2023届高三数学一轮大题专练6-导数（零点个数问题2）

1、一轮大题专练6导数（零点个数问题2）1已知函数（1）证明：有唯一极值点；（2）讨论的零点个数解：（1）设，则，故单调递增又，故存在唯一，使得当时，单调递减；当时，单调递增故是的唯一极值点；（2）由（1）是的极小值点，且满足又；同理故时，有两个零点；时，有一个零点；时，无零点又令，解得，即令，此时关于单调递增，故令，解得，即此时，故令，解得，即此时关于单调递增，故综上所述：当时，有两个零点；当时，有一个零点；当时，无零点2已知函数（1）求函数的单调区间和极值；（2）画出函数的大致图象，并说明理由；（3）求函数的零点的个数解：（1）函数，定义域为，则，令，解得，当时，则单调递减，当时，则单调递增，

2、故当时，函数有极小值，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，有极小值，无极大值；（2）令，解得，当时，当时，所以的图象经过特殊点，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸式增长，增长速度更快，结合（1）中的单调性与极值情况，作出函数的图象如图所示：（3）函数的零点的个数为函数的图象与直线的交点个数，由（1）以及（2）的图象可知，当时，有极小值，结合函数的图象，所以关于函数的零点的个数如下：当时，零点的个数为0个；当或时，零点的个数为1个；当时，零点的个数为2个3已知函数（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）当时，讨论函数的零点个数，并给予证明解：（1），由题意得，即在区间上恒成立，

3、当时，所以，故实数的取值范围是，（2）由已知得，则，当时，函数单调递减，又，（1），故函数有且只有一个零点当时，令，得，函数单调递减；令，得，函数单调递增，而，在上恒成立），由于，所以，所以在，上存在一个零点，又，且，设（a），（a）在恒成立，故（a）在上单调递增，而，所以（a）在上恒成立，所以，所以在，上存在一个零点综上所述，当时，函数有且只有一个零点；当时，有两个零点4已知函数，其中，（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）判断函数是否存在极值，若存在，请判断是极大值还是极小值；若不存在，说明理由；（3）讨论函数在，上零点的个数解：（1）时，故切线方程是：；（2），设，故递减，又时，若

4、，即时，使，当时，递增，当，时，递减，在处取极大值，不存在极小值，若，即，在，递增，此时无极值，（3）由（2）可知：若时，由上问可知：，即时函数没有零点，若时，时，递增，时，递减，由得，从而，再设，则从而关于递增，若，此时，若得或，时无零点，得，时有1个零点，当时，有1个零点，因此时无零点，时有1个零点；，此时，设，则，故，若即，即时无零点，若即，即时有1个零点，综上，时无零点，时有1个零点5设，（1）讨论在，上的单调性；（2）令，试判断在上的零点个数，并加以证明解：（1），令，则，或，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增，时，单调递减，综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为，和，（2）在上有3个零点，证明如下：，则，故是的一个零点，是偶函数，要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，当时，令，即，时，单调递减，时，单调递增，在有唯一零点当时，由于，而在，单调递增，故，故在，无零点，在有一个零点，由于是偶函数，在有一个零点，而，故在上有且仅有3个零点6已知函数的图象在点处的切线方程为（1）若对任意有恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数在区间内有3个零点，求实数的范围解：（1），函数的图象在点处的切线的方程为（1），（1），解得，当时，函数取得最大值，对任意有恒成立，实数的取值范围是，（2）由（1）可得：，令，解得，1列表如下：