20基础讲义8-12章1小盆考研

1、第 八 章多 元 函 数 微 分 学第一函数的极限、连续、偏导数与全微分内 容 概 要（一） f zxy的二元函数z 第 八 章多 元 函 数 微 分 学第一函数的极限、连续、偏导数与全微分内 容 概 要（一） f zxy的二元函数z f(xyD称为该函数的定义域xy称为自变量z 称为应变量.f(xyf 的值域fz f(xy在几何上表示一张空间曲面 0,存在 0P(xyD且02 (xx0) (y 20f (x) A Af(xy当(xyx0y0时的极限f(xy) Alim f(xy Alim f (P (x,y)(x0 ,y0 xx0 y P 1）这里的极限是要求点(xyD内以任意方式趋近于点(

2、x0y0 f(xy注 (3)性8.1.1】求极限.x 1 2 x 21）连续的概念 2 x 21）连续的概念 f (x, y)(x,y)(x0 ,y0 f(x0,y02）连续函数的性质 何值1）偏导数的定义4 z f(xyP0 x0y0f(x0 x,y0) f(x0,y0 xf (x,yP0 x0y0 x的偏导数，记f(x ,y 或x xx xyy2lim f(x0,y0 y) f(x0,y0yf (x,yP0 x0y0y的偏导数，记 或 f(x y 或y xlim f(x0,y0 y) f(x0,y0yf (x,yP0 x0y0y的偏导数，记 或 f(x y 或y xy xyyfx(x0y0

3、就是一元f(xy0 xx0fy(x0y0f(x0y y y0处的导数.类似地，可以定义三元函数乃至 n 元函数的偏导数M(x0y0f(x0y0z f(xy2）二元函数偏导数的几何意义y y0 z f(xy) 相交， 其交线为平面y y0 上的曲线点M 作平面z f(xy ，即z f(x,y0f(x y y 00 x x0 z f (xy) x x0 上的曲线同样，过点 M 3）高阶偏导数5 z f(xyDxyf(xy的二阶偏导数z 2 zffxxyxxx xy z 2 z2xyfyxfyyy 2y22，2 36（全微分）z f(xy在点(xyz f (xxy6（全微分）z f(xy在点(xyz

4、 f (xxyy f(xyz AxBy其中A，B与x，y无关，(x)2 (y)2 ，则称函数z f(x,y)在点(x,y)处微AxByz f(xy在点(xy处的全微分dz Axf(xyD内的每一点(xyf(xyD内可微分2（全微分存在的必要条件） z f(xy在点(xyz dz z dx z d z 3（全微分存在的充分条件） 如果 zf(xyxy在点(xyz f(xy在点(xy处可微一元函数多元函数4常 考 题 型 与 典 型例题常考题型(x,y) (x,y) ,8.1.3（19971）f常 考 题 型 与 典 型例题常考题型(x,y) (x,y) ,8.1.3（19971）f(xyx2 在

5、点(0,0处（ （A）（D）【例 8.1.4（1994 年，1,2）f(xy) 在点(x0y0f0(x0y0fy(x0y0f(xy在该点连续的（ （A）（D）【D8.1.5（20123）z f(xy满足limf(xy2x y2 0 yx2 (y52dxdy（1）f (x,y) x y在(0,0)(x,2dxdy（1）f (x,y) x y在(0,0)(x,y) (x,y) （2）f(x,y) x2 在(0,0) 点可导,但不连续,(x,y) (x,y) （3）f (x,y) 在(0,0) 点可导,但不可微x2 ,(x,y) (x,y) （4）f(x,y) x2 在(0,0) 点可微,但偏导数不

6、连6第二节 多元函数的微分法内 容 概 要4 设函数u u(xyv v(xy在点(x第二节 多元函数的微分法内 容 概 要4 设函数u u(xyv v(xy在点(xyxyz f (u,v在对应点(uvz fu(xy),v(xy在点(xz z u z vz z u z u v u v z f(u,v、uu(xy及vv(xyz fu(xy),v(xydz zdx zdy z du zd1）F(xy0y 7y f(x2）F(xyz0z z(xF(xyz) 在点 P(x0y0z0 ) 的某一邻域 内有连续 偏导数 , 且F(x0y0z00, Fz(x0y0z00F(xy f(x2）F(xyz0z z(

7、xF(xyz) 在点 P(x0y0z0 ) 的某一邻域 内有连续 偏导数 , 且F(x0y0z00, Fz(x0y0z00F(xyz0在点(x0y0z0z f(xyF1(x,y,u,v)3）由方程确定的隐函数u u(x,y)，v v(x,y)（仅数一要求(x,y,u,v) 欲求x y x y ，可以将每个方程分别对 x 求偏导数，得出以x ， 常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型一.复合函数偏导数与全微分s 2 dt120 ，1 x2y2 cos(xy)(1 x2y2)2xy3sin ，(1x2y282 故 (x,2) 2sin ，x1 x212sinF (0,2) 2 故 (x,2)

8、2sin ，x1 x212sinF (0,2) x0 x(14x2x0 x(14x2 xy.【(1 2ln2)(dx dy8.2.3（20071）f(u,v为二元可微函数，z f (x ,y 则x yxyxy1f yx ln yf 128.2.4】(20171,2)f(uv2阶连续导数y f(excosx,d2.9d2 ff(1,1)f(1,1)fuuv8.2.5（20092）zf(x yx yxyf 具有二阶连续偏导数，求dz2.d2 ff(1,1)f(1,1)fuuv8.2.5（20092）zf(x yx yxyf 具有二阶连续偏导数，求dz2.z ff yf f f xfdz zdx z

9、dy (f f yf)dx(f fxf)d2 f f xf f f xf f y(f f xf 8.2.6】(20111,2)z f(xyyg(xf 2g(xx1g(1)1. .xy xy1】 z f(xyyg(x yf yg(x)f122 f yxf g(x) f g(x)f yg(x)xf g(x) f122f(1,1)f(1,1)f1xy xy2】 z f(xyyg(x yf yg(x)f12 2y 1 f12xy xyf(excosy2z 2(4zexcosy)e2f(00, f(0)0f(u【解】令excosy u f(u)excosf(u)exsin2 f(u)e2xcos2 y

10、f(u)excos f(u)e2xsin2 y f(u)excos22(4z excosy)e2xf(u) 4f(u)f(u)4f(u)即以上方程对应的齐次方程的特征方程为r2 40,特征根为r 2,f(u)Ce2u C 12f aub,代入非齐次方程得a 1,b 41f (u) CC e12411由f(0)0, f(0)0得 C ,C ,121f (u) (e2ue2u4u) 二.隐函数偏导数与11由f(0)0, f(0)0得 C ,C ,121f (u) (e2ue2u4u) 二.隐函数偏导数与全微分8.2.8（20152，3）zz(xy由方程ex2y3zxyz1 1】x0,y0代入ex2

11、y3z xyz1中得e3z 1,z方程ex2 xyz1ex2y3z(dx2dy3dz)yzdxxzdyxydzx0y0,z0dx2dy3dz 1(dx32】x0,y0代入ex2y3z xyz1中得e3z 1,z zx(0,0)dx zy在ex2 xyz1y 0ex3z 1两边x 求导ex3z(13z )xz (0,0)x3xyz1x 0e2y3z 1两边y 求导在ex2 e2y3z(23z ) yz (0,0)y31(dx3u 8.2.9（19884）已知ue xyxyxy【解】等式ueuxyxu(1eu)u u 1x1y1 (1eu)euu 2u 1 1(1eu(1eu8.2.10（2010

12、1,2）z(1eu)u u 1x1y1 (1eu)euu 2u 1 1(1eu(1eu8.2.10（20101,2）zz(xyFyz0F x xz且F 0，则（ 2（C）（D）（A） y F z 1 z 12,1,x1 1 22xxy x z z1 1 1 22xx 故应选3 sxexyxy d和t0dddf df d.dy dz d由exyxy2xddy y dxdxdy 即d又由ex sxt0 sin(xex(xz) dd1即x sin(x dxddy y dxdxdy 即d又由ex sxt0 sin(xex(xz) dd1即x sin(x dxdu f y f ex(x z) f sin

13、(x z)dx du x dx y dy z 等式exyxy2exy(ydxxdy)(ydxxdy)dy yxsx等式ex t0ex(xsin(x e dx (dx即 dz xsin(xxduf y f ex(xz)fsin(xz)x du f y f ex(x z) f sin(x z)dx 8.2.12（20083）zz(xyx2 y2 z(x yz其中 具有二阶导数，且 z（I）求dz； （II）记u(xy) ，x yy1（I）F(xyz) x2 y2 z(x yzFx2xFy2yFz1x FFx2xFy2yFz1x Fzz2xz 2y 11dz zdx zdy 1 (2x )dx (2

14、y )d 121（II）由于u(xy) 1 z 2(2x1).x(1(122】 （I）x2 y2 z (x yz2xdx2ydydz (dxdyd解出d z ，dz 2xdx 2yd 11第节多元函数的极值与最值内 容 概 要（一）无约束极值7 z f(xy P(x, yf(xy f(x0y0（f(xy f(x0y0定理 5（极值的必要条件） z f (xy在点(x0y0存在偏导数，且(x0y0三f (xyfx(x0,y0) fy(f (xyfx(x0,y0) fy(x0,y0) fx(x0y00fy(x0y0 0 Bfxy(x0,y0Cfyy(x0,y0（1）ACB2 0，则(x y f (

15、xyA0，则(x0y0f(xyA0，则(x0y0f(xyACB2 0，则(x y f(xyACB2 0，则(x y f(xyf(xyz f(xy（1）f(xyP1,LPk【注】1）z f(xy在偏导数不存在的点也可能取到极值（f (xy) x2y2 （二）条件极值及拉格朗日乘数法z f(xy在条件(xy) 0（1）F(xy,) f(xy(xyfx(x,y)x(x,y)f(x,yfx(x,y)x(x,y)f(x,y)(x,y) yyx,y xy及，则其中(xyf(xy在条件(xy0n元函数在m个约束条件下的极值问题，如求u f(xyz条件(xyz0，(xyz) 0F(x,y,z,) f fx(x

16、,y,z)x(x,y,z)x(x,y,z)f(x,y,z)(x,y,z) (x,y,z) yyyfz(x,y,z)z(x,y,z)z(x,y,z) (x,y,z) xyz及 ，则其中(xyz常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型f(xy在点(x0y0是（A）f(x0yy y0（B）f(x0yy y0（C）f(x0yy y0（D）f(x0yy y0 （D）f(x0yy y0 ）（A）f(xy（B）f(xy（C）f(xy（D）f(xy【1z f(x【D8.3.3（20173）z xy(3xy的极值点是（ （B） y(32x y) x(32yx0【解】由y(0,0),(0,3),(3,0),2y

17、,zyy 2x,zxy 32x2ACB2 90在(0,0) ACB2 90在(0,3) ACB2 90在(3,0) ACB2 30,8.3.4（20091,3）f(xy) x22 y2 ylny【解fx(x,y)2x(2 y2)，fy(x,y)2x2ylnyACB2 30,8.3.4（20091,3）f(xy) x22 y2 ylny【解fx(x,y)2x(2 y2)，fy(x,y)2x2ylnyfx(x,y)1解得唯一驻点 . 由令f (x,y) ey1221A 2(22ey 2 ee1B e 10, e11C e2y 1所以ACB 2e 20，且A0.从而f 0,1是f(x,y)的极小值，

18、极12e2ef0,11ee8.3.5（20082）求函数u x2 y2 z2z x2 y2x y z 4【解】 F(x,y,z,) x2 y2 z2 (x2 y2 z)(x y zFx2x2x F 2y2y yFz2z令F x y z 解方程组，得 【例 8.3.6（2005 年 2）已知函数 z f(xy的全微分 dz 2xdx2ydy ，并且 2 1 上的最大值和最小值41】 由dz 2xdx2ydyz f ( 2 1 上的最大值和最小值41】 由dz 2xdx2ydyz f (x,y) x2 y2 f(1,1)2，得C2z f(x,y) x2 y2 令2x 0,f 2y 0解得驻点(0,

19、0在椭圆x 1上，z x (44x )2，2224z 5x2 (1 x 其最大值为3最小值为2.再与f(0,0)2比较可知f(x,y)在椭圆域xx【解2】 同解法一得驻点(0,0).用拉格朗日乘数法求此函数在椭圆x 1上的极值24设L x y 2x 1，24Lx 2x2xL 2yy y2Lx214解得 4 个可能的极值点(0,2),(0,2),(1,0) 和(1,0) 又 f(0,2)2, f(0,2)2, f(1,0)3, f(1,0)3 ，再与 f(0,0)2 比较，得f(xyD3，最小值为2【解3】 同解法一，得驻点(0,0).椭圆x 1的参数方程为x cost,y 2.4z f (x,

20、y) x2 y2 2cos2t 4sin2t则35sin2 3,fmin 第 九 二 重 积 内 容 概 要(一)二重积分的概念及性质1 z f(x3,fmin 第 九 二 重 积 内 容 概 要(一)二重积分的概念及性质1 z f(xyD将区域 D 任意分n 个小闭区1，2，L，n i 上任取一点(i ,i 表示i 个小区域,也表示它的面积.其，作乘nf (i,i)i，并求和 f (i,i)i记 n 个小区 in大直径，如果lim f (xi, yi)i 存在，则称此极限值为函0 inlimf(xi,yi)f(x,y)D0 i几何意义f(xyd是一个数.f(xy0DDz f(xyf(xy0（

21、1）若Df (xy g(xyf(x,y)d g(x, y)dDD（2）D上m f(xyM m f(x,y)d MDf (x,y) | f (x,y)|dDDm f(x,y)d MDf (x,y) | f (x,y)|dDD (,) ，使f(x,y)d f(,)D（2(f (x,y)Db1）先yf (x,a1 (2(yf (x,y)Df (x,2）x 后c(y12 ( 先 后f (x,y)d 1Dyx（1）f( x2 y f( ), f )2xyx2 y2 R2; r2 x2 y2 R2; x2 y2 2ax; x2 y2 f (xy)关于x为偶函数f(x,y)d 0f (xy)关于x为奇函数D

22、f(xy)关于y为偶函数f(x,y)d Dy0f(xy)关于y为奇函数Df(xy)关于y为偶函数f(x,y)d Dy0f(xy)关于y为奇函数Df(x,y)d f(y,DD常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型1.2.21【例9.1】交换累次积f (x, y)dy的次序_20 x422【例9.2（2009年2）设函数f(x,y)连续f (x, y)dyf (x, y)dx 1x144f (x, f (x, 11422f (x, f (x, 11y【C0f(cossin)d 可以写20yy1y11f (x, f (x0f(cossin)d 可以写20yy1y11f (x, f (x, 000

23、0 xx111f (x,f (x,0000【D1 tan1dx 【9.4】(20172)积分 x0ylncos12xx2x2 y2dy的值等于_【例9.5】积009【例9.6（2008年3） 设D (x,y)x2 y2 1，则(x2 y)dxdy D4（1,1（-形区域，D1 是D 在第一象限的部分(xy cos xsin y)dxdy等于）D（A）2cos4（1,1（-形区域，D1 是D 在第一象限的部分(xy cos xsin y)dxdy等于）D（A）2cosxsin （B）2（C）4(xycosxsin y2xydxdyDy xy1,x0D1y【解】 原式dy2 xyd00 y(y x

24、)y 2y2dy 211d0 3900【9.9（20172）已知平D (x, y)| x2 y2 2y，计算二I (x1)2dD【解】 I (x2 2x1)dxd D2xdxdy D0I (x 1)dxdy cos d22220Dsin cos 4220sin (1sin )d42208(31 531) 54 2 6sin cos 4220sin (1sin )d42208(31 531) 54 2 6 4 2 4【9.10（20052,3）x2y21dDDxy0 x1,0y1，将DD1D2两部分【解】| x2 y2 1|d (1 x2 y2)D(x2 y2 1)d (1x2 y2)(x2 y

25、2 1)d (x2 y2 1)dD 2(1x2 y2)d (x2 y2 1)dDD1 (12)d(1x y )28001D11 d(x y (x y 1)1)d002131x dx 203|x2 y2 1|d 1D9.11（20142,3）设平D(xy)1x2 y2 4x0y 0 x2 y2x D x2 y2x2 y2yDx x Dx2 y2x2 y2xy1Dx x D 1x2 y22D122 2011 x2 y2x2 y2yDx x Dx2 y2x2 y2xy1Dx x D 1x2 y22D122 2011342dcos() 41xx2 y22d2 cosx 01D2020d cos 4d

26、2cos 022sin()d(cossin11x2 y2 )dxdy xD故x 4是圆D(xyx y2 1k 象限的部29.12（2013 2,3）kIk yx)dxdy (k 1,2,3,4则）（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I4 第十无穷 级 数第一常数项级数内 容 概 要设un 是一数列，则nu1u2 L un n称为级数的部分和.若部分和数列sn有极限 s, 称为无穷级数，简称级数sn i内 容 概 要设un 是一数列，则nu1u2 L un n称为级数的部分和.若部分和数列sn有极限 s, 称为无穷级数，简称级数sn i nnn 如果极限lims 不存在，则称级u 发散nn

27、1（2）aq (a nn111【解】（1）sn ln(1 )ln(1 )Lln(112nln2ln 3 L ln n2ln(23Lnn) ln(n2n由于limsn limln(n1) 则级数ln(1 )发散na(1 qnq q ,（2）s aaqaq2 L na1limsn1 q1limsnlimnan为奇当q1s aaaL1)n1a0，q1limsnlimnan为奇当q1s aaaL1)n1a0， n为偶数n 不存在，原级数发散.综上所述，原级数 nqn1）若级数un s则级数kunn2）若un 和vns, ，则(un vns n发散，则(un vnn【注】1）若和vn 都发散，则(un

28、vn2）若n5)(级数收敛的必要条件) 若级数un 收敛，则limun 0n【注】1）若 limun 0，则级数un n2）若 limun 0，则级数un un,un 0基本定理un收敛 Sn1)比较判别法：设un vn收敛 un 发散 vn 2)比较法极限形式：lim un l (0基本定理un收敛 Sn1)比较判别法：设un vn收敛 un 发散 vn 2)比较法极限形式：lim un l (0l 若0l ,则与vn 若l 0,则vn 收敛 发散 vn 若l ,则vn 发散 un un 收敛 vn np1p1.pnaqnaqq1q1 收敛u,则u3)比值法:若 4)若limn un ,则u

29、n 发散不一定2.(1)n1unun0莱不尼兹准则: 若(1un单调减(2) limun 0则(1)n1un 【注】un 单调limun 0是级数(1)n1un1错级数收敛，但un n (1)n(1)n1 2unun 为任意则(1)n1un 【注】un 单调limun 0是级数(1)n1un1错级数收敛，但un n (1)n(1)n1 2unun 为任意（1）若级数收敛，则必收敛，此时称级数un n（2）若级数un 收敛，但发散，此时称级数un n（1）绝对收敛的级数一定收敛,即|un |收敛 un nnun|un 2un|un 2条件收敛 和常 考 题 型 与 典型 例 题常考题型常数项级数

30、的敛散性判定)n311（B） n ln(1 n.n(1)n （C）.nlnn（A）若an an1则(1)n1a n 收敛； （B）若(1)n（A）若an an1则(1)n1a n 收敛； （B）若(1)n1an 收敛,则an an1nn（C）若anp1使limnpann（D）p1使limnpanann【例10.1.4（2009年1）设有两个数列an,bn，若liman 0，则（A）当bnanbn 收敛. （B）当bn （C）当（D）当 n 2 2 收敛时a b 收敛发散时a b 发散nn n【例 10.1.5（2011 3）设un是数列，则下列命题正确的是)（A）若un 收敛，则(u2n1 u

31、2n) 收敛n【例 10.1.5（2011 3）设un是数列，则下列命题正确的是)（A）若un 收敛，则(u2n1 u2n) 收敛nn（B）若(u2n1 u2n) 收敛，则un 收敛nn（C）若un 收敛，则(u2n1 u2n) 收敛nn（D）若(u2n1 u2n) 收敛，则un 收敛nn第二幂 级内 容 概 要幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域（一定义1形如 a axa x2 L a xn nnn或者 a (xa a(xx )L a (xx )n n00n0n(1)anxn x x0(x0 0处收敛，则当|x|x0 |anxn (2)anxnx x0处发散,则当|x|(1)anxn x x0

32、(x0 0处收敛，则当|x|x0 |anxn (2)anxnx x0处发散,则当|x|x0|anxn 2幂级数anxnnx0处收敛RxR时绝对收敛, R时发散2 2 R称为幂级数anxn 的收敛半径.开区间(RR称为它的nx R时anxn n敛域 n13如果liman,则R 1定理4如果limn |a | ,则R n（二）幂级数的性质设幂级数1 nnx 的收敛半径为Rb x 的收敛半径为R ,n2nnR minR1R2（1）加法： n x b x (a b )xnnnx(R,nn（2）减法： x b x (a b )xn x(R,nnnnnn（3）乘法： x )b xnnnna b (a （2

33、）减法： x b x (a b )xn x(R,nnnnnn（3）乘法： x )b xnnnna b (a b ab )x(a b ab a b )x20 0 1 0 1 2 (a b aL ab )xn Lx(R,0 1 nn n nc xnn（4）除法nn b xnc xn) a xn 所确定 其中系数c （n0,1,2L）由nnnnnn) ) S(x) ax (a xn)xnnnnnnnn) xa x dxx nx S(x)dx anxndxnann00（三）函数的幂级数展开1f(x在区间(x0 Rx0 Rf (x) a (x n0n xx0f(x在区间(x0 Rx0 Rxx0f(x在区

34、间(x0 Rx0 R1 f(x在区间(x0 Rx0f(x在区间(x0 Rx0 Rxx0f(x在区间(x0 Rx0 R1 f(x在区间(x0 Rx0 Rxx0f (x) a (x n0nf(x在区间(x0 Rx0 Rf (n) (n f(xx x0 2 f (n)0 (xx0nf(xx x0 处的为f(n)x0 0处的泰勒级数f(x的nf (n)定理2 设f(x)在x x0 处任意阶可导,则 0 (x x0) 在(x0 R,x0 nf (x) lim Rn(x) 0f(n1)(n(x x0(n f (k)n)f (x) 0 (xx0) Rnkk11xx2L xn(1x1（2）e 1x L x(x

35、3x(1)n1 （3）sinxxL( x（2）e 1x L x(x3x(1)n1 （3）sinxxL( x(2n(1)n （4）cosx1 L( x(1)n1（5）ln(1x)x2(1 xn1x(1)x2 L(1)L(n1)xn (1x第一步 f(xx0f (n(x0f (xx0f (n)f (x) (xx00nf(n1)(n第二步 考查limRn(x) (x x00(n nn式（ex x); 有了一些基本展开式后，主要用间接展开常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型 求收敛半径、收敛区间及收敛 将函数展开为幂级 求幂级数（或数项级数）的和一求收敛半径、收敛区间及收敛域en 10.2.1（

36、2009年3）幂级数nx 的收敛半径n1 e x2n1R .nnn1 【 313 nn收敛性2 求幂级数（或数项级数）的和一求收敛半径、收敛区间及收敛域en 10.2.1（2009年3）幂级数nx 的收敛半径n1 e x2n1R .nnn1 【 313 nn收敛性2n1 33n(2)n 13 【解】 n 3n1 (2)n1(n 2n131 3(n lim 1lim 133n n 3n (2)n 23nn 111nnx33n 1n 1 x3 ，3n (2)n 3n n1n 1 x3 ，3n (2)n 3n n n幂级数an(x3)n的收敛域为n【(1,5【例 10.2.5（2015 年 1）若级

37、数an 条件收敛，则 x 3 x 3nan(x1)n 【解】由级数an条件收敛可知幂级数an(x1)nx2x2an(x1)n 的收敛区间的端点，故其收敛半径为1.由幂级数的性质可知幂级数nan(x 1)n 的收敛半径也为31 1,31 1.则x 3为收敛点，x3为发散点，故应选x10.2.6（20061）f(x) 2 x x 1 1 2 x，【解】 2 x 3 (1)n xnn 1 x n2 1 2 2,x2n1xx11 2 x2 x 31 1 (1)n x 2n1 3n0 110.2.7（20073）f (1)n xnn 1 x n2 1 2 2,x2n1xx11 2 x2 x 31 1 (

38、1)n x 2n1 3n0 110.2.7（20073）f(xx2 3x区间 1 1 x2 3x5 xx，【解】 x111113x4 (x1)3 x(2,4),1 n0313x11111x1 ,x(x1)2n0 2122 (1)nx2 3x (xx5n0 3n2n10.2.8】f(x) ln(x2 xx 1处展开为幂级数(1 1 )(x1)n, x11【ln2nn【例10.2.9】将函数f(x)sinx在x 4(1 1 )(x1)n, x11【ln2nn【例10.2.9】将函数f(x)sinx在x 42【解】f (x)(x) sin(x44244(1)n1(x(1)n(x 2 x(2n4n【n

39、, x 14n三级数求和10.2.11】求幂级数nxnnx【】(110.2.12（2017 年 1）幂级数 (1,1) 内的 和函数S(x) x1(1S(x) (1)n1(1)n1xn)1 x【例 10.2.13（2014 年 3）求幂级数(n 1)(n 3)xn 的收敛域nx1(1S(x) (1)n1(1)n1xn)1 x【例 10.2.13（2014 年 3）求幂级数(n 1)(n 3)xn 的收敛域nan1, R1,x1时原级数显然发散，则其收敛域为(n 1)(n3)xn (n2)(n(n nn2 n1 2xx 11 1 1 (x1)11 x1x 3 xn(n1【1,1;11)ln(1

40、x)x【注】常用结论：ln(1nn2n10.2.15（2010年1）求幂级数n2n1【解】 由于n 2n 2n x 1时，原级数为n2n10.2.15（2010年1）求幂级数n2n1【解】 由于n 2n 2n x 1时，原级数为n收敛域为2nS(x x2n11 x1)，n 1 1 xS(x) (1)n1x2n2 .2n1xS(0)0S(x) dt arctanx120n xS(x) xarctanx, x2n第节内 容 概 要f(x是周期为2 的周期函数，且在, n0,1,2af (x)cosn n 1,2bf (x)sinnf(x三a(a cosnxb sin0nn2nf(x22f (x)

41、(an cosnxbn sin a(a cosnxb sin0nn2nf(x22f (x) (an cosnxbn sin f(x的傅里叶级数在,1) S(x) f (x) xf (xf(x) f(x2) S(x) xf (x,2f()f(x 3) S(x) ,2（三）周期为21) , 上展开 n0,1,2af (x)cosn n 1,2bf (x)sinn2),（1）f (xan n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn（2）f (x n0,1,2af (x)cos nbn3)在0, n 1,2an n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn2 a n0,1,2f (x)cos

42、nbn（四）周期为2ln 1,2an n0,1,22 b n 1,2f (x)sinn2 a n0,1,2f (x)cosnbn（四）周期为2ln 1,2f (x)cos nx lllln0,1,2anlnxf (x)n 1,2bnl2) ll(1) f (xan n0,1,2f (x) sin2lln 1,2bn0(2) f (xnx2lln0,1,2f (x) cos0bn n 1,23)在0,lan n0,1,2nx2lln 1,2f (x)sin0f (x) cos2lln0,1,20n 1,2bn 常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型1.狄利克雷收敛定理2.将函数展开为傅里叶级

43、数；一.狄利克雷收敛定理1 x0 xf (x) 3x 32 则f(x)的傅里叶（Fourier）级数在常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型1.狄利克雷收敛定理2.将函数展开为傅里叶级数；一.狄利克雷收敛定理1 x0 xf (x) 3x 32 则f(x)的傅里叶（Fourier）级数在x1处收敛于1）f(x x2,0 x1S(x)bnsinnx, xn1xdx, nb f (x)sinn01则S 等于212141412（A）二.将函数展开为傅叶级数10.3.3（19931）f(xxx2 ( xa(a cosnxb sin0nn2n里2 3则其中系数.的值10.3.4（19911）f(x2

44、1数，并由此求级数2 的和n1 【解】 f(x2x1a0 (2 x)dx 02(cosnn211xdx xcosa (2 x)cosxdx n,n00bn0, n因所给函数在区间1,1 上满足收敛定理的2 3则其中系数.的值10.3.4（19911）f(x2 1数，并由此求级数2 的和n1 【解】 f(x2x1a0 (2 x)dx 02(cosnn211xdx xcosa (2 x)cosxdx n,n00bn0, n因所给函数在区间1,1 上满足收敛定理的条件，2(cosnn2 4 cos(2n55nx 2 2xcos.(2n 22n5411n当x0时，2(2n(2n 222n1111nnn

45、n又，(2n (2n n22222n 1 2.n故(2n 22n10.3.5（19951）f(xx10 x2)4的余弦级数22【解】 a0 (x1)dx2022 222a (x1)dx(x1)dn222000n n 2k 8 4 ( 2(kn(2k 1)22cos(2n1)x,f (x) xcos(2n1)x,f (x) x(2n222第十向量代数与空多元微分学在几第一向 量 代内 容 概 要2) 代数表示: ab axbx ayby azbz 交换律: ab b分配律: abc) aba交换律: ab b分配律: abc) aba4)i) 求模: |a aaii) 求夹角: cos |a |

46、biii) 判定两向量垂直: a b ab a b 是一向量.模: |ab|a|b|sin .方向: ijk代数表示: ab .ab= (babcabac. 求同时垂直于a和b的向量: ab求以a和bS|ab|. iii)判定两向量平行: a / b a b 0.3.混合积: (abc) (ab1)(abc) .2)(abc) (bca) (cab)i) 轮换对称性:ii) 交换变号: (abc) (acb3)i) V平行六面=| (abc|ii)判定三向量共面: abc共面 abc常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型向量的运算11.1.1】(1995设(abc2,则(abbcca.【解

47、】 (a b(bc)(c a3)i) V平行六面=| (abc|ii)判定三向量共面: abc共面 abc常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型向量的运算11.1.1】(1995设(abc2,则(abbcca.【解】 (a b(bc)(c abacbbbc(c(ab)c(ab)a(ac)c(ac)a(bc)c(bc) (ab)c(bc)2 (ab)c 第二节空间平面与直线内 容 概 要1） Ax ByCz D n A,B,点法式: A(xx0 By y0C(z z0 0 x y z 2.A1xB1yC1zD1 x B yC z D 222x x0 y y0 z lmn3)x x0 lt,

48、y y0 mt, z z0 点(x0y0z0Ax ByCy D 0d Ax0 By0 Cz0 A2 B点(x0y0z0Ax ByCy D 0d Ax0 By0 Cz0 A2 B2 Cxx1 y y1 zz1点(x y z lmnd(x1x0,y1y0,z1z0)(l,m, l2 m2 常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型建立平面和直线方程x xyz11.2.1（19871）与两直线y 1t121z 2x y z 0 .【注】 所求平面的法线向量nn【例 11.2.2（1990 年）M (1,2,1) 且）与直x t y 3t z t x3y z40 【例 11.2.3（1991 年）已知

49、两条直线的方程是:x1y2 z3:x2 y1zLL12x【例 11.2.3（1991 年）已知两条直线的方程是:x1y2 z3:x2 y1zLL12x3y z20102则过L1 且平行于L2 的平面方程是 .【注】 x y yxz年）设有直线 :L L 【例 11.2.422y z 11的夹角为6432【注】 cos s s /|s |s | 1， 23【例 11.2.5（1995 年）设有直L:x3y 2z 12x y10z 3 及平面4x2yz20L（A）（B）在 （D）与 斜交11.2.6（1996）设一平面经过原点及点(6,3,2)，且与平面4xy2z82x2y3z 0【注】 所求平面

50、的法线向量n4,1,2n6,3,2n2x2y3z 0【注】 所求平面的法线向量n4,1,2n6,3,2n 【 2 第节曲面与空间曲线内 容 概 要F(x,y,z) z f(x, 2.x 1)参数式:y z F(x, y,z)G(x,y,z)f(y,z)L 是 yoz 平面上一条曲线，其方程是xf(y, x2 z2)（2）L 绕z 轴旋转所得旋转面方程f( x2 y2,z)三f(x,y)（1）准线为z轴的柱面方程为 f(xy0zF(x,y,z) （2）准线为和G(x,y,z)G(x, yf(x,y)（1）准线为z轴的柱面方程为 f(xy0zF(x,y,z) （2）准线为和G(x,y,z)G(x,

51、 y,z) H(x,y) z2特别的：圆锥面 x y z x2 y2 z2 R2 1 z；特别的：旋转抛物面 z x2 y2z F(x, y,z) 曲线在G(x,y,z)H(x, y) xoy面上的投影曲线方程为.z常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型建立柱面和旋转面方程x2 y2 2z2 11.3.1】求以曲线z x2 【解】 z x2 y2x2 y2 2z2 1x2 y2 2(【解】 z x2 y2x2 y2 2z2 1x2 y2 2(x2 y22 1x2 y2 1为所要求的柱面22x2 y2 1) z z x1）x2x2 y2 z2 y2(x2z2 y2 12）y轴旋转面方程： x

52、2 z2 y2x2 z2 y4zz y2 x2 y2 z2 a2(a 11.3.3】求曲Lx2 y2 【解】xoyx2 y2 axxozz2 axa2,(0 xa第节多元微分在几何上的应用内 容 概 要1)F(x, yz) 法向量: n fxfy,1)2)z f (xx 曲线y y(t) x(t y(t z(t 000z 四F(x,y,z) 切向量: n1,G(x,y,z) n1FxFyF(x,y,z) 切向量: n1,G(x,y,z) n1FxFyFzn2 Gx,Gy,Gz常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型建立曲面的切平面和法线及曲线的切线和法平面的方 （A）x y z （B）x y

53、 z （C）x2y z （D）x y z 3x2 2y2 【例 11.4.2（1993 年）y 旋转一周得到的旋转面在点z (0, 3, 法 向 量 为 处 的 指 向 外 侧 【5, 511.4.3（2003）z x2 y22x4yz 0【2x4y z 5 ,y 1cost,z 4s在点t 22x1 y1 z2 2 12法平面方程为 x y2z x1 y1 z2 2 12法平面方程为 x y2z 4 02x2 y2 z2 11.4.5】求曲线x y z xyz.03法平面方程为 x z 0第十二章 多元积分学及其第一节积内 容 概 要三重积分nf(x,y,z)dvlimf(k,k,k)vk

54、1d0 k2.性质 1) 的直线与 的投影域为 Dxy(如右图)，z (x,y2f (x,y,z)dv1) 的直线与 的投影域为 Dxy(如右图)，z (x,y2f (x,y,z)dvf(x,y,z1(x,y设空间区域 (x,y,z)(x,y)D ,c z c ，2f (x,y,z)dv dzf(x,y,c12)x cos0 02 z y sinz 体积微元 dv dvr23)x rsincos0 r 0 02y rsinsinz r体积微元 dvf(x,y,z)dvf (rsincos,rsinsin,rcos)r2若积分域 关于 xoy 坐标面对称, f(xyz) 关于 z 有奇偶性, 则

55、f(xyz)关若积分域 关于 xoy 坐标面对称, f(xyz) 关于 z 有奇偶性, 则f(xyz)关于z是偶函数f(x,y,z)dv Dz0f(xyz)关于z是奇函数 5)常 考 题 型与 典 型 例 题常考题型三重积分计算 y z R ,z y z R ,x0,y 0,z1 :2 :及则（A）xdv 4xd（B）ydv4yd（C）zdv 4zd（D）xyzdv 4xyzd12.1.2（2009）设xyz|x2 y2 z2 1z2 dxdydz 412.1.3（2015）设x yz1(x2y3z)dxdydz xdxdydz zdxdydz, 2ydxdydz (x2y3z)dxdydz

56、1x 1001x(x2y3z)dxdydz xdxdydz zdxdydz, 2ydxdydz (x2y3z)dxdydz 1x 1001x y) 200141x) dx 30(x2y3z)dxdydz 1011z z) 220412.1.4（1989年）(xzdv，其中zx2 与z 1x2 y2 所围成的区域【解】 由yOzxxxdv4 121rsindr sin zdv 22420000所以 (x zdv 8第二内 容 概 要(一)对弧长的线积分（第一类线积分nL f(x,y)dslimf(i,i0 i f (x, y)ds f (x,L(L(nL f(x,y)dslimf(i,i0 i

57、f (x, y)ds f (x,L(L(x ， t （1)L y f (x, y)ds f (x(t), x2(t) y2(t)dt L（2)L: y y(x) a xbbf (x, y)ds f (x, y(x) 1 y2La（3)L() f (x, y)ds f(cos,sin2 2L2f (x, 当fx, y)关于x为偶函数当fx, y)关于x为奇函数f (x, y)ds LLf (x, 当f x, y)关于y为偶函数当f x, y)关于y为奇函数f (x, y)ds Ly x对称,则L f (x, y)ds L f yL f (x)ds L f (对空间线积分L f (xyz)ds若曲

58、线L的方程为：x x(t),y y(t),z (tf (x,y,z)ds f (x(t),y(t),x2(t) y2(t) z2则L（二）对坐标的线积分(第二类线积分)nLP(x,y)dxQ(x,y)dylimP(i,i)xiQ(i,inLP(x,y)dxQ(x,y)dylimP(i,i)xiQ(i,i)yi10 i PdxQdy PdxL(L(L:x，t，其起点和终点分别对应参数ty 1)直接法 和t P(xy),Q(xyLPdxQdyP(x(t), y(t)x (t) Q(x(t), y(t)y LPPdxQdy x y D LL D取正向的边界曲线定理 P(xy，Q(xyD线积分L Pd

59、x Qdy 与路径无关；3）P Q(x,y)4）P(x,y)dxQ(x,y)dy dF(x,a)(x2 ,y2 xPdxQdy P(x, y )dx Q(x2, 1(x ,y xy1 11(x2 ,y2 PdxQ(x2 ,y2 xPdxQdy P(x, y )dx Q(x2, 1(x ,y xy1 11(x2 ,y2 PdxQdy Q(x , y)dy Q(x, y2或1(x ,y yx1 11b)PdxQdy dF(xyF(xyPdxQdy(x2,y2PdxQdy F(x2,y2)F(x1,y(x ,y 1 4.两类线积分的联系 PdxQdy (Pcos Qcos)dsLLLxx(tyy(t

60、z z(t), t点和终点分别对应参数t和t P,QRLLP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy R(x,y,Px(t),y(t),z(t)x (t)Qx(t),y(t),z(t)y(t) Rx(t), y(t),与P,QR在LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dy R(x,y,cos QRP dydz z x dzdx x y 常 考 题 型 与 典 型 例 题常考题型曲线积分计算一第一类线积分的计算1x2 L(x2 y2)ds 一第一类线积分的计算1x2 L(x2 y2)ds 【 xdsLL yds 【2【例12.2.2（1998年）设L 为椭 1，其周长记为a ，L(2xy3x2 4