为 km.解析由余弦定理，得AB2CA2CB22CACBcos C二、高度问题例2如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选