胡不归最值问题

1、课题：利用三角函数解决最值问题一、教学内容分析：本节课以数学史中的一个经典故事一一 “胡不归问题”为载体开 展对“最短路径问题”的研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的 线段和最小问题，再利用正弦函数将线段和最小问题转化为 “直线外 一点到直线垂线段最短”的问题.二、教学目标：1,能利用垂线段最短解决最短路径问题；.在解题过程能总结出解题方法，能进行一定的延伸；.体会“正弦函数”的桥梁作用，感悟转化的数学思想 .三、教学重点难点：重点：利用正弦函数将 PA+k- PB问题转化为“直线外一点到直线垂 线段最短”问题.难点：如何找到合理的角将k PB转化为另一线段.四、教学过程：1.【温故知新】问

2、题：AB AC有什么数量关系？若/ B不变，移动点C位置，关系改变吗?设计意图：通过三个图形分析，让学生意识到角固定，它的正弦值就固定，对边和斜边关系就是固定，为后面学习做好准备 .2.【数学问题】如图，点A是/MOW卜部定点，点P是OMk动点，过P作PBXON，如何确定点P位置使得PA+ PB最小？分析：直线外一点到直线所有连线垂线段最短.（作法如下图）变式1:如图，点A在/MO阱部，点P是OM动点,/MON=30,如何确定点P位置使得PA+ 1/2OP最小？分析：过 P 作 POL ON,则 PQ=1/2OP 那么 PA+ 1/2OP =PA PQ.利用30正弦将1/2OP转化为PQ再利用

3、垂线段最短确定点 P.变式2:点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如何 确定P点位置，使得 PB+ 1/2PA最小?分析：构造30角，再利用30正弦将1/2PA转化为PQ再利用垂线段最短确定点P.(如下图)变式3:点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如何 确定P点位置，使得2PA+4PB最小?点拨：转化为2PA+4PB= 4 (PB+ 1/2PA),变成前一问题.变式4.:点P是射线AC上一动点，点B是射线AC外一点，如何确定P点位置，使得1/4PA+1/2PB最小？点拨：1/4PA+ 1/2PB=1/2 (PB+ 1/2PA)，转化为前一问题.【反思】确定P位置的关键是什

4、么？利用正弦构造 1/2PA线段.一般地：先将问题转化为 PB+k PA,在PB另一侧构造角？，使 得sin ? =k.化折为直，利用垂线段最短.设计意图：通过一组变式训练，体会这一类问题处理策略，发现 总结规律.三、【模型由来】历史故事：一个身在他乡的小伙子得知父亲病危后日夜赶路回家。 然而当他气喘吁吁地来到父亲面前时，老人刚刚咽气了 .人们告诉他， 在临终之际，老人还在不断的念叨：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线(如下图)A是出发地，B是目的地，BC是一条驿道，而驿道靠目的 地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了直线段 AB.他忽略了在驿

5、道上行走要比在砂土行走快的这一因素 .如果能选合适的路线（这条路线长一些，但速度可以加快），是 可以提前抵达家门的.那么这应该是哪条路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”数学语言表达就是：“已知在驿道和砂地上行走的速度分别为V1 、V2,且V1 =2V2,在BC上求点D,使得内B的行走时间最短.”于是问题在于如何去找出D点.AD +BD ) vAD +BD ) vr 因1+二一V2 V1v2设计意图：通过历史典故，激发兴趣，体会数学在生活中应用和 将实际问题转化为数学问题的分析能力 四、【模型运用】如图已知A、B分别坐标轴上定点，且 AB=2, /BAO=15 , P为y轴上动点。则 PB+ 1/2PA最小值=.提示:设计意图：习题设置让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.五、【拓展思维】已知，正方形ABCDi提示:设计意图：习题设置让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.五、【拓展思维】已知，正方形ABCDi长为2, P是对角线BD上动点，贝U PA+PB+PC变式：PB+，2/2PA最小值=最小值=思路1:旋转利用两点之间线段最短；思路2:利用胡不归模型，点线垂线段最短解决问题六、【课堂小结】.本节课学了将实际问题抽象成数学模型，用数学知识解决实际问题;.利用正弦函数将PB+k- PA转化为两条线段，利用垂线段最短解决问题；.转化思想