定义1设X是一离散型随机变量其分布列为课件

1、定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：则随机变量X 的数学期望为:设X是一连续型随机变量，其分布密度为则随机变量X的数学期望为一、一维随机变量的数学期望定义2：第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容1（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下：即：假定级数是绝对收敛的.假定积分是绝对收敛的.二、二维随机变量的数学期望即：2则定义随机变量函数的数学期望为：（1）设离散型随机变量X 的概率分布为：三、一维随机变量

2、函数的数学期望机变量函数的数学期望为：则定义随（2）若X为连续型随机变量，其概率密度为3（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下：（2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则随机变量g(X,Y)的数学期望如下：假定这个级数是绝对收敛的.假定这个积分是绝对收敛的.四、二维随机变量的函数的数学期望4定义 X 的标准差：定义X 的方差：若X 为离散型随机变量，则有若X 为连续型随机变量，则有方差的计算公式:定理1推论：有关方差的定理：六、方差与标准差6定理2：若X与Y 独立，推论：七、某些常用分布的数学期

3、望及方差二项分布：0 -1分布：几何分布:均匀分布:指数分布:Poisson分布7随机变量X 的 k 阶原点矩：定义1：定义2：X 的k 阶中心矩：对于离散随机变量：对于连续随机变量：对于离散随机变量：对于连续随机变量：其中k为正整数。特别的，特别的，八、原点矩与中心矩9 离散型随机变量： 连续型随机变量：1、X与Y 的协方差（或相关矩）：定义注九、协方差与相关系数定理1 定理2若X与Y 独立，则：注 设X与Y是任两个随机变量，逆命题不成立。102、X与Y 的相关系数定义定理3且定理4定理5如果 X 与Y 独立，则反之不成立。即:X 与 Y相互独立X与 Y 不相关11十、切比雪夫不等式与大数定

4、律1、切比雪夫不等式 2、切比雪夫大数定律 4、伯努利大数定律 3、辛钦大数定律若方差一致有上界独立同分布在独立试验序列中，事件 A 的频率按概率收敛于事件 A 的概率.12解设随机变量X表示在取得合格品之前已取得的废品数,则1 一批零件有9个合格品与3个废品，安装机器时从中任取一个。如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差。（二）作业题略解13所以X 的概率分布列为143 设随机变量X的概率密度为：求数学期望EX与方差DX.令解则164 设随机变量X 的概率密度为:求数学期望EX与方差DX.解17196 方向盘有整分度 ，如果计算角度时是把零头数化为

5、最解与标准差。靠近的整分度计算的，求测量方位角时误差的数学期望测量方位角时的误差X207 设随机变量X 服从二项分布B(3,0.4),求下列随机变量的数学期望与方差:解21228 X 的密度函数为：解239 对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间 内,求球体积的数学期望.解设随机变量X，Y 分别表示球的直径和体积，则而10 证明：若随机变量X与Y 独立，则 证右=2412 N个人同乘一辆长途汽车，沿途有n个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车.设每个人在任一站下车是等可能的,求停车次数的数学期望.解1且服从分布26解2设Y 表示停车的次数,服从分布二项分布B( n,p )Y则27

6、2914 二维随机变量（X,Y）在区域R：（2）数学期望E(X)及E(Y)、方差D(X)及D(Y)；及相关系数解（1）设（X,Y）的概率密度其中C 为常数.则服从均匀分布，求：（1）的概率密度；（3）相关矩上30（2）（3）3115解3216 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率.解3317 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次试验中发生的频率作为事件 A 的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.解设事件A 在每次试验中发生的概率为 p，在这10000次试验中发生了X 次,则因此，所求事件

7、的概率为34设仪器误差的数学期望及方差分别是：18 利用某仪器测量已知量a 时，所发生的随机误差的概率密度在独立试验过程中保持不变。设 是各次测量的结果，可否取作为仪器误差的方差的近似值？解35若系统没有误差，即则据切比雪夫定理的推论，得即36若次品率不大于0.01，则任取200件，发现6件次品的概率应不大于利用泊松定理，取=2000.01=2此概率很小，据小概率事件的实际不可能性原理，不能相信该工厂的次品率不大于0.01。解19 从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次品，能否相信该工厂的次品率不大于0.01。37（三）其它习题略解:5,19 帕斯克分布:设事件A在每次实验中发

8、生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布:解X 表示直到事件A发生r 次需要进行的实验总次数，表示直到事件A发生第1 次进行的实验次数，表示事件A发生第i-1 次后到第i次发生时进行的实验次数，则:且相互独立,服从几何分布G(p).求: X 的期望与方差.3815过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度.解如图示:设T 表示过圆周上定点O所作的弦OA与x 轴的夹角,xLTO2RA则 T 在 上服从均匀分布,设L 表示所作的弦的长度,则:L=2RcosTE(L)=E(2RcosT)=3922计算均匀分布U(a,b)的k阶原点矩及k

9、阶中心矩.解设随机变量 X U(a,b),则其概率密度:为奇数为偶数4026设是任意 n个随机变量,证明:若相互独立,证明:4127X H( n, M, N )设求:E( X ), D( X ).解则 则n次抽样共抽到的次品数为： 且 所以： 表示第i 次抽样时取得的次品数,设01420101434431证明:若不独立的随机变量满足条件则对任意的正数 恒有证明:由切比雪夫不等式,对任意的正数 恒有因概率不能大于1, (马尔可夫)45补例1:设二维随机变量(X,Y)在矩形区域:上服从均匀分布,记求(1)U与V的联合分布,(2)U与V的相关系数.解:由题意(X,Y) 的联合概率密度:112yx2y

10、= xy= xO如图示:P(U=0,V=0)=46P(U=0,V=1)P(U=1,V=0)P(U=1,V=1)0101所以(U,V )的联合分布:470101因U,V 分别服从“0-1”分布,48例2:设随机变量U 在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量: 求(1) ( X, Y ) 的联合分布, (2) D(X+Y).由题意随机变量U 的概率密度:解:P(X=-1,Y=-1)P(X=-1,Y=1)=P (U-1)=P (U-1,U1)=0P(X=1,Y=-1)=P (U-1,U1)=P(-1-1,U1)=P(U1)=P (U-1,U1)49-11-11所以(X,Y )的联合分布:Z=X+Y的

11、概率分布:02P(Z=z)-250例3:解: (1)设 A,B 为随机事件,且P(A) = P(B/A)= P(A/B)=发生不发生,发生不发生令求:(1) (X,Y) 的联合分布;(2) X与Y的相关系数;(3) 的概率分布.P(X=0,Y=0)P(X=0,Y=1)P(X=1,Y=0)P(X=1,Y=1)5101010P(X= )10P(Y= )1(X,Y)的联合分布:X的边缘分布:Y的边缘分布:2)因X,Y 分别服从“0-1”分布,523)随机变量 的可能取值:0,1,2.12P(Z= )053例4:某流水生产线上每个产品不合格的概率为: p (0p1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X ,求X的数学期望 E(X)与方差D(X).解:由题意随机变量X 的概率函数:54例5:已知甲, 乙两个箱子装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品,3件次