错位相减法求和附

1、(圆满版)错位相减法求和附答案(圆满版)错位相减法求和附答案15/15(圆满版)错位相减法求和附答案错位相减法求和专项错位相减法求和适用于anbn型数列，其中an,bn分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意：项的对应需正确；相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项；若等比数列部分的公比为常数，要议论可否为11.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前项和，求分析察看专题：2.1，2.2，3.1，6.1；难度：一般答案（）由于二次函数的图象经过坐标原点，则设，又点均在函数的图象上，当时，又，适合上式，（7分）

2、（）由（）知，第1页共15页，上面两式相减得：整理得（14分）2.已知数列的各项均为正数，是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）的值.答案查察分析分析（1）当n=1时，解出a1=3,又4Sn=an2+2an3当时4sn1=+2an-13,即，,第2页共15页（），是以3为首项，2为公差的等差数列，6分（2）又=分3（.2013年四川成都市高新区高三4月月考，19,12分）设函数，数列前项和，数列，满足.（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，数列的前项和为，证明：.答案(由)，得是认为公比的等比数列，故.（）由，得第3页共15页，记+，用错位相减法可求得：.（注：此题用到了不等

3、式：进行放大.）4.已知等差数列中，；是与的等比中项（）求数列的通项公式：（）若求数列的前项和分析（）由于数列是等差数列，是与的等比中项因此，又由于，设公差为，则，因此，解得或，当时,，；当时，.因此或.（6分)（）由于，因此，因此，第4页共15页因此，因此两式相减得，因此.（13分）5.已知数列的前和，等差数列中，且公差.（）求数列、的通公式；（）可否存在正整数，使得若存在，求出的最小，若不存在，明原由.分析（），相减得：，又，数列是以1首，3公比的等比数列，.又，.（6分）（）令第5页共15页得：，即，当，当。的最小正整数为4.（12分）6.数列满足，等比数列满足.（）求数列，的通项公式；

4、（）设，求数列的前项和.分析（）由，因此数列是等差数列，又，因此，由，因此，因此，即，因此.（6分)（）由于，因此，则，因此，两式相减的，因此.(12分）第6页共15页7.已知数列满足，其中为数列的前项和(求)的通项公式；(若)数列满足：()，求的前项和公式.分析)，得，又时，.（5分）()，两式相减得，.（13分）8.设d为非零实数,an=d+22dn-1n*d+(n-1)+nd(nN).()写出a,a,a并判断a可否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明原由;123n()设b*的前n项和S.nnnn答案(由)已知可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2.第7页共15页当n2

5、,k1时,=,因此an=.因此可知,当d-1时,an是以d为首项,d+1为公比的等比数列;当d=-1时,a1=-1,an=0(n2)此,时an不是等比数列.(7分)()由()可知,an=d(d+1)n-1,从而bn=nd2(d+1)n-1,n22n-2n-1+(n-1)(d+1)+n(d+1).S=d1+2(d+1)+3(d+1)当d=-1时,Sn=d2=1.当d-1时,式两边同乘d+1得(d+1)Sn=d2(d+1)+2(d+1)2+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n.,式相减可得-dSn=d21+(d+1)+(d+1)2+(d+1)n-1-n(d+1)n=d2.化简即得Sn=(d+

6、1)n(nd-1)+1.综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1.(12分)9.已知数列an满足a1=0,a2=2,且对任意*都有a2.m,nN2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)()求a,a;35()设b=a-a*证明:b是等差数列;n2n+12n-1n()设cn=(an+1-an)qn-1(q0,n*N),求数列cn的前n项和Sn.答案(由)题意,令m=2,n=1可得a=2a-a+2=6.321再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.(2分)第8页共15页*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+32n-12n+1()证明:当nN+a=2a+8.于是a2(n+1)

7、+1-a-(a2n+1-a)=8,即bn+1-b=8.2(n+1)-12n-1n因此,数列bn是公差为8的等差数列.(5分)()由()、()的解答可知bn是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.另由已知(令m=1)可得,an=-(n-1)2.那么,an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.于是,cn=2nqn-1.当q=1时,Sn=2+4+6+2n=n(n+1).012n-1当q1时,Sn=2q+4q+6q+2nq.两边同乘q可得123n-1nqSn=2q+4q+6q+2(n-1)q+2nq.上述两式相减即得(1-q)S=2(1

8、+q12n-1)-2nqn=2n,n因此Sn=2.综上所述,Sn=(12分)10.已知数列an是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列an的前n项和.答案(1)设数列an的公差为d(d0),第9页共15页由条件可知:(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得d=2.(4分)故数列an的通项公式为*分)an=2n(nN).(62n(2)由(1)知an=2n3,设数列an的前n项和为Sn,2462n则Sn=23+43+63+2n3,2462n2n+23Sn=23+43+(2n-2)3+2n3,故-8Sn=2(32462n2n+2,(

9、8分)+3+3+3)-2n3因此数列an的前n项和Sn=.(12分)11.已知等差数列满足又数列中,且.(1)求数列,的通项公式;(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;(3)若对所有正整数恒成立，求实数的取值范围.答案(1)设等差数列的公差为,则有解得，第10页共15页，数列是以首,公比的等比数列.4分(2)由(1)可得，得，分10(3)，当,取最小,，即，第11页共15页当时，恒成立；当时，由，解得,即实数的取值范围是.分1412.设为数列的前项和，对任意的，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和答案188.（1）当时，解得当时，即又为常数，且，第12页共15页数列是首1，公比的等比数列4分（2）由（1）得，是首，公差1的等差数列，（）9分（3）由（2）知，得，第13页共15页分1413.设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(求)数列an的通项公式;*(设)数列bn的前n项和为Tn,且Tn+=(为常数),令cn=b2n(nN),求数列cn的前n项和Rn.答案(设)等差数列an的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1得解得a1=1,d=2.*因此an=2n-1,n