高一数学期中复习资料三角恒等式

1、2022 年 4 月期中高一复习资料 三角恒等变换【学问点】两角和差公式：sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 2 tan 2 1 tan cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan 二倍角公式：sin cos1 sin 2 2sin 2 2sin coscos 22 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin tan 2变形一：降幂公式2 cos1 cos 2 ； sin 2 2 1 cos 22 变形二：半角公

2、式sin2sin cos 2 2 2 2 cos2 2 1 1 2sin2 2 cos2 cos2 sin2 tan2 tan 2 2 1 tan2帮助角公式函数 f a sinb cos ,可以化为2 bcos 22 a2 bsin f 2 ab 2 a2 bsinb2 a2 a其中 tanb , cosa aa 2 b, sinb；2 a2 b（1）要求：齐一次,函数同角不同名；（题型一：两角和差公式2）储备公式：和差角公式,倍角公式,降幂公式等例 1 已知 a cos 2 ,sin, b1, 2sin1 ,2 ,如 a b2,就 tan 5 4 的值为【答案】1 7 tan3 ,再由和差

3、角公式绽开代入. 【思路点拨】由向量数量积,得到4 例 2 tan 70 tan 503tan 70 tan 50. 【答案】 - 3【思路点拨】由 tan120tan 70 tan 50,化简移项即可；1 tan 70 tan 50题型二倍角公式运用例 1 如tan 2 ,就 sin 2 cos 2 的值为【答案】 1 2 tan 1 【思路点拨】先有二倍角公式绽开,再齐次化简得到 2 ,代入即可 . tan 1 变式 1 如 sin cos 1 ,就 tan 2sin cos 23 【答案】4 【思路点拨】由 sin cos 1 ,得到 tan 3 ,再由二倍角公式绽开代入即可sin co

4、s 2变式 2 如tan 1 ,就 sin 2 4 2 【答案】 - 35 【思路点拨】由 tan 1 ,利用和差角公式绽开得到 tan 1 ,4 2 3 又sin 2 2sin cos 2sin cos2 2 2tan2 ,代入即可sin cos 1 tan例 2 如3 , 2 2 ,就1 1 1 1 cos 2 等于2 2 2 2 【答案】 - cos 2【思路点拨】利用二倍角公式以及角度范畴得到1 1 cos 2cos 2 cos ,再由半角公式绽开,此时要注2 2 意角度的取值范畴变式 如 5 3 , 4 2 ,就1 cos3 2 2 4, 利 用【答案】 - sin cos【思路点拨

5、】由诱导公式得到cos32sin 2 ,再由二倍角公式绽开,同时留意角度范畴2 题型三 已知角求未知角 3例 1 已知, cos12 , sin 3 ,就 cos 22 【答案】 - 113 4 - 0 ,4 ,13 3,2 5 5 , cos【 思 路 点 拨 】 由可得 sin13 5 cos 2 cos绽开代入即可变式 已知为锐角,且 sin 4 1 , 就 sin = 3 【答案】4 62 【思路点拨】 sin sin绽开代入例 2 已知为锐角,如 sin4 4 6 . 3 , 就 sin2 6 【答案】 - 7 25 5 【思路点拨】 sin 26 sin 2 6 2 cos 2 2

6、 2 sin 1 ,代入即可 . 6 6 3 / 31 变式 设为锐角,如 cos6 4 ,就 sin25 的值为 12 6 24 , cos 2 25 6 725 , 又 因 为【答案】17 2 25 【 思 路 点 拨 】 由为 锐 角 , 得 到sin6 3, sin 2 5 sin 212 sin 26 4 ,绽开代入即可. 题型四综合应用例 1 已知函数 f x 2 3sinxcosx 2cos 2 x 1 x R（1）求函数 f x 的最小周期及在区间0,上的最小值和最大值；2 （2）如 f x6 , x ,求cos 2x的值 . , 0 4 2 6 ,所以函数的最小正周期为；由于

7、0 5 0【思路点拨】（ 1）由已知可得, f x3sin 2x cos 2x 2sin 2x f x2sin 2x 6 在 0 ,6 上是增函数,在6 ,2 上是减函数,所以f x 的最小值为 -1,最大值为2. （2）由（ 1）可知, f x 2sin 2x0 6 ,0 又由于 f x06 ,5所以 sin 2x0 6 3,5 由 x0 , ,得 2x0 27,4 2 6 3 6 从而cos 2x 0 62 1 sin 2x 06 4,5 所以cos 2x cos2x0 6 6 3 4 3 0104 / 31 例 2 函数 f x 6 cos 2 x3 sin x 32 与 x 轴的交点,

8、且 ABC 为正三角形 . 0 在一个周期内的图像如下列图,A 为图像的最高点,B, C 为图像（1） 求的值及函数f x 的值域；（2）如 f x8 3 ,且 x 10 , 2 ,求 f x 1的值 . 5 0 3 3 0.【思路点拨】（ 1）由已知可得, f x 3cos x 3 sin x 2 3 sin x ；所以 f x 的 值域为- 2 3,2 3；3 由于正三角形ABC 的高为2 3,所以 BC 4 ,就函数 f x 的周期为 8,即；4（2） 由于 f x08 3 ,由（ 1）有： f x 0 5 2 3 sinx 0 4 3 8 3 ,5 所以 sin4 x0 3 4 . 5

9、 由于 x 10 , 2 ,就 x0, ,0 3 3 4 3 2 2 所以 cos4 x0 3 3 , 5 故 f x 1 2 3 sin x0 23 sinx0 7 6 ；0 44 3 43 4 5 5 / 31 2022 年 4 月期中高一复习资料 解三角形【学问点】正弦定理：ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, R 为 ABC 的外接圆的半径a b c 2R ； a : b : c sin A: sin B : sinCsin A sin B sin C 应用范畴：（1） 已知三角形的两角及任一边,求其他的两边和一角；（2） 已知三角形的两边和其中一边的对角,

10、求另一边的对角,进而求其他的边角余弦定理：ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边a 2 b 2 c 2 2bc cos A；b 2 a 2 c 2 2ac cos B ；c 2 a 2 b 2 2ab cosC 应用范畴：（1） 已知三角形的三条边,求三个角；（2） 已知三角形的两边和任意一角,求第三边和其他两个角面积公式：ABC 中, a, b, c 分别为角A, B, C 的对边 1 bc sin A 2 S 1 ab sin C 2 1 ac sin B 2 6 / 31 题型一：求边角1 ,且 AC 2 32 ,求 sin C 的值例 1在ABC 中,已知 AB

11、 2 , cos B 【答案】2 3 【思路点拨】两边一对角可用正弦cos B 1 , B 0, sin B 1 cos 2 B 2 2 3 3 AB AC , AC 2 2, AB 2 sin C sin B 2sin C 3 变式 1-1.在 ABC 中, c 2 , sin B 1 , A 60 ,求 a 3 【答案】36 2-6 3 23 【思路点拨】已知两角求第三角sin C sin A B sin Acos B cos Asin B - ,最大角即为钝角C sin B 1 , sin A 3 , sin A sin B, 又A B 0,A B3 2 cos B 2 2 3 代入求出

12、 sin B 进而用正弦定理求出a 例 2在ABC 中,已知 a 2 , b 6 , cos C 1 ,就边 c 的长度为 3【答案】42 【思路点拨】已知两边及任一角求边可通过余弦定理公式求第三边2 ca2 b 2 2ab cos C 变式 2-1 如ABC 的三边满意 a 2 b2 c2 3ab ,就此三角形的最大内角的度数为【答案】5 6 【思路点拨】已知三边关系用余弦公式变形转化：cos C 2 a2 b2 c3ab 32ab 2ab 2 7 / 31 题型二：边角互化例 1ABC 的内角 A, B , C的对边分别 a , b , c ,如 2bcos B acosC ccos A

13、,就 B 【答案】3【思路点拨】观看,发觉等号两边有齐次的边或角,即可边角互化 2b cos B a cos C c cos A b sin B ,且外接圆半径为2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinA+C=sin B B 0,sin B 0 cos B 12变式 1-1. ABC 中,角 B, C所对的边分别为 b,已知 1+ tan A 2b ,就tan C c A 【答案】3【思路点拨】看到tan 可考虑化为sin/cos 1+ tan A 2b = 2sinB tan C c sin C sin Acos C cos Asin C sin Acos C 1 co

14、s Asin C cos Asin C sin B 0,sin C 0 cos A 12 sin AC sin B 2sinB cos Asin C cos Asin C sin C 变式 1-2. ABC 的内角 A, B, C的对边分别 a , b , c , 2 2 sin 2 A sin 2 C a 2 【答案】3【思路点拨】看到有角的平方可考虑换成边再结合余弦化简2 2sin 2 A sin 2 2 C a b sin B 2 a c b2 2 2R 2R a b2R R 22 化简得 a2 c2 ab bcos C 1 28 / 31 题型三：多解问题例 1,已知 ABC 的三个角

15、 A , B ,C 所对的边分别为 a , b , c .以下条件中,能使得 ABC 的外形唯独确定的有（）A a=1,b 2, c Z B. a sin A csin C 2a sin C bsin B, A 150 ,b 2 C. cos Asin B cosC cos B C cos Bsin C 0, C 60 , c 2D. a=1,b 3, A C 2B 【答案】 AD 【思路点拨】两边一对角判定解的个数需作图求解A: 由三角形三边关系得：|a b | c a b, c Z, 1c3,c=2 可唯独确定B:边角互化得 cos B 2 , B 135 ,又 A 150 ,不成立2 C

16、:化简得 cos A sinB C=0, B C A 60 或C 90 不唯独D: 可知 B 60 , 邻边为 a=1,可知以 C 为顶点的高为 3 , b 1,b 3 ,画图可知只有一解；2 2 变式 1-1 在 ABC 中,已知 a x, b 2, B 45 ,假如三角形有两解,就 x 的取值范畴是（）A 2 x 2 2 B. x 2 2 C. 2 x 2 D 0 x 2 【答案】 A 【思路点拨】两边一对角判定解的个数需作图求解由题得B 的邻边为a=x,如要有两解,对边b 要大于以C 为顶点的高并且小于x（画图可得此几何关系）即2 2 x 2 x, 解得 2 x 2 29 / 31 题型

17、四：判定三角形外形例 1. ABC 中,如 sin 2 A sin 2 B sin 2 c ,就ABC 是（）D等腰三角形A 直角三角形B钝角三角形C锐角三角形【答案】 B 【思路点拨】遇到平方角化边sin 2 A sin 2 B sin 2 c 2 a2 b2 cABC 是（）D等腰直角三角形cos C 0 C是钝角例 2在ABC 中,如 sin Bsin C cos 2 A ,就2 C等边三角形A 直角三角形B等腰三角形【答案】 B 【思路点拨】sin B sin C cos 2 A = cos A 1 cos B C 12 2 2 2 sin B sin C cos B cos C si

18、n B sin C 1 ,cos B cos C sin B sin C 1 cos B C 1 B C变式 2-1. ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,以下四个论断正确选项（）A. 如sin A cos B ,就 B ；a b 4 B.如 B 4,b 2 , a 3 就满意条件的三角形共有两个；C.如 b 2 ac 且2 sin B sin A sin C ,就 ABC 为正三角形；D如a 5 ,c 2 ,S ABC 4 ,就 cos B 3 5【答案】 AC 【思路点拨】A: sin A cos B ,由正弦定理可知 sin A sin B sin B

19、 cos B, B 0, B 45 ,A 对a b a b B:由题型三的方法画图判定,三角形唯独 ,B 错2 22sin B sin A sinC 2b a c 4b a cC: 2 2 2b ac 4ac a c a c 0 a c bC 对D S ABC1 ac sin B 4 2 sin B 4 cos B 3 ,D 错5 5 10 / 31 题型五：取值范畴问题A 2C ,就a 的范畴是 c例 1. 在锐角ABC 中,已知【答案】2, 3【思路点拨】A 2C,均为锐角, C 30 ,45a c sin A sin 2C 2 sin C cos B 2 cos Bsin C sin C

20、 sin C 例 2ABC 中, A 60 , a 7 ,求 ABC 的周长及面积的取值范畴【答案】 14,21 ,49 34【思路点拨】周长及面积最值需结合余弦及不等式2 bc 2 a2 2bc cos A 49 bc, b 2 c2 2bc 49 bc 2bc bc 49可求面积最大值b c2 2 bc 2 2bcb c2 2bc 49 bc, 2 3bc b c2 49bc b c24 b c2 49 3 b c4 b c 14可求周长最大值再利用两边之和大于第三边可求周长最小值变式 2-1. 在ABC 中,角 A ,B ,C 所对的边分别为a ,b , c ,ABC 120 ,ABC

21、的平分线交 AC 于点 D ,且 BD 1 ,就 4a c 的最小值为【答案】 9 【思路点拨】结合不等式求最值,由角平分线可知面积关系为S ABD S BCD S 即1 c sin 60c1 a sin 601 ac sin120 9ABC, 2 2 2 a c ac,1 1 1, c 4a c a 1 1 a 利用“1” 的代换得： 4a c 11 / 31 题型六：多个三角形问题例 1 已知在ABC 中,点 D 为 BC 中点,ABC 的面积为AD22a3sin B 1 求 sin BAD sinBDA的值2 如 BC 6AB, AD 2 2,求 b 【答案】 1 ;b 3 33 【思路

22、点拨】1 D为中点,S ABC2 AD 2 1 AB BD sin B 3sin B 2 3sin 2 B AB BD 又 ABD AD 中,sin B AD2BD AB sin BAD sin BDA 3sin 2 B AB BD AD2 3sin 2 B sin BDA sin BAD sin 2 B 2所以 sin BAD sin BDA= 1 3 2BC 6AB,BD 3AB ABD中由正弦定理可得 sin BAD 3sin BDA 与1 中结论联立得,sin BAD=1,sin BDA= 1 3 BAD= 2 再结合正余弦求出其他边角变式 1-1 设 ABC 的面积2 S b2 c2

23、 a,A, B, C 所对边分别为a, b, c 满意 c 4（1） 求C ；（2） 设ABC 内一点 P 满意 AP AC , BP CP , 求PAC 的大小【答案】2 6 12 / 31 【思路点拨】1 结合余弦定理,面积公式及题中 2 S b2 c2 a,可得 sin A cos A A 4b cos C4 又c 2a ,由正弦定理得 C 2 ACP APC BPC 2 设PAC AP=AC 2 2 APC中, PC 2AC cos ACP 2AC sin 2 2a sin 2 CPB中,BC=2PC cos a 2 PC 2a sinsin1,0, ,4 = 6 2 2 2 cos

24、2例 2,在ABC 中, A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满意 2a c cos B （1） 求 B 的大小；（2） 如图, AB AC ,在直线 AC 的右侧取点D,使得 AD 2CD 4 ,当角 D 为何值时,四边形ABCD 面积最大【答案】2 6 【思路点拨】1 由题型二边角互化可得B 2ABCD的面积2 设D ,结合余弦定理及面积公式表示出四边形S ABCDS ABC S ACD 534 3 cos 4 sin再结合帮助角公式求面积最值即可13 / 31 题型七：实际应用例 1（18 年 10 月松柏高二文,15）如图,为测量山高MN ,挑选 A 和另一座山的

25、山顶C为测量观测点,从A 点测得 M 点的仰角MAN =60 , C点的仰角CAB 45 以及MAC 1n mile 的 B 处有一搜75 ,从 C点测得MCA=60 ,已知山高 BC=300m,就山高 MN m 【答案】 150 【思路点拨】留意设未知数 MN=h ,利用垂直条件,构建正余弦等量关系来求解例 2 （ 18 年 10 月双十高二文, 12）在海岸 A 处,发觉北偏东 45 的防线,距离 A 处 3 走私船, 在 A 处北偏西 75 的方向, 距离 A 处 2n mile 的 C 处的缉私船奉命以10 3n mile / h 的速度从 B 处向北偏东 30 的方向逃跑, 文缉私船

26、沿什么方向才能最快追上走私船,追上走私船的时间 t 为多少？ （ n mile :海里）（）A.北偏东 60 ,t =6B.北偏东 60 ,t =210 10 C.北偏东 30 ,t =6D.北偏东 30 ,t =210 10 【答案】 A 【思路点拨】作图,用时间 t 表示出各线段长度,通过余弦求边,再利用正弦求角即可题型八：结合向量数列等综合运用例 1 在ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c, A ,13c 2b. 61求 C；2如CB CA 1 3,求 a, b, c.【答案】; a= 2,b 1 3, c 2 4【思路点拨】留意向量数量积公式 CB CA CB

27、CA cos BCA 14 / 31 例 2 在 ABC 中, a, b, c 成等比数列,且a 2 2 cac bc 就 A 的大小及b sin B 的值分别为c【答案】,3 【思路点拨】由3 2 b 2 ac 及a 2 c 2ac bc 结合余弦可求角A, 再利用正弦定理边角互化得b sin B = sin A c15 / 31 2022 年 4 月期中高一复习资料 数列 等差数列题型一：等差数列定义【学问点】1.对于数列a n ,如 a a n n 1d （与 n 无关的数或字母） , n 2 , n N ,就此数列是等差数列,d 为公差2.等差数列的通项公式：an a1 n 1d 或

28、an am n md 例 1.在等差数列an中,已知 a5 10 , a12 31,求 a1 、d 、 a20 、 an【答案】： a1 2 , d 3, a20 55 , an 3n 5 题型二：等差数列性质【学问点】如 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与b 的等差中项, 2A=a b）3 3 下标和定理：在等差数列中,如 m n p q ,就 am an ap aq例 1.已知数列 an 为等差数列,且a1 a7 a13 4 ,就 tana2 a12 的值为（A 3 B3 C3 D【答案】 B【思路点拨】利用等差中项定理,得到 a7 ,再运算即可；16 / 31 例 2

29、.在等差数列 an 中, a1 a4 a7 45 , a2 a5 a8 29 ,求 a3 a6 a9 （）等于（）A 22 B18 C 20 D 13【答案】D【思路点拨】由中项性质可得a4 , a5 的值,再求a6 ；题型三：等差数列前n 项和S2022 S2022 2 ,就 S 2022 2022 2022 D 6036 例 1在等差数列a 中, a 1 2022 , S 是其前 n 项和,如 nn A 2022 B 2022 C 6033 【答案】D n 项和；（）D 0 【思路点拨】利用等差数列前例 2等差数列an 中,如 S9 9 ,就 a4 a6 A 3 B 2 C1 【答案】B

30、【思路点拨】利用等差数列性质；题型四：等差数列前 n 项和性质【学问点】1. 项数为偶数 2n 的等差数列 an ,有S2n na1 a2n na2 a2n 1 nan an 1 an , an 1为中间两项 S奇 nan , S偶 na n 1 , S偶 S奇 nd ,S 奇 an S偶 an 1 2. 项数为奇数2n 1的等差数列 an ,有S2n 1 2n+1an+1 an为中间项 ,S n+1 a , S na , S S a ,S 奇 n奇 n 偶 n 1 奇 偶 nS 偶 n 1 3. 对等差数列前 n 项和的最值问题有两种方法 : （1） 利用 an ：当 a1 0, d 0 前

31、 n 项和有最大值,可由an 0, 且 an 1 0 ,求 n 当 a1 0, d 0 ,前 n 项和有最小值,可由an 0, 且 an 1 0 ,求得 n 的值n 的值（2） 利用 S ：由 S n n d n2 a 1 d n 利用二次函数配方法求得最值时2 2 4.对于一个等差数列,Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍成等差数列17 / 31 例1.等差数列 a , b 的前 n 项和分别为 S , T ,如 Sn 2n ,就 a10 3n 1 b10 ）n n n n T n 【答案】19 29 例 2.数列 a 的前 n 项和为 S ,如 S 2n n n 2 17n ,就

32、当 S 取得最小值时n 的值为（A 4 或 5 【答案】 C B 5 或 6 C 4 D 5 S 0 的最大值 n 为（【思路点拨】把Sn 看成关于n 的二次函数,找最接近对称轴的正整数即可. 例 3.数列a n为等差数列,如a11 1,且它们的前 n 项和为 S 有最大值,就使得a 10 n nA 11 B19 C 20 D 21 n 项和符号；【答案】B 【思路点拨】依据题目条件运算a10 , a11 的符号,再依据对应的求和公式,写出对应的前例 4.设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,如 S3 9 , S6 36 ,就 a7 a8 a9 （）A 63 B 45 C 36 D 81

33、 【答案】D 18 / 31 等比数列 题型一：等比数列通项公式【学问点】1.通项公式一： ana1q n 1 【注】已知首项和公比2.a qn m通项公式二： a n 【注】已知任一项和公比例 1.等比数列 an 中,已知 a2, a16 ,求数列a n的通项n 1【答案】 a 2例 2.已知等比数列a 中, a a310 , a a 5 ,就该数列的公比q 为（）A 2 n 1 4 6 4 1 D1 4 B1 C2 【答案】 C 题型二：等比数列性质【学问点】1.等比中项：a 、 G 、 b 成等比数列G2 ab a b 0 . log4 a14 （）2.等比数列的性质：如m n p q

34、,就 aman apaq 3.等比数列的增减性：当 q 1 , a1 0 或者 0 q 1, a1 0 时,an 是递增数列；当 q 1 , a1 0 或 0 q 1, a1 0 时, an 是递减数列；当 q 1 时,an 是常数列；当 q 0 时,an 是摇摆数列；例 1.设数列 an 是由正项组成的等比数列,且a7 a8 4 ,就 log 4 a1 log4 a2 A 5 B6 C7 D8 【答案】 C 【思路点拨】先依据对数运算进行运算,再依据中项性质；19 / 31 例 2.已知 1, a , a , 9 是等差数列, 1, b , b , b , 9 是等比数列,就1 2 1 2

35、3 a 1 b2（）a 2A 3 B3C3 D310 10 2 2 【答案】B 题型三：等比数列前n 项和【学问点】等比数列的前n 项和公式：5 ,就 S （）当 q 1 时, Sn a 1 1 q n 或a 1n a q 1； 当 q 1 q 1 时, Sn na1 1q 1 q 例 1.已知首项为 1,公比为1 的等比数列a 的前 n 项和为 S ,就（）2 n n A.Sn 2an 1 B.Sn 3an 2C.Sn 4 2anD.Sn 2 an【答案】D 【思路点拨】利用公式求Sn 与 an 关系例 2.已知a 为等比数列, S 是它的前 n 项和,如 a a 2a ,且 a 与 2a

36、的等差中项为n n 2 3 1 4 7 4 5 A 35 B 33 C 31 D 29 【答案】 C 例 3.已知等比数列 an 的公比 q 2 ,其前 4 项和 S4 60 ,就 a3等于（）A 16 B 8 C16 D8 【答案】A 题型四：等比数列前n 项和性质【学问点】等比数列的前 n 项和公式：1当 q 1时,Sn a 1 1 q n 或a 1n a q 1； 当 q 1时, Sn na1 1 q 1q 2等比数列Sn , S2n -Sn , S3n -S2n 也成等比数列,且公比为n q【注】 q 为原数列公比20 / 31 例 1.等比 an 数列中, Sn 为其前 n 项和,如

37、 S2 7 , S6 91 ,就 S4 为（）n 的值为A 28 B 32 C 35 D 49 【答案】A 【思路点拨】利用等比数列Sn , S2n -Sn , S3n -S2n 也成等比数列,求S4 . 例 2.正项递增等比数列 an 中, Tn 表示其前n 项之积,且 T10 T20 ,就当 Tn 取最小值时,【答案】 15 【思路点拨】 T10 T20 得 a11a12 a20 1 , a11a20 a12a19 a15a16 1,a15 1, a16 1, T15 最 2 1 n 2 27 n 2 ,小 例 3.设等比数列an 满意 a1a3 10 , a2 a4 5 ,就 a1a2

38、L an 的最大值为【答案】 64 a 8 q 1 ,11 n 4,所以 a1a2 L an n1 23 Ln1n 1 n n 1 2 【思路点拨】由题可得,所以 an 2 a1 q8 2 2 所以当n 3 或 n 4 时,a1a2 Lan 的最大值为 64 ,给出例 4.设等比数列a 的公比为 q ,其前 n 项积为 T ,并且满意条件 a n 1 , a a 99 100 ,a99 1 n a100 1 以下结论,其中正确的结论有（）A q B a99 a101 C T100 的值是Tn 中最大的D使 Tn 1成立的最大自然数n 等于 198 【答案】AD 【思路点拨】由题目条件得出a99

39、 1, a100 1,进而得出q 的范畴及其余选项判定；21 / 31 数列求通项 题型一：累加法求数列通项【学问点】1.累加法an f n （ f n 可 求前 n 项和）,a1 f n 1f n 2f 1a1 ,求通项公式的方形如 an 1 通过 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 法叫累加法已知 a1 a , an 1 an f n, f n 可以是一次函数,二次函数,指数函数,分式函数,如 f n 是关于 n 的一次函数,累加后可转换成等差数列求和；如 f n 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和；如 f n 是关于 n 的指数函数,累加后可转换成等比数列求和；如

40、f n是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和2.特别数列求和常用数列的前n 项和：1 2 3 . n n n 1；1 3 5 . 2n 1n 221 2 2 2 3 2 . n 2 n n 12n 1；1 3 2 3 3 3 . n 3 n n 126 2 例 1.如数列的递推公式为a1 3, a n 1 an 2 3n 1 n N ,求该数列的通项公式n 1【答案】 4 3例 2.已知数列an , a1 1, an 1 an n n 1,求数列通项公式an 等于【答案】 1 n n 1 3 n 1【思路点拨】累加法应用；22 / 31 题型二：累乘法求数列通项【学问点】形如 an 1 an

41、 f n （ f n 可求前 n 项和）,an 1 特别情形：等比数列 q （从其次项开头,后一项比去前一项等于同一常数）an通过a an an 1 a2 a f n 1 f n 2 f 1 a ,求数列通项的方法叫累乘法n a n 1 a n 2 a 1 1 1an 1 累乘法解题关键是,先把递推关系转换成如 f n an例 1.已知数列 a , a 2, a n a ,求 a n 1 n 1 n nn 22【答案】n 1n 1 的形式,然后累乘即可例 2.已知数列a 满意 a 1, a 2 n a ,求通项公式n a nn n 1 2 n 1n 1 【答案】 an nn 1 2 【思路点拨

42、】由an 1 2 n a ,得an 1 2 a n ,所以n a n a a a 2 3 4 a a a 1 2 3a a n 2 1 2 2 2 3 n 1 1 n 1n 1 2 n 1 2 2 题型三：构造法求数列通项【学问点】待定常数法1.形如 an 1 Aan B （其中 A, B 均为常数,且A 0 ）0 ）,求数列通项公式B ,就数列 ant已知 a1 a ,且 an 1 Aan B （其中 A, B 均为常数,且A如 A 1 时,数列an 为等差数列；at Aa n t ,其中 t 如 B 0 时,数列an为等比数列；如 A 1, B 0 时,数列a 为线性递推数列,可将其转化为

43、n n 1 A 1 为公比等于A 的等比数列,然后求an 即可23 / 31 2.形如 an 1 pa n f n 型,可分以下两类p an 1 ,令 b an ,就可化为 b n 1p b n q 1,然后转换为题型操作步骤：两边同除以 q n 1 ,得到 an 1 n 1 qn q qq n qnq 3 来解例 1.在数列 an 中,已知 a1 3, an 1 5an 4 ,求数列 an 的通项【答案】 a 4 5 n n 1 1 【思路点拨】构造数列 an 1 1 5 an 1例 2.已知数列 a 满意 a 3a 5 2 n , a 1,求数列 a 的通项公式n n 1 n 1 n【答案

44、】 a 11 3 n 1 5 2 n【思路点拨】构造数列 a n 1 5 2 n 1 3 a 5 2 n 题型四： 利用 Sn 与 an 关系【学问点】（1） 知 Sn ,求 an已知数列 a 前 n 项和 S ,就 a n n n S1n 1 （留意：不能遗忘争论n 1）S Sn 1 n 2 （2） Sn 与 an 混合显现此类型一般可用a n S1n 1 消去 S 或者消去 n Sn 1 n 2 a n 的值为（）S 例 1.已知数列an 的前 n 项和,求数列的通项公式：（1） S n n 2 2n ； （2） S n n 2 2n 1；（3） S 3 n 2 ；【答案】 an 2n 1

45、 a n 2, n 1 2n 3, n 2n N an 2 3 1, n 1n 1, n 2n N ）【思路点拨】利用Sn Sn 1 得到an ,记得验证n 1的情形是否符合；2 nSn取最大值时例 2.设 S是数列SS ,就使a的前项和,且 a 1, an n 1 n 1n n 1 2 1 10S nA 2 B 5 C 4 D 3 【答案】D 24 / 31 【思路点拨】利用 S S 替换题中的 a n n 1 n +1 ,得到关于 S的表达式,再进行运算；n 题型五： 证明等差等比数列【学问点】证明题目已经构造好的新数列的某些性质（如成等差或等比数列）详细解题步骤为：（一）换元法换元：令所

46、证数列的通项为xnxn 反解：利用换元解出, an f 代入题目已知关系式（二）待定系数法：同数列通项构造例 1.在数列an中, a11, a n 2an 11 nn 2且n N * 2n2 an 1n 1n 2且n N * ,当（1） 证明：数列an n 是等比数列（2） 求数列an 的通项公式 an【答案】（1） an n 是以 2 为公比的等比数列（2） ann 22, n1 n1【思路点拨】（ 1）由 a11, a n 2an 11 nn 2且 n N * 可得, a nn2 时, a1 1 2 0, 所以 an n 是以 2 为公比的等比数列n 22, n2（2）由（ 1）知, an

47、n 2 2 n 1 2 n ,所以 a 2 n 2 ,所以 a n1 n125 / 31 数列求和题型一：公式法【学问点】题型二：分组求和法【学问点】例 1.已知数列an是等差数列,且a1 2 , a1 a2 a3 12 （17 年 10 月启悟中学高二文,18）（1） 求数列an的通项公式；n 的前 n 项和 S 2 nn 2 n 2 （2） 令 b a 2 n ,求数列b n n n【答案】（1） an 2n ；（2） Sn2 2nn 22 n 1 2 2 1 26 / 31 【思路点拨】（1）利用等差性质求出公差,进而求得通项；（2）由（ 1）求得 bn 2n 2 ,再利用分组求和求得

48、nS ；n 题型三：倒序相加法【学问点】例 1.已知函数 f x x 22 , f 1 f 2 L f 8 f 9 的值等于10 10 10 10 x 2【答案】9 2 xf 1x 为定值即可；【思路点拨】运算f 例 2.有限项的等差数列an的前 4n 项之和为 26 ,末四项之和为 110 ,且全部项之和为 187 ,就项数 n 等于【答案】 11 题型四：裂项相消法【学问点】形如 cnc （其中 an 是各项不为零的等差数列,c 为常数）an an 1 常见的裂项形式1.an1 nn 1 1 2n 12n 1 2 4n 2 12 6n 32n 1 1 nn 2 1 2.an3.an4.an

49、5.an6.ann 1 n 7 an n22 n 12 n 1 1 27 / 31 例 1.数列 a 的项分别为 1, 1 , 1 , 1 , 1 ,就他的前 20 项之和 S 等于（）n 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2n 20A 19 10 B 2 C40 21 D20 21 【答案】 C ；【思路点拨】 an2, Sn2n 2 S, S 在直线x y 1n N * 上n 1 n n 1例 2.设数列 a 的前 n 项和为 S , a 2 ,点n n 1 n 1 nn 1 n （1） 求数列an的通项公式；T 3 T n 3 （2）设 T Sn Sn 1 2 ,求证： 4 T T

50、 1 n Sn 1 Sn 3 【答案】（1） an 2n （2） 见解析【思路点拨】（ 1）点 S , S 在直线 x y 1n N * 上,故 Sn 1 Sn 1,Sn 是首项为 2 ,公差为 1的n 1 nn 1 n n 1 n n 等差数列,Sn 2 n 1 n 1 ,Sn n 2 +n ,a n 2n n（2） S n n 2 +n , T n S Sn Sn 1 2 S 2 n n 2 2 ,T n 2 1 1 2 n 1 1 n 2 1 3 2 n 1 1 n 2 1 3 ,n 1 n 又 T 为增函数 T 的最小值为 T 4 ,4 T 3 n n 1 n3 3 例 3.已知数列 a 的前 n 项和为 S ,点n, S n N 均在函数 y 3x 2 2x 的图像上（ 16 年 11 月科技高二文, 22）（1） 求数列 an 的通项公式；（2） 设 b 1 , T 是数列 b 的前 n 项和,求使得 Tm 对全部 nN 都成立的最小正整数m nanan 1n n n 30【答案】（1） an 6n 5 ；（2） m的最小整数值为 10 【思路点拨】（ 1）点 n, Sn n N 均在函数 y 3x 2 2x 的图像上,故 S n 3n 2 2n ；当 n 1 时, S 1 ；当 n 2 时, an Sn Sn 1 6n 5