高中数学不等式知识点总结教师版

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高中数学不等式专题教师版高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（4）掌握简单不等式的解法（5）理解不等式a-ba+ba+b二、不 等 式 知识要点不等式的基本概念不等（等）号的定义：不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.同向不等式与异向不等式

2、.同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）3.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则： eq oac(,1)如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； eq oac(,2)如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. （当仅当a=b

3、=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）4.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均算术平均几何平均调和平均（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：（2）柯西不等式： （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例

4、一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,3)（4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式 eq oac(,1)应用分类讨论思想去绝对值； eq oac(,2)应用数形思想； eq oac(,3)应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 类似于，三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式当且仅当ab时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问

5、题。对于有些题目，可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。当且仅当，即x2时取等号。所以当x2时，的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才能得到定值。当且仅当，即时等号成立。评注：本题需

6、要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例3. 求的值域。解析：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当，即时（当且仅当x1时取“”号）。当，即时（当且仅当x3时取“”号）。的值域为。评注：分式函数求最值，通常化成，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用a2b代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、换元例5. 求函数的最大值。解析：变量代换

7、，令，则当t0时，y0当时，当且仅当，即时取等号。故。评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例6. 求函数的最大值。解析：注意到的和为定值。又，所以当且仅当，即时取等号。故。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练（教材回扣+考点分类+课堂内外+限时训练）：基本不等式一、选择题1若a0，b0，且ln(ab)0，则eq f(1,a)eq

8、 f(1,b)的最小值是()A.eq f(1,4) B1 C4 D8解析：由a0，b0，ln(ab)0，得eq blcrc (avs4alco1(ab1，,a0，,b0.)故eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ab,ab)eq f(1,ab)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)4.当且仅当abeq f(1,2)时，上式取等号. 答案：C2已知不等式(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2 B4 C9

9、 D16解析：(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(a,y)1eq f(x,y)aeq f(y,x)a.x0，y0，a0，1eq f(ax,y)eq f(y,x)a1a2eq r(a).由91a2eq r(a)，得a2eq r(a)80，(eq r(a)4)(eq r(a)2)0.a0，eq r(a)2，a4，a的最小值为4. 答案：B3已知函数f(x)lgeq blc(rc)(avs4alco1(5xf(4,5x)m)的值域为R，则m的取值范围是()A(4，) B4，)C(，4) D(，4解析：设g(x)5xeq f(4,5x)m，由题意g(x)的图像与x轴有交点

10、，而5xeq f(4,5x)4，故m4，故选D.答案：D4当点(x，y)在直线x3y20上移动时，表达式3x27y1的最小值为()A3 B5 C1 D7解析：方法一：由x3y20，得3yx2.3x27y13x33y13x3x213xeq f(9,3x)12 eq r(3xf(9,3x)17.当且仅当3xeq f(9,3x)，即3x3，即x1时取得等号方法二：3x27y13x33y12eq r(3x33y)12eq r(32)17. 答案：D5已知x0，y0，x2y2xy8，则x2y的最小值是()A3 B4 C.eq f(9,2) D.eq f(11,2)解析：2xyx(2y)eq blc(rc

11、)(avs4alco1(f(x2y,2)2，原式可化为(x2y)24(x2y)320.又x0，y0，x2y4.当x2，y1时取等号答案：B6(2013苍山调研)已知x0，y0，lg2xlg8ylg2，则eq f(1,x)eq f(1,3y)的最小值是()A2 B2eq r(2) C4 D2eq r(3)解析：由lg2xlg8ylg2，得lg2x3ylg2.x3y1，eq f(1,x)eq f(1,3y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(1,3y)(x3y)2eq f(x,3y)eq f(3y,x)4.答案：C二、填空题7设x、yR，且xy0，则eq blc(rc)(av

12、s4alco1(x2f(1,y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)4y2)的最小值为_解析：eq blc(rc)(avs4alco1(x2f(1,y2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x2)4y2)144x2y2eq f(1,x2y2)142eq r(4)9.当且仅当4x2y2eq f(1,x2y2)时等号成立，即|xy|eq f(r(2),2)时等号成立. 答案：98(2013台州调研)若实数a，b满足ab4ab10(a1)，则(a1)(b解析：ab4abbeq f(4a1,a1)，ab4ab1.(a1)(b2)ab2ab26a26aeq f(4a1

13、,a1)216aeq f(4a132,a1)16a8eq f(6,a1)16(a1)eq f(6,a1)15.a1，a10.原式6(a1)eq f(6,a1)152eq r(66)1527.当且仅当(a1)21，即a2时等号成立最小值为27. 答案：279(2013聊城质检)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：yeq f(920v,v23v1 600)(v0)，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v_千米/小时解析：v0，yeq f(920,vf(1 600,v)3)eq f(920,2 r(vf(1 600,v)3)eq

14、f(920,803)11.08，当且仅当veq f(1 600,v)，即v40千米/小时时取等号. 答案：40三、解答题10已知x0，y0，z0，且xyz1.求证：eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)36. 解析：x0，y0，z0，且xyz1，eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)(xyz)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)f(9,z)14eq blc(rc)(avs4alco1(f(y,x)f(4x,y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(z,x)f(9x,z)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4z,y)

15、f(9y,z)142 eq r(f(y,x)f(4x,y)2 eq r(f(z,x)f(9x,z)2eq r(f(4z,y)f(9y,z)14461236.当且仅当x2eq f(1,4)y2eq f(1,9)z2，即xeq f(1,6)，yeq f(1,3)，zeq f(1,2)时等号成立eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(9,z)36. 11某学校拟建一块周长为400 m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽解析：设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S m2

16、，则半圆的周长为eq f(y,2) m.操场周长为400 m，所以2x2eq f(y,2)400，即2xy400(0 x200,0yeq f(400,)Sxyeq f(1,2)(2x)(y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2xy,2)2eq f(20 000,).由eq blcrc (avs4alco1(2xy，,2xy400，)解得eq blcrc (avs4alco1(x100，,yf(200,).)当且仅当eq blcrc (avs4alco1(x100，,yf(200,)时等号成立即把矩形的长和宽分别设计为100 m和eq f(200,) m时，矩形区域面积最大12已知x，y都是正实数，且xy3xy50.(1)求xy的最小值；(2)求xy的最小值解析：(1)由xy3xy50，得xy53xy.2eq r(xy)5xy53xy.3xy2eq r(xy)50.(eq r(xy)1)(3eq r(xy)5)0.eq r(xy)eq f(5,3)，即xyeq f(25,9)，等号成立的条件是xy.此时xyeq f(5,3)，故xy的最小值是eq f(25,9).(2)