千校联盟2022年高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某校1000名学生中, 型血有400人, 型血有250人, 型血有250人, 型血有100人,为了研究血型与色弱

2、的关系,要从中抽取一个容量为60人的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则型血、型血、型血、型血的人要分别抽的人数为（ ）A24,15,15,6B21,15,15,9C20,18,18,4D20,12,12,62设函数，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）ABCD3用数学归纳法证明（，）时，第一步应验证（ ）ABCD4已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（ ）ABCD以上都不对5设函数满足：，则时，（ ）A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值，又有极小值D既无极大值，又无极小值6有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点,因为函数满足，所以是

3、函数的极值点”，结论以上推理A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D没有错误7我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）ABCD8是单调函数,对任意都有，则的值为（ ）ABCD9已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）A0.6826B0.1587C0.1588D0.341310在直角坐标系中，一个质点从出发沿图中路线依次经过，按此规律一直运动下

4、去，则（ ）A1006B1007C1008D100911执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的结果是（ ）ABCD12点是椭圆上的一个动点,则的最大值为( )ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则的解析式为_.14若的展开式中含项的系数为，则_15求曲线在点处的切线方程是_.16如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）若在为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，函数在的最小值为，求的值域18（12分）如图所示的几何，底为菱形，.平面底面，.（1）证明：平

5、面平面；（2）求二面角的正弦值.19（12分）某轮胎集团有限公司生产的轮胎的宽度 (单位: )服从正态分布,公司规定:轮胎宽度不在内将被退回生产部重新生产.(1)求此轮胎不被退回的概率(结果精确到)；(2)现在该公司有一批轮胎需要进行初步质检,检验方案是从这批轮胎中任取件作检验,这件产品中至少有件不被退回生产部,则称这批轮胎初步质检合格.()求这批轮胎初步质检合格的概率;()若质检部连续质检了批轮胎,记为这批轮胎中初步质检合格的批数,求的数学期望.附:若,则.20（12分）如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC,PA平面ABCD，且PA=AB=2，AC=1，点E是PD的中

6、点 （1）求证：PB平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大小21（12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知证明：；若的面积，且的周长为10，为的中点，求线段的长22（10分）已知函数（1）求函数的最小值；（2）当时，记函数的所有单调递增区间的长度为，所有单调递减区间的长度为，证明：（注：区间长度指该区间在轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关）参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等可得出每种血型的人所抽的人数.【详解】根据分层抽样的特点可知，型血的人要抽取的人数为，型

7、血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，型血的人要抽取的人数为，故答案为A.【点睛】本题考查分层抽样，考查分层抽样中每层样本容量，解题时要充分利用分层抽样中各层抽样比与总体抽样比相等来计算，考查计算能力，属于基础题2、C【解析】根据集合的定义可知为定义域，为值域；根据对数型复合函数定义域的要求可求得集合，结合对数型复合函数单调性可求得值域，即集合；根据图可知阴影部分表示，利用集合交并补运算可求得结果.【详解】的定义域为：，即： 在上单调递增，在上单调递减在上单调递增，在上单调递减；当时，；当时，的值域为： 图中阴影部分表示：又， 本题正确选项：【点睛】本题考查集合基本运算中的交并补混合运

8、算，关键是能够明确两个集合表示的含义分别为函数的定义域和值域，利用对数型复合函数的定义域要求和单调性可求得两个集合；涉及到图的读取等知识.3、B【解析】直接利用数学归纳法写出时左边的表达式即可【详解】解：用数学归纳法证明，时，第一步应验证时是否成立，即不等式为：；故选：【点睛】在数学归纳法中，第一步是论证时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误4、C【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。5、B【解析】首先构造函数，由已知得，从而有，令

9、，求得，这样可确定是增函数，由可得的正负，确定的单调性与极值【详解】，令，则，所以，令，则，即，当时，单调递增，而，所以当时，单调递减；当时，单调递增；故有极小值，无极大值，故选B.【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论6、A【解析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论【详解】对于可导函数f（x），如果f（x0）0，且满足当xx

10、0时和当xx0时的导函数值异号时，那么xx0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f（x0）0，那么xx0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，大前提错误，故选A【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论7、B【解析】根据三视图知该几何体是三棱锥与圆锥体的所得组合体，结合图中数据计算该组合体的体积即可【详解】解：根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的

11、体积为故选B【点睛】本题考查了简单组合体的体积计算问题，也考查了三视图转化为几何体直观图的应用问题，是基础题8、A【解析】令，根据对任意都有，对其求导，结合是单调函数，即可求得的解析式，从而可得答案.【详解】令，则，.是单调函数，即.故选A.【点睛】本题考查的知识点是函数的值，函数解析式的求法，其中解答的关键是求出抽象函数解析式，要注意对已知条件及未知条件的凑配思想的应用9、D【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值详解：机变量服从正态分布，.故选：D点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义

12、，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题10、D【解析】分析：由题意得，即，观察前八项，得到数列的规律，求出即可.详解：由直角坐标系可知，即，由此可知，数列中偶数项是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的项数除以2，则，每四个数中有一个负数，且为每组的第三个数，每组的第一个数为其组数，每组的第一个数和第三个数是互为相反数，因为，则，故选D.点睛：本题考查了归纳推理的问题，关键是找到规律，属于难题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数

13、的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11、B【解析】根据题意，运行程序可实现运算求值，从而得答案【详解】第一次执行程序，第二次执行程序，第三次执行程序，因为，满足条件，跳出循环，输出结果.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于容易题12、A【解析】设，由此，根据三角函数的有界性可得结果.【详解】椭圆方程为,设,则 (其中),故,的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档

14、题. 利用公式 可以求出:的周期;单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；值域；对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用换元法可求的解析式.【详解】令，则，故， 即，故答案为：.【点睛】本题考查了函数的解析式的求法，常用求法本题中均有体现，是一道基础题14、2.【解析】分析：首先利用二项展开式的通项，求得该二项展开式的通项，之后令幂指数等于5，求得r的值，再回代，令其等于80，求得参数的值.详解：展开式的通项为，令，解得，所以有，解得，故答案是2.点睛：该题考查的是有关根据二项展开式的特定项，确定

15、其参数的值的问题，需要熟练掌握二项展开式的通项，之后令幂指数等于相应的数，求得结果即可.15、【解析】因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即所求切线方程为，即.16、【解析】以为底面，则易知三棱锥的高为1，故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、 (1) .(2) .【解析】分析：（1）原问题等价于在上恒成立，据此可得实数的取值范围是；（2）由函数的解析式二次求导可得在上是增函数，则存在唯一实数，使得，据此可得的最小值构造函数，讨论可得其值域为.详解：（1）在上恒成立，设则在为增函数，.（2），可得在上是增函数，又，则存在唯一实数，使得即,则有在上递减；在上递

16、增；故当时，有最小值则的最小值，又，令，求导得，故在上递增，而，故可等价转化为,故求的最小值的值域，可转化为：求在上的值域.易得在上为减函数，则其值域为.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用18、（1

17、）证明见解析；（2）【解析】（1）推导出，从而平面，进而.再由，得平面，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；（2）取中点G，从而平面，以、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】解：（1）由题意可知，又因为平面底面，所以平面，从而.因为，所以平面，易得，所以，故.又，所以平面.又平面，所以平面平面；（2）取中点G，相交于点O，连结，易证平面，故、两两垂直，以O为坐标原点，以、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.由（1）可得平面的法向量为.设平面的法向量为，则即令，得，所以.从而，故

18、二面角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19、（1）0.8（2）见解析【解析】分析：(1)根据轮胎的尺寸服从正态分布，根据正态曲线的对称性，结合题中所给的相应概率，利用公式求得结果；(2) ()根据题意可知抽检属于独立重复试，合格包括三件都不需要被退回和有一件需要退回，利用相应的公式求得结果；()根据题意，可知X服从二项分布，利用公式求得结果.详解：(1) ，. ，即此轮胎不被退回的概率为 (2)(i)这批轮胎初步质检合格的概率为 . (i i)由题可得服从二项分布，.点睛：该题考

19、查的是有关概率与统计的问题，在解题的过程中，需要明确正态分布的性质，利用正态曲线的对称性，利用相关的公式，结合题的条件求得结果；二是要明确抽检相当于独立重复试验，再者就是要明确该事件包括两种情况；三就是明确变量服从二项分布，利用公式求得结果.20、（1）见解析（2）135【解析】试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角试题解析：PA平面ABCD，AB，AC平面ABCD，PAAC，PAAB，且ACAB，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系（1）D(1,-2,0)，P(0,0AE=(12设平面AEC的法向量为n1=(x,y,z)，则12x-y+z=0又B(0,2,0)，所以PB=(0,2,-2)又PB平面AEC，因此，PB平面AEC（2）平面BAC的一个法向量为AP=(由（1）知，平面A