极限与连续教案

1、 -TCOSX-例如：）=,1x2y=y=ln（x+、：4x-3）1+x2二、基本初等函数（见课本p5）定义由五类基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合所构成的，并可用一个解析式表示的函数称为初等函数幂函数：y=M（四是常数）；指数函数：y=（a是常数，且a0,aWl）；对数函数：（a是常数，且a0,aWl）；三角函数：y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx；反三角函数：正弦函数丫=5*在区间-上的反函数称为反正弦函数，记为y=arcsinx.余弦函数丫=。$*在区间0,上的反函数称为反余弦函数，记为y=arccosx.正切函数丫=1an乂

2、在区间（-）上的反函数称为反正切函数，记为y=arctanx.余切函数丫=。1乂在区间（0,）上的反函数称为反余切函数，记y=arccotx.以上这五类函数统称为基本初等函数.由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所产生的函数，称为初等函数附：初等函数图像1.1.2函数极限的概念.当-8时，函数y=f(x)的极限定义1.4如果x无限增大(即x-8时)，函数f(x)的值无限接近一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当X8时的极限，记作limf(x)=A或者当x8时，f(x)-Ax-8.当x-X0时，函数y=f(x)的极限定义如果x-X0(不要求x=X0)，函数f(x)的值无限接近于一

3、个确定的常数A,则称A为函数f(x)当xx时的极限，记作limf(x)=A或者f(x0)=A0 x-x00当xx时,x即可以从x点的左侧无限接近于x(记为xx-0或0000 xx+).0如果xx0-时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的左极限，记作limf(x)=A或者f(x-0)=A0 xx0-如果xx0+时，函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,则称A为函数f(x)当时的右极限，记作limf(x)=A或者f(x0+0)=Axx0+显然，当limf(x)=lim=A时，有limf(x)=A，反之亦然.xx0-xx0+xx0 x2-1例5讨论函数f(x

4、)=-当x1时的极限x+1由图1.5可知,当x2由图1.5可知,当解:因为函数的定义域为x-1,所以于(x)=E=x-1f(-1-0)=lim=lim(x-1)=-2x-1时,寅乂的左、右极限依次为:x-1-0 x+1x-1时,寅乂的左、右极限依次为:x2-1f-1+0)=lim=lim(x-1)=-2x-1+0 x+1x-1+0 x2-1因此可见，当x-1时，f(x)的左、右极限存在并且相等，所以lim-=-2x-1x+1图1.5例4讨论函数f(x)=当x0时的极限。解由图1.4可知，当XT0时，f(x)的左右极限依次为：f(00)=limf(x)=lim(X+1)=1X-0-X-0一f(0

5、+0)=limf(x)=lim(X+1)=-1X0+X0+因此可见，当X0时，f(x)的左、右极限存在但不相等，所以，当X0时，函数f(X)的极限不存在。安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.2极限的运算学时（单元）4授课时间2010.3.15-3.28授课地点1302授课班级09药品质量检测专业09级1-3班教学目标与要求.掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的方法（4种）.掌握用两个重要极限求一些极限教学设计教学内容、步骤及时间分配.极限运算法则(20)设limf(x)=A，limg(x)=B则有以下法则xfx0 xfx0法则1limf(x)g(x)=limf(x)+limg(x)=ABxf

6、x0 x-x0 xfx0法则2limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=ABxfx0 x-x0 xfx0、rf(x)Llimf(x)_A,“八、法贝U311m11xx0-(B丰0)xf0Lg(x)limg(x)Bxfx0.极限的方法(4种)举例(80)1)直接法2)约分法3)分子分母同除最高次幂法4)因式有理化法.两个重要极限limSnx=1lim(1+)x=e(100)x-0 xxTSx教学重难点.极限的四则运算法则.两个重要极限教学方法讲授、启示、探讨教具准备黑板、多媒体参考资料高等数学同济出版高等数学合工大版医用高等数学人民卫生出版社复习思考题课本p12课后小结1.2极限的运

7、算一、极限的运算法则设limf(x)=A,limg(x)=B则有以下法则法则1limf(x)g(x)=limf(x)+limg(x)=ABX-X0法则2limf(x)g(x)X-X0=limf(x)limg(x)=AB法则3limX-X0limf(X)AX-X0=-(B丰0)limg(x)BX-X0特别地若g(X)=C贝ulimcf(x)=climf(x)=cA二、极限计算方法一)直接法例1.求lim(3x2-2x+1)X-1解：lim(3x2-2x+1)=lim3x2-2limx+1=3-2+1=2X-1X-12x3+1例2.limx-23-x2x3+1解：limq_x-23-xlim2x3

8、+1-X3=17lim3-xx-2)约分法x2-9例3.limx-3x-3解：因为lim(x-3)=0,所以不能直接用法则3,在X-3的过程中，由于X丰3即x-3X-3丰0，因而在分式中可约去非零因子即x2-9limx2-9lim(x-3)(x+3)lim=x-3=x13.=lim(x+3)=6TOC o 1-5 h zx-3x-3limx-3lim(x-3)x-3x13x1311 HYPERLINK l bookmark94 练习：lim(-)x111-x1-x3三)分子分母同除最高次幂法例4.求下列极限limXlimX-2x2+x3X2+2x-1解：当X18时，分子、分母都趋向于确定地常数

9、，不能直接利用法则3,此时可除以分子、分母的最高次幂2,再求极限即+TOC o 1-5 h z2X2+x丫limX-8 HYPERLINK l bookmark144 =limXlimX-83X2+2X-1X-831十一-（2X-3）20（3X十2）30练习：X-m（2X+1）50四）因式有理化法通过对根式的有理化，进行约分，化简X+Ax-%：X例5.limAX-0AX解：对分子乘以有理化因子%-%+Ax-%导则原式=limAX-0（x+Ax-X）（%:X十Ax十、:X）Ax（%；x十Ax十、X）limAX-011Xx+Ax+Jx2y：xx十11练习：lim（1/2）x-0 x1.2.2两个重

10、要极限sinx1.极限lim=1（注意x-0）x-0 x该性质只需要记性，掌握起应用即可sin2x例6.求limx-03x解：很显然本题利用上面的性质来解题的。sin2X2sin2X2原式=lim=_lim二一x-o2x.33x-o2x32通式：limX-0sinaXbbXatanx通式：limX-0sinaXbbXatanx例7.limx-0 x1sinx1解：原式=lim-=limx-0 xcosx1-cosx例8.limx-0 x2X-0cosXsinXlim=1X-0X2sin2解：原式=lim2x-0 x21rlim2X-02xsin2X221=2例9.limxsin.Jsm解：原式

11、=limx=11X0 x2.极限一2.极限一Y1lim(1+_)x=e例10.1lim(1+_)2xX8解：原式=l1m(1+解：原式=l1m(1+x81lim(1+_)x_X8例11.lim(1+2)xX8解：原式二一Y1解：原式二一Y1lim(1+)Xlim(1+-)X-8a通式lim(1+一)bx=eabX8例12.lim(X82X1、x+3X)22x+1原式加(1X83X+一lim(1+X8=lim(1+X8=lim(1+2x+122x+11)2)2x1122x+1lim(1+X82x+1)21X8练习：lim(X8安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.3无穷小与无穷大学时（单元）2授

12、课时间2010.3.29-4.4授课地点1302授课班级药品质量检测专业09级1-3班教学目标与要求.了解无穷小与无穷大的概念.掌握无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系，无穷小量的比较关系教学设计.通过实例引出无穷小的定义（5）.无穷小的性质以及与函数的关系（20）.无穷小之间的比较（50）.无穷大的定义及和无穷小的关系（25）教学重难点.无穷小的性质.函数与无穷小的关系、无穷小比较、无穷小与无穷大关系教学方法讲授、启示、探讨教具准备黑板、多媒体参考资料高等数学同济出版高等数学合工大版医用高等数学人民卫生出版社复习思考题一课本P17习题1、（9）课后小结1.3无穷小与无穷大在实际问题中,常会

13、遇到以零为极限的变量.例如把石子投入水中,水波的四面传开.她的振幅随时间增大而逐渐减小并趋向于零,又如电容器放电时,其电压随时间增加而逐渐减小并趋向于零;另外若f(x)=x-1，当X趋向于1时,f(x)无限趋近于零，这样就引出无穷小的定义.1.无穷小的定义:定义1:如果xfx0(或xT8)时，函数f(x)的极限为零;那么把f(x)叫做当xfx0(或xT9)时的无穷小.注意:无穷小是个变量,不能将其与很小的常数相混淆,在所有常数中零是惟一可以看作无穷小的数.l1m=0 xfx0例:x2.sinx与1_c0sx都是当xf0时的无穷小量.4厂x是当xfl-1时的无穷小量sinxx2.为xf9时的无穷

14、小量无穷小量与自变量的变化过程有关当xfx0时,f(x)是无穷小.当xfx1(x丰x0)时f(x)不一定还是无穷小.无穷小的性质:(1)两个(相同类型)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量(2)无穷小量与有界函数的乘积为无穷小量i1如：sinx是当xf9时的有界量，sinT是当xf0时的有界量x1例1求lim4sinx)xf9x解:当xf9时，-是无穷小,sinx极限不存在，但sinx是有界函数，根据无穷小性质可知:x1lim(sinx)=0 xf9x例211mQx2+1+1x2-1)sinx(利用无穷小性质求)性质2xf9.函数极限与无穷小的关系由11mf(x)=A表示xTx0当时，函数f(x)

15、趋近于常数A显然f(x)趋近于A,即等同于xTx0f(x)-A趋近于零，当xx0时，变量f(x)-A是无穷小.那么无穷小与极限之间存在如下联系:定理1:具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小和.反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限,下面就xx0时情形加下注明:11mf(x)=A则a=f(x)-A即xTx0lima=limf(x)-A=limf(x)-limA=A-A=0 xxxx0 xx0一x0一x0就是说a是当xx0时的无穷小.无穷小的比较在自变量的同一变化过程中的两个无穷小,虽然同时都趋向于零,但他们趋向于零的快慢程度有时却不一样.定义:设当xTx0(或xT8

16、)时，0、B定义:设当0lim1)如果Bx0lim1)如果BxTx0=0则称0是比B较高价的无穷小.0lim_2)如果BxTx0=8则称0是比B较低价的无穷小.0lim3)如果BxTx0=C(常数c中0)则称0和B是同阶无穷小.例：当xT0例：当xT0时，x、3x、都是无穷小.x3lim-=limx2=0所以当x-0时，x3是x较高阶的无穷小;由于xT0 xxT03xlim_=3x0 x所以当x-0,3x与x是同阶的无穷小.特别的=1时，称0和B为等价无穷小当x0，常见等价无穷小有:sinxx1-cosxln(1+sinxx1-cosxln(1+x)xarcsinxarctanxxP8(6)P

17、8(6)lim24xf02arcsinx3x*解：由等价无穷小arcsinxx可知2x2lim原式=Ay=2xf0Jx，川二、无穷大.无穷大的定义定义3:当xTx0(或xfs)时，如果函数f(x)的绝对值无限增大.那么把f(x)叫做当xfx0(或xfS)时的无穷大.注意:无穷大是指绝对值无限增大的变量.不能将其与很大的常数混淆(常数不是无穷大).无穷小与无穷大的关系1定理2:在自变量的同义变化过程中，若f(x)为无穷大，则K)为无穷小.反之，若f(x)为无穷1小，/(x)丰0则y(x)为无穷大.下面利用无穷小与无穷大的关系来求一些函数的极限lim例2:求xf1lix解:分析:当xfL分母x-1

18、的极限为0,所以不能用法则了，但有lim-x-1=0TOC o 1-5 h zxflx1 HYPERLINK l bookmark62 x-1x-1x_即是xf1时的无穷小，则它的导数是xf1时的无穷大,即limx-1二8xxxf1x-L例3:求解:分析当x_8时11mx2、lim3x都不存在,所以不能应用法则1、2但因为xf8xf81limi=limx_-0丫4s1x_8x2-3x+2x_81_3+2即当x_8时,x23x+2是无穷小,所以xx2它的倒数x2-3x+2是无穷大，即11m(x2-3x+2)=8xf82X3-x2+5例4:求1mx2+7Xf8X+/解:分析:当X-8时，分子、分母

19、的极限都不存在，所以不能用法则317_+11mX-8=11mX-8=11mX82-1+211mX11mX8X2+72X3-X2+5归纳aXm+aX归纳aXm+aXm-1+1im_0iX-8bXn+bXn-1+01m=n00mn8mn+am.+bna安徽中医药高等专科学校教案课程题目1.4函数的连续性学时（单元）2授课时间2010.4.5-4.11授课地点1302授课班级药9品质量检测专业09级1-3班教学目标与要求了解函数连续性定义会求连续区间了解函数间断的概念了解闭区间上的连续函数的几个性质，掌握初等函数在其区间内连续的性质，教学设计.函数连续性的概念1）函数的增量（10）2）函数在点0处的

20、连续性（40）3）函数在区间上的连续性（10）.复合函数的连续性（20）.区间上的连续函数性质（20）教学重难点函数连续性的判断教学方法讲授教具准备黑板参考资料高等数学同济出版高等数学合工大版复习思考题课本练习,复习题课后小结1.4函数连续性在我们日常生活中有许多现象,如气温的变化,植物的增长,空气的流动等都是连续不断地运动和变化的.那么这些现象反映在数学上就是函数的连续性.下面就学习函数的连续性首先介绍函数增量的概念.1.函数的增量(或改变量)设函数y=f(x)在及其左右近旁有定义，当x由x0(初值)变化到(终值)时，终值与初值之差X1-x0叫做自变量的增量(或改变量)记作：y=f(x-x)

21、-f(x)几何上，函数的增量表示当自变量从x0到x0+X时，曲线上对应点的纵坐标的增量.(如图)应当注意，增量记号x0是不可分割的整体，增量产、J可正可负，增量J可正可负或为零.例1:设y=f(x)=3x2-1，求适合下列条件中的增量x和jTOC o 1-5 h z当x由1变化至I1.5时卜卜!(2)当x由1变化到0.5时UUU(3)当x由1变化到1+x时(卜解：(1),=1.5-1=0.5Uy=/(1.5)-f(1)=(3*1.52-1)-(3*12-1)=3.75(2)ju=1.5-1=0.5)山二于(0.5)-f(1)=(3*0.52-1)-(3*12-1)=-2.25K)。)IX=(1

22、+X)-1=%2函数的连续性定义1.7设函数2函数的连续性定义1.7设函数y=f(x)在点x0及其左右近旁有定义，如果当自变量产在x0处增量x趋近于零时，函数y=f(x)相应的增量y=f(%+x)-/(x0)也趋近于零，即有limy=lim(x+%)/(%)=limy=lim(x+%)/(%)=O,那么就称函数y=f(x)在点x0处连续，点x0处连续，点x称作函数y=f(x)的连续点.UU0由定义1.7知,要证明函数y=f(x)在点x0处连续，只需证明:函数y=f(x)在点。处及其近旁有定义;当x-0时,有y-0.例2证明函数y=2+1在点x=1处连续.证明：(1)因A为函数的定义域为(巩+8

23、),所以y=2+1在x=1时，y=f(l+x)-/(1)=2x+(x”因为limy=lim2x+(x)2=0 x0 x0I.I所也由定义1.7知，函数y=娟+1在点x=1处连续.在定义1.7中,，若令=&0+5,则y=ff(-f(。),当x-o时,有y0,亦-0时,有f()f(0).因此，又有如下定义.定义1.8设函数y=f(x)在点&处连续必须满足的三个条件:上(1)函数y=f(x)在点0及其近旁有定义；(2)函数丫=/)在-0时的极限值存在；(3)函数丫=/)在0时的极限值等于在二0处的函数值，即有limf()=f()-00上述三个条件中只要有一个条件不满足,则函数y=f(x)在点的处不连

24、续，此时，称点为函00数y=f(x)的不连续点或间断点.X+4-20例3设函数f(X)=x*在X=0处连续，则m=(1/4)mX=03.函数在区间上的连续性如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续，则称函数f(x)在(a,b)内连续;区间(a,b)叫做函数的连续区间.如果函数f(x)在(a,b)内连续，且在右端点b处左端点a,处右；连续，即有limf(x)=f(b),limf(x)=f(a)，则函数f(x)在闭区间a,b上连续.X-b-0X-a+0连续函数的图像在其定义域区间内是一条连绵不间断的曲线.Ix,0 x1例4讨论函数f(X)=一/。点x=1处的连续性.1,1Vx3解因为limf(x)=limx=lim1=1,limf(x)=lim1=1所以limf(x)存在,x-10 x-10 x-10 xf1+0 x-1+0 x-1且有limf(x)=1=f(1)因此函数f(x)在x=1处连续.x-1Ix,x1例5讨论函数f(x)=1/。在点x=-1处的连续性1,-1x3解因为limf(x)=limx=-1,limf(x)=lim1=1所以limf(x)不存在，因此，函x-10 x-10 x-1+0 x-1+0 x-1数g)在x=-1处不连续,x=-1是函数f(x)