2021年贵阳市中考数学总复习：轨迹问题中的“瓜豆原理”模型

1、2021年贵阳市中考数学总复习：轨迹问题中的“瓜豆原理”模型2021年贵阳市中考数学总复习：轨迹问题中的“瓜豆原理”模型微专题 轨迹问题中的“瓜豆原理”模型(2019.15)1. 图形变换(平移、翻折、旋转及位似等)的本质是点变换；反之，点变换也可以看作该点所在图形的变换；2. 分析问题时，要先找定点，再确定从动点如何随主动点的运动而运动，即主动点关于定点经过怎样的变换可以得到从动点；3. 使用“瓜豆原理”的前提是必须存在定点来充当旋转(位似)中心，使主动点经过相应的变换可以得到从动点，即“无定点，不瓜豆”微专题 轨迹问题中的“瓜豆原理”模型(2019.15)1模型分析问题1(共顶点，等线段)

2、根据旋转的性质，写出在下列三角形中，点P经过怎样的旋转变换可以得到Q点(1)等腰RtAPQ；(2)等边APQ；(3)任意等腰APQ(顶角为)图图图问题1图类型一旋转型问题1解：(1)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转90而来；(2)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转60而来；(3)点Q可以看作点P绕定点A按逆时针方向旋转角而来模型分析问题1(共顶点，等线段)根据旋转的性质，写出在下列问题2(直线生直线)在问题1中，若点A是定点，点P在直线l上运动，在运动过程中保持A大小不变，则点Q的运动路径是什么？它可以由点P的路径通过怎样的旋转变换得到？图图图问题2图问题2(直线生直线)在问题1

3、中，若点A是定点，点P在直线l问题2解：点Q可以看作点P绕定点A经过旋转而来，因此点Q的运动轨迹即可由直线l通过旋转得到. 把AP和直线l作为一个整体，AQ的对应线段是AP，点Q的运动轨迹即是l绕点A逆时针旋转方向角A得到如解图所示：问题2解图问题2解图问题2解图问题2解：点Q可以看作点P绕定点A经过旋转而来，因此点Q的问题3(圆生圆)在问题2中，若将“定直线l”改为“定O”，其他条件不变，结果如何？图图图问题3图问题3解：点Q的路径可以由点P所在的O绕定点A经过相应的旋转而来，如解图所示：问题3解图问题3解图问题3解图问题3(圆生圆)在问题2中，若将“定直线l”改为“定O”模型总结此类轨迹问

4、题可通过“旋转变换”来解决，称P为主动点，Q为从动点，根据旋转不变性，从动点Q的路径与主动点P的路径是全等图形. “集体行动，步调一致”，每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的变换而来，若是圆，其圆心亦然模型总结此类轨迹问题可通过“旋转变换”来解决，称P为主动点，针对演练1. 如图，已知AB2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边BDE，当点D由点A运动到点C时，点E运动的路径长为_2. 如图，ABC是等边三角形，AB3，E在AC上且AE AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是_

5、 .第1题图第2题图针对演练1. 如图，已知AB2，点D是等腰RtABC斜边类型二位似型问题4(共顶点，定比值线段)已知线段AB，其中A为定点，C为AB上一点，在下列条件下，点C可以看作点B经过怎样的位似变换得到？(1)点C是AB的中点；(2)AB3AC；(3)C为直线AB上任意一点且 k(k为常数)图图图问题4图问题4解：(1)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以 为位似比同侧缩小而来；(2)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以 为位似比同侧缩小而来；(3)点C可以看作点B以定点A为位似中心，以k为位似比放缩而来模型分析类型二位似型问题4(共顶点，定比值线段)已知线段AB，其问题5(直线

6、生直线)在问题4中，若点B在定直线l上运动，其他条件不变，点C的运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何变换而来？图图图问题5图问题5解：每个点C都可以看作点B以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，点C的路径是点B的路径(即直线l)以定点A为位似中心，以相应的位似比放缩而来，如解图所示：问题5解图问题5解图问题5解图问题5(直线生直线)在问题4中，若点B在定直线l上运动，其问题6(圆生圆)在问题5中，若将“定直线l”改为“定O”，其他条件不变，结果如何？ 图图图问题6图问题6解：点C的路径可以由点B所在的O以定点A为位似中心，以相应的位比放缩而来，且这两个圆的相似比(即半径比)等于位似比

7、如解图所示：问题6解图问题6解图问题6解图问题6(圆生圆)在问题5中，若将“定直线l”改为“定O”模型总结此类轨迹问题可通过“位似变换”来解决，称B为主动点，C为从动点，根据位似的性质，从动点C的路径与主动点B的路径是相似图形. “集体行动，步调一致”，每一个点都是经过相同的变换得到，整个路径自然也是经过相同的交换而来，若是圆，其圆心亦然，且这两个圆的相似比(即半径比)等于位似比模型总结此类轨迹问题可通过“位似变换”来解决，称B为主动点，针对演练3. 如图，在等腰RtABC中，ACBC2 ，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，则点M运动的路径长是()

8、A. B. C. 2 D. 24. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，E是BC的中点，AE、BD相交于点P，当ABC从90逐步减少到30的过程中，则点P 经过的路径长为_第3题图第4题图B针对演练3. 如图，在等腰RtABC中，ACBC2 模型分析类型三旋转位似型问题7(共顶点，定夹角，定比值线段)在ABC中，A为定点，在下列条件下，点C可以通过点B经过怎样的旋转和位似变换得到？(1)等腰RtABC中，B90；(2)等腰ABC中，B120；(3)ABC中，A为常数，且 k为常数图图图问题7图模型分析类型三旋转位似型问题7(共顶点，定夹角，定比值(3)点C可以看作点B先绕着定点A逆时针旋转角，再

9、以定点A为位似中心，以k为位似比放缩而来问题7解：(1)A45且 ，故点C可以看作点B先绕着定点A逆时针转45，再以定点A为位似中心，以 为位似比放大而来； (2)A30且 ，可知点C可以看作点B先绕着定点A逆时针旋转30，再以定点A为位似中心，以 为位似比放大而来；(3)点C可以看作点B先绕着定点A逆时针旋转角，再以定点A问题8(直线生直线)在问题7中，若点B在定直线l上运动，其他条件不变，如图所示，点C的运动路径是什么？它可以看作点B的路径如何而来？图图图问题8图问题8解：每一个点C都可以看作相应的点B先旋转后位似而来，因此点C的路径是点B的路径(即直线l)先旋转后位似而来如解图所示：问题

10、8解图问题8解图问题8解图问题8(直线生直线)在问题7中，若点B在定直线l上运动，其问题9(圆生圆)在问题8中，若将“定直线l”改为“定O”，其他条件不变，结果如何？问题9解：点C的路径可以由点B所在的O先旋转BAC，再以相应的位似比放缩得到，这两个圆的相似比(即半径比)等于位似比如解图所示：问题9解图问题9解图问题9解图问题9(圆生圆)在问题8中，若将“定直线l”改为“定O”模型总结这里既含有“旋转变换”，又涉及“位似变换”，故称“旋转位似变换”；根据旋转不变性以及位似的性质，从动点C的路径与主动点B的路径依然是相似图形，且其相似比等于位似比模型总结这里既含有“旋转变换”，又涉及“位似变换”，故称“旋针对演练5. 如图，已知AB2，点D是等腰RtABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等腰BDE，其顶