机械振动的基本理论

1、机械振动的基本理论第1页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四1引 言 振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。 物理学知识的深化和扩展物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。 振动属于动力学第二类问题已知主动力求运动。 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用第2页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四2 振动问题的研究方法与分析其他动力学问题相类似： 选择合适的广义坐标； 分析运动； 分析受力； 选择合适的动力学定理； 建立运动微分方程； 求解运动微分

2、方程，利用初始条件确定积分常数。 返回首页引 言Theory of Vibration with Applications振动理论与应用第3页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四3 振动问题的研究方法与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理： 矢量动力学基础中的动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗伯原理。 分析动力学基础中的拉格朗日方程。 返回首页引 言Theory of Vibration with Applications振动理论与应用第4页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四4振动概述所

3、考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点 返回首页Theory of Vibration with Applications振动理论与应用第5页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四5 Theory of Vibration with Applications 返回首页Theoretical Mechanics 第1章 振动的基本理论 1.1 振动系统 1.2 简谐振动 1.3 周期振动的谐波分析 1.4 非周期函数的连续频谱目 录 第6页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四6 返回首页Theory of Vibr

4、ation with Applications 1.1 振动系统 第1章 振动的基本理论 第7页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四7 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 振动系统 振动系统一般可分为连续系统或离散系统。 具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。 在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由

5、度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。 第8页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四8 按系统的自由度划分：振动问题的分类 单自由度振动一个自由度系统的振动。 多自由度振动两个或两个以上自由度系统的 振动。 连续系统振动连续弹性体的振动。这种系统 具有无穷多个自由度。 返回首页振动概述Theory of Vibration with Applications 1.1 振动系统第9页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四9 按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类 线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。 非线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非

6、线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 振动系统第10页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四10 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.1 振动系统 线性振动：相应的系统称为线性系统。 线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。 非线性振动：相应的系统称为非线性系统。 非线性振动的叠加原理不成立。 第11页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四11 按激励特性划分：振动问题的分类 自由振动没有外部激励，或者外部激励

7、除去后，系统自身的振动。 受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。 自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。 参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。 返回首页振动概述Theory of Vibration with Applications 1.1 振动系统第12页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四12 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动 第1章 振动的基本理论 第13页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四1

8、3 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示1. 用正弦函数表示简谐振动用时间t的正弦（或余弦）函数表示的简谐振动。其一般表达式为一次振动循环所需的时间T 称为周期；单位时间内振动循环的次数f 称为频率。周期T的单位为秒（s），频率f的单位为赫兹（Hz），圆频率 的单位为弧度/秒（rad/s）。振幅圆频率初相位第14页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四14 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示图描述了用正弦函数表示的简谐振动，

9、它可看成是该图中左边半径为A的圆上一点作等角速度 的运动时在x轴上的投影。如果视x为位移，则简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t的一阶和二阶导数，即第15页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四15 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，具有相同的频率。在相位上，速度和加速度分别超前位移 和 。重要特征:简谐振动的加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，始终指向平衡位置。可得到加速度与位移有如下关系第16页，共36页，2022年，5月20

10、日，3点3分，星期四16 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示旋转矢量OM 的模为振幅A，角速度为圆频率 ，任一瞬时OM 在纵轴上的投影ON 即为简谐振动表达式2. 用旋转矢量表示简谐振动第17页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四17 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示记 , 复数复数Z的实部和虚部可分别表示为简谐振动的位移x与它的复数表示z的关系可写为3. 用复数表示简谐振动第18页，共36页，2022年，5月20日，

11、3点3分，星期四18 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的表示由于用复数表示的简谐振动的速度加速度为 也可写成是一复数，称为复振幅。它包含了振动的振幅和相角两个信息。用复指数形式描述简谐振动将给运算带来很多方便。 第19页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四19 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 1. 两个同频率振动的合成有两个同频率的简谐振动由于A1 、A2的角速度相等，旋转时它们之间的夹角( )保持不变，合矢量A也必然以

12、相同的角速度 作匀速转动 第20页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四20 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 由矢量的投影定理 A =A1 +A2即两个同频率简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，其角频率与原来简谐振动的相同，其振幅和初相角用上式确定。 第21页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四21 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 2、两个不同频率振动的合成有两个不同频率的简谐振动有理数第22页，共3

13、6页，2022年，5月20日，3点3分，星期四22 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 当频率比为有理数时，合成为周期振动，但不是简谐振动，合成振动的周期是两个简谐振动周期的最小公倍数。 合成的周期若 与 之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。 若 ，对于 ，则有第23页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四23 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 令 式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个循

14、环。这是一个频率为 的变幅振动，振幅在2A与零之间缓慢地周期性变化。它的包络线第24页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四24 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.2 简谐振动简谐振动的合成 这种特殊的振动现象称为“拍”，或者说“拍”是一个具有慢变振幅的振动 拍频 第25页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四25 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析 第1章 振动的基本理论 第26页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四26

15、 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析周期振动 展成傅氏级数一个周期 T中的平均值 n=1,2,3,n=1,2,3,基频第27页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四27 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。第28页，共36页，2022年，

16、5月20日，3点3分，星期四28 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。 第29页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四29 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项近似表示周期振

17、动。例1.1 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。 解矩形波一个周期内函数F (t)可表示为表示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。 第30页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四30 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.3 周期振动的谐波分析n=1，2，3于是，得F(t)的傅氏级数F(t)是奇函数，在它的傅氏级数中也只含正弦函数项。在实际的振动计算中，根据精度要求，级数均取有限项。F(t)的幅值频谱如图所示。 第31页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四31 返回首页Theory of Vib

18、ration with Applications 1.4 非周期函数的连续频谱 第1章 振动的基本理论 第32页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四32 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 非周期函数的连续频谱函数f ( t )的傅氏积分公式f ( t )的傅氏变换 的傅氏逆变换 又称非周期函数f ( t )的频谱函数。频谱函数的值一般是复数。 连续频谱 f ( t )称为非周期函数 第33页，共36页，2022年，5月20日，3点3分，星期四33 返回首页Theory of Vibration with Applications 1.4 非周期函