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文档简介

1、第四节 矩、协方差矩阵原点矩 中心矩协方差矩阵n 元正态分布的概率密度1一、 原点矩 中心矩定义 设X和Y是随机变量，若 存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩. 存在，称它为X的k阶中心矩.可见，均值 E(X)是X一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩。2协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩.若存在，称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩. 设 X 和 Y 是随机变量，若 k,L=1,2,存在，可见，3二、协方差矩阵将二维随机变量（X1,X2）的四个二阶中心矩排成矩阵的形式:称此矩阵为（X1,X2）的协方差矩阵.这是一个非负

2、定对称矩阵4 类似定义n 维随机变量(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.为(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵。都存在,( i, j=1,2,n )若矩阵称5三、n 元正态分布的概率密度f (x1,x2, ,xn)则称 X 服从 n 元正态分布.其中C是(X1,X2, ,Xn) 的协方差矩阵.|C|是它的行列式， 表示C的逆矩阵，X 和 是 n 维列向量， 表示X 的转置. 设 =(X1,X2, ,Xn)是一个n维随机向量,若它的概率密度为6n元正态分布的几条重要性质1. X=(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服从正态分布.对一切不全为0

3、的实数 a1,a2,an， 由此得到，n维正态变量(X1,X2, ,Xn)的每一个分量Xi都是正态随机变量；反之，若每个分量Xi都是正态随机变量，且它们相互独立，则(X1,X2, ,Xn)是n维正态变量。7若 X=(X1, X2 , , Xn) 服从 n 元正态分布， Y1,Y2, ，Yk是Xj（j=1,2,n）的线性函数，则 (Y1,Y2, ，Yk) 也服从多元正态分布.2. 正态变量的线性变换不变性. 3. 设(X1,X2, ,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2, ,Xn相互独立”等价于“X1,X2, ,Xn两两不相关”8 例 设随机变量X和Y相互独立且XN(1,2), YN(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度.故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线性组合是正态分布.解: XN(1,2),YN(0,1)，且 X 与Y 独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 ZN(E(Z), D(Z)9故 Z 的概率密度是ZN(5, 32) 例 设随机变量X,Y独立,均服从正态分布 令U=aX+bY, V=aX-bY,问常数a,b满足什么条件时随机变量U,V相互独立？10四、小结 在这一节中我们学习了随机变量的原点矩和中心矩以及协方差矩阵 . 一般地

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