奥数讲义构造与染色专题：2最值问题

1、华杯赛构造与染色专题：2最值问题基础知识：把20拆成两个自然数的和，然后将它们的乘积填写在下表中，并找出规律： 1010911812713614515416317218119100999691847564513619总结规律：和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小。给出证明： 例1. 有a、b、c三条线段，线段a长2.12米，线段b长2.71米，线段c长3.53米。如下图，以它们作为上底、下底和高，可以作出三个不同的梯形，问第几号梯形的面积最大？分析：梯形的面积公式已经学过：（上底下底）高2。那么第一种方法就是代入计算，但是计算量很大，并不简便。我们要比较三个梯形的面积，就相当于比较哪三

2、个算式？：（a+c）b2： （b+c）a2：（a+b）c2观察这三个算式之间有什么特点？ 【答案】【解答】首先比较（ac）b、（bc）a、（ab）c这三个数的大小。因为abc，所以这三个算式中，被乘数与乘数最接近的是第三个算式，因此（ab）c是这三个数中最大的。所以，第号梯形的面积是最大的。总结：本题中就用到了均值不等式的结论：两个数和一定的时候，差越小，乘积越大。例2. 用09这10个数字组成两个五位数，那么这两个数的乘积最小是多少？分析：要想两个五位数的乘积尽量小，那么应该让它们的首位数字尽量的小，所以应该把1和2放到两个数的首位上。以此类推，它们的千位上应该放0和3，百位上应该放4和5然

3、后还需要确定每个数位上的两个数字到底如何分配，这个时候如果注意到此时两个五位数的和已经确定，就可以应用前面所讲的均值不等式的结论了。【答案】246824972【解答】为了使两个五位数的乘积最小，应该将比较小的数字排到尽量靠前的数位上，所以万位数字是1和2，千位数字是0和3，百位数字是4和5，十位数字是6和7，个位数字是8和9。无论这些数字如何分配，两个五位数的和肯定是：（12）10000（03）1000（45）100（67）1089为定值。那么要使得两个数的乘积最小，就要使两个数的差尽量大，因此两个数应该是：1 04 6 82 35 7 9所以，乘积最小为1046823579=24682497

4、2总结：为了运用均值不等式的结论，需要我们能够发现隐藏着的为定值的和或者乘积。并请你进一步思考：如何用09组成两个五位数，使得它们的乘积最大？例3. 用1、3、5、7、9这五个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0、2、4、6、8这五个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ，求算式ABCDEFGHIJ的计算结果的最大值。分析：先考虑如何使ABCDE最大，那么与前面的例题“用09这10个数字组成两个五位数，使得这两个数的乘积最小”非常类似，但也有不同。首先还是要把大的数字放在靠前的数位上，但是9和7如何分配？这个时候ABCDE还是定值吗？怎么办？ 【答案】60483【解答】为了使ABCD

5、E最大，只要使得ABCDE0最大就可以了，那么9和7肯定放在两个数的百位上，5和3肯定放在十位上，1和0放在个位上，这时两个数的和必然是定值，因此应该分为930751，那么ABCDE也就是75193。类似的，为了使FGHIJ最小，应该是46820。因此，所求的最大值是 751 93 468 20 60483 。总结：本题的方法并不惟一，确定9和7位置的时候也可以将两种情形作差比较，我们讲的方法是其中最简单的一种，因为它利用了前面的结论。例4.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？分析：这道题与前面的例题不同，没有什么已知的结论指导我们去找最大的余数和相应的两位数，所以需要逐步的去

6、探索和尝试。余数要尽量大的话，除数也应该尽量大，所以我们要找余数的最大值，就应该从数字和比较大的两位数试起。除数（数字和）被除数和相应的余数189918=59179817=513； 8917=54169716=61； 8816=58； 7916=4 15【答案】15【解答】如果一个两位数除以它的各位数字之和所得的余数大于或者等于16，那么它的各位数字之和就至少是17，而数字和大于或者等于17的两位数只有98、89、99，但98（98）5（ 13 ），89（89）5（ 4 ），99（99）5（ 9 ），余数都小于16。而79（79）4（ 15 ），所以余数的最大值是15。总结：从这道例题可以看出

7、，求最大值和最小值的题目，解答往往由两部分组成。一部分说明求出的最值可以达到（往往通过举例就可以了），另一部分说明不可能更大或者更小（往往需要证明）。二者缺一不可！例5.用19这九个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少？分析：要使得差最大，就要使得被减数尽量大，减数尽量小，所以先从差的百位数字是8开始尝试。如果不行，就再考虑差的百位数字是7的情形，直到找出满足条件的等式为止。请你尝试一下！【答案】784【解答】936152784，说明差可以是784。下面证明差不可能大于784。如果差的百位数字是8，那么被减数和减数的百位数字只能是9和1。注意算式中三个数的和是被减数的两倍，而所有的数字和是45，所以被减数一定能被9整除。并且被减数的十位数字至少是235，所以只可能是954、963、972。经试验，都无法满足题目要求。918所以差的百位数字最大是7，而如果十位数字是9，那么被减数肯定大于790120910，因此被减数的百位数字与差的十位数字重复，不符合题目要求。所以差的前两位数字最大是78。这时被