高三数学一轮总复习第九章平面解析几何第八节圆锥曲线的综合问题第三课时定点定值探索性问题课时跟踪检

1、课时跟踪检测（五十四）一保高考,全练题型做到高考达标定点、定值、探干脆问题1如图,已知A1,A2,B1,B2分别是椭圆C：x2y2A1B1B2 是221 ab0 的四个顶点,ab一个边长为2 的等边三角形,其外接圆为圆M. 1 求椭圆 C及圆 M的方程；2 如点 D是圆 M劣A B 上一动点 点 D异于端点 A1,B2,直线 B1D分别交线段 1 2A1B2,椭圆 C于点 E,G,直线 B2G与 A1B1交于点 F. 求GB EB1的最大值；试问： E,F 两点的横坐标之和是否为定值？如是,求出该定值；如不是,请说明理由解： 1 由题意知 B20,1,A1 3, 0 ,3 3x1 联立,所以

2、b1, a3,所以椭圆2 C的方程为x 3y21. 易得圆心 M 3 3,0 ,A1M23 3,所以圆 M的方程为x32y24 3. 32 设直线 B1D的方程为 ykx1 kb0 的离心率为椭圆的左顶点为A. 1 求椭圆的方程；2 设垂直于 y 轴的直线 l 交椭圆于 B,C两点,试求ABC面积的最大值；3 过点 A 作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于D, E 两点,且k1k22,求证：直线 DE恒过一个定点解： 1 由题意得c a2 2,解得a1,b2 2,121 4b 2 1,所以椭圆的方程为2ac2 2 .a2 b 2c2,x22y 21. 2 设 B m, n ,C m,n ,

3、1就 S ABC2 2| m| | n| | mn|. 又 1m 22n 22 2m 2n 22 2| mn| ,2所以 | mn| 4,2当且仅当 | m| 2| n| 时取等号,从而 S ABC4 . 2所以 ABC面积的最大值为 4 . 3 证明：由于 A 1,0 ,所以直线 AD：yk1 x1 ,直线 AE：yk2 x1 yk1 x1,联立 消去 y,x 22y 212 2 2得1 2k 1 x 24k 1x2k 11 0,212k 1解得 x 1 或 x12k 1,2 212k 1 2k1 12k 2 2k2故点 D 12k 1,12k 1. 同理, E 12k 2,12k 2. 2

4、k 18 4k1又 k1k22,故 E 8k 1,8 k 1. 故直线 DE的方程为4k1 2k12k1 8k 112k 21 12k 21y12k 1k 218 12k 21 x12k 1,8k 112k 2122k1 3k1 1 2k 1即 y12k 12 k 212x1 2k 1,3k1 5k1即 y2 k 21 2 x2 k 212 . 所以 2yk 13 x5 k14y0. 就令y0,得直线 DE恒过定点5 3,0 . 1 2,直线 l ：3x503在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2 2C：x a 2y b 21 ab0 的离心率 exmy10 mR过椭圆 C的右焦点 F交椭圆 C

5、于 A,B 两点1 求椭圆 C的标准方程 2 已知点 D5 2,0 ,连结 BD,过点 A 作垂直于 y 轴的直线 l 1,设直线 l 1与直线 BD交于点 P,摸索究当 m变化时,是否存在一条定直线 求出直线 l 2的方程；如不存在,请说明理由l 2,使得点 P 恒在直线 l 2 上？如存在,请解： 1 在 xmy10 中,令 y0,就 x1,所以 F1,0c1,c1,由题设,得 c 1 解得 从而 b 2a 2c 23,a2,a2,2 2所以椭圆 C的标准方程为x 4y 31. 3 3 3 32 令 m0,就 A 1,2,B 1,2或 A 1,2,B 1,2 . 3 3 3当 A 1,2,

6、B 1,2时, P 4,2；3 3 3当 A 1,2,B 1,2时, P 4,2 . 所以满意题意的定直线 l2只能是 x4. 下面证明点 P 恒在直线 x4 上设 A x1,y1 ,B x2,y2由于 PA垂直于 y 轴,所以点 P 的纵坐标为 y1,从而只要证明 P4 , y1 在直线 BD上xmy10,由2 2x 4y 31消去 x,得 4 3m 2 y26my90. 3y1y22 3my1y2. my23 2由于 1441 m 20 ,所以 y1y2 6m 43m 2,y1y29 2. 43m由于 kDB kDPy20y1 0 x25 2 45 2y2y1my215 2 323 2y2

7、y1 my222my23将式代入上式,得 kDB kDP0,所以 kDBkDP. 所以点 P4 ,y1 在直线 BD上,从而直线 l1、直线 BD与直线 l2：x4 三线恒过同一点 P,所以存在一条定直线 l 2：x4,使得点 P 恒在直线 l 2上24. 如图,已知椭圆 C：x 4 y 21,A,B 是四条直线 x 2, y 1 所围成的两个顶点1 设 P 是椭圆 C上任意一点,如OP mOA n OB ,求证：动点 Q m, n 在定圆上运动,并求出定圆的方程；2 如 M,N是椭圆 C上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,摸索求OMN的面积是否为定值,说明理由

8、解： 1 证明：易求A2,1 ,B 2,1 2 设 P x0,y0 ,就x 4y 0 2 01. 由 OP mOA nOB ,得x0 2mn,y0mn,所以4mn221,即 m 2 n 21 2. mn4故点 Q m,n 在定圆 x2y21 2上2 设 M x1,y1 , N x2,y2 ,就y1y2 x1x21 4. 2 1y2 24 x 14 x 2 ,即 x2 21x 24. 平方得 x2 1x2 216y由于直线 MN的方程为 x2x1 y y2y1xx1y2x2y10,所以 O到直线 MN的距离为 d|x1y2x2y1|2,2 22y 12x1x2y1y2x2x12y2 y1所以 O

9、MN的面积 S1 2MNd1 2| x1y2x2y1| 1 2x2 1y2 2x1x2 1 12 x 2 2 4x 2 12 x 141 2x2 21x 21 2x2 1x2 21. 2故 OMN的面积为定值1. 二上台阶,自主选做志在冲刺名校C：x a2022 苏锡常镇、宿迁一调 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2 2y b2 21 ab0 的离心率为2 2,且经过点1,6 2,过椭圆的左顶点 A 作直线 l x 轴,点 M为直线 l 上的动点 点 M与点 A 不重合 ,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM交椭圆 C于点 P. 1 求椭圆 C的方程；2 求证： APOM；3 试问 OP OM

10、是否为定值？如是定值,恳求出该定值；如不是,请说明理由2 2解： 1 由于椭圆 C：x a 2yb 21 ab0 的离心率为 2,所以 a 22 2c 2,又 c 2 a 2 b 2,所以 a 22b 2. 6 1 3又椭圆 C过点 1,2,所以 2b 22b 21. 2 2所以 a 24,b 22. 所以椭圆 C的方程为x 4y 21. 2 证明： 法一： 设直线 BM的斜率为 k,就直线 BM的方程为 yk x2 设 P x1,y1 ,2 2将 yk x 2 代入椭圆 C的方程x 4y 21 中并化简得 2 k 21 x 28k 2x8k 240,4k 224k解得 x12k 21, x2

11、 2,所以 y1k x12 2k 21,4k 22 4k从而 P 2k 21,2k 21 . 令 x 2,得 y 4k,所以 M 2, 4k , OM 2, 4k又 AP 4k22 212,4k 2k 2 1 2 8k2k 21,4k 2k 21 ,2k所以 AP OM 216k2k 212 16k2k 210,所以 APOM. 法二：设 P x0,y0 由于 A 2,0 ,B2,02y0 y0 y 0所以 kPAkPBx02x0 2x 04. 2 2又由于点 P 在椭圆上,所以 4y 21,x 02所以 y 02 1x 4 . 01 22 4x 01所以 kPAkPBx 2042. 由于 kPB kMB tan MBAMA AB,kMO tan MOAMA AO,所以 kPB1