随机过程习题答案

1、随机过程部分习题答案习题 2 2.1 设随机过程XtVtb,t0 ,b为常数,V N0 1, ,求Xt的一维概率密度、 均值和相关函数；解 因 V N 1,0 ,所以 EV 0 DV 1,X t Vt b 也听从正态分布,E X t E Vt b tEV b b2 2D X t D Vt b t DV t所以 X t N b , 2t ,X t 的一维概率密度为 x b 2f x ; t 1 e 2 t 2, x , ,t 0 , 2 t均值函数 mX t E X t b相关函数 RX s , t E X s X t E Vs b Vt b 2 2E stV bsV btV b 2st bYt

2、2.2 设随机变量 Y 具有概率密度 f y ,令 X t e,t 0 Y 0,求随机过程 X t 的一维概率密度及 EX t , R X t 1t 2 ；解 对于任意 t 0,X t e Yt是随机变量 Y 的函数是随机变量,依据随机变量函数的分布的求法,Y tF x ; t P X t x P e x P Yt ln x ln x ln x ln xP Y 1 P Y 1 F Y t t t对 x 求导得 X t 的一维概率密度f x ; t f Y ln x 1,t 0t xt均值函数 m X t E X t E e Y t 0 e ytf y dy相关函数R Xt 1,t2E Xt 1

3、Xt2E eYt1eYt2E eYt1t20eyt1t2fy dy1 2.3 如从t0开头每隔1秒抛掷一枚均匀的硬币做试验,定义随机过程2 142X tcost,t 时刻抛得正面2 t,t 时刻抛得反面试求：（ 1）Xt的一维分布函数F1,x 和F ,1x ；2（2）Xt的二维分布函数F1;1,x 1x2；2（3）Xt的均值mX t,mX1 ,方差2 Xt,2 1 ；X解 （1）t1时,X1的分布列为22X10 1 2P 11220 ,x0一维分布函数F1,x 1,0 x122,1x1t1时,X 1 的分布列为X1 -1 2 P 1122,0 x1一维分布函数F ,1x1,1x22,1x2（2

4、）由于X1与 X1 相互独立,所以X1,X 1 的分布列为22X 1 -1 X 1/2 0 142 1 1121440,x 10 或x2二维分布函数F1;1,x 1,x 21,0 x 1,11x2421,0 x 1,1x22或x 11 ,1x22221 ,x 11 ,x2（3）mXt1cost12t1costt22212t21 2costt2mX 1 122tEX2tEXt21cos2tX221cos2t2 t21cos2tt2tcost241cos2tt2tcost41costt222 1 9X为常数,A,B是相互独立且听从正态分布42.4 设有随机过程XtAcostBsint,其中N0,2

5、的随机变量,求随机过程的均值和相关函数；解 因A,B独立,AN0,2,BN0 ,2所以,EAEB0,DA DB2均值mXtEXtE AcostBsintcostEAsintEB0相关函数RXt1,t2EXt1Xt2EAcostt12Bsint1Acost2Bsint21EA2cost1cost2B2sint1sin2ABcost1sint2ABcost2sintcost1cost2EA2sint1sint2EB2cost1cost2sint1sint23 2cost1t2t为 普 通 函 数 , 令2.5 已 知 随 机 过 程Xt的 均 值 函 数mXt和 协 方 差 函 数B Xt1,t2

6、,YtXtt,求随机过程Yt均值和协方差函数；tt解均值m YtEYtE XttEXttmX协方差CYt1,t2R Yt1,t2m Yt1m Yt2mXt2t2E Yt1Yt2m Yt1m Yt2EXt1t1Xt2t2mX t1t1E X t1Xt2mXt1mXt2其它项都约掉了上听从均匀分布,令R Xt1,t2mXt1mXt2C Xt1t22.6 设随机过程X tAsint,其中A ,是常数,在,YtX2 t,求RY t和RXY t；cos2t22解RYt,tE YtY tEX2tX2tEA2sin2tA2sin2tA2E 1cos 2t2 1cos2t224A2E1cos2t2cos 2t

7、22cos2t24而E cos 2t21cos 2t2d1sin2t2024同理Ecos2t220利用三角积化和差公式Ecos 2t2cos2tt221Ecos 2cos 42424 1cos 222所以,RY t , t A 1 1 cos 2 4 2RXY t , t E X t Y t E X t X 2 t 2 2E A sin t A sin t 3AE sin t 1 cos 2 t 2 2 23AE sin t sin t cos 2 t 2 2 23AE 2 sin t sin t 2 sin 3 t 2 3 4而 E 2 sin t 1 sin t d 0同理 E sin t

8、 2 0 , E sin 3 t 2 3 0所以,RXY t 022.7 设随机过程 X t X Yt Zt,其中 X , Y , Z 是相互独立的随机变量,且具有均值为零,方差为 1,求随机过程 X t 的协方差函数；解 依据题意,EX EY EZ 0 , DX EX 2DY EY 2DZ EZ 2 12 2m X t E X t E X Yt Zt EX tEY t EZ 0C X t 1 , t 2 E X t 1 m X t 1 X t 2 m X t 2 2 2E X t 1 X t 2 E X Yt 1 Zt 1 X Yt 2 Zt 2 因 X , Y , Z 相互独立,均值为零,

9、所以上面交叉乘积项数学期望为零2 2 2 2 2 2 2EX t 1 t 2 EY t 1 t 2 EZ 1 t 1 t 2 t 1 t 22.8 设 X t 为实随机过程,x 为任意实数,令,1 X t xY t 0 , X t x5 证明随机过程Yt的均值函数和相关函数分别为Xt的一维和二维分布函数；ftY,求证明mYtEYt1P Xtx 0PXtx P Xtx FXx;tYt1,Yt2的取值为1,1 ,1 0,0 1, ,0,0RYt1,t2EYt1 Yt211P X t1x1,Xt2x210P Xt1x 1,Xt2x201P Xt1x 1,Xt2x200PXt1x 1,Xt2x2P X

10、t1x 1,Xt2x2FXx1,x2;t1,t22.9 设ft是一个周期为T 的周期函数,随机变量Y 在（ 0,T）上均匀分布,令Xt证随机过程Xt中意E X tX t1Tftf tdt0T证明 Y 的密度函数为fYy 1,y 0 ,TT0 ,其它EXtXtEftYftYfty ftyfYy dytyu1Ttf ty fty dy0T1Tf uf udut0,Tt1ttTfuf uduT1Tf uf u du0T2.13 设Xt,t0 是正交增量过程,X0,0V是标准正态随机变量,如对任意的Xt与V相互独立,令YtXtV,求随机过程Yt,t0 的协方差函数；6 解 因Xt是正交增量过程,V N

11、1,0 ,所以EXt0 ,EV0 ,D V1,有mYEYtEXtVEXtEV0CYt1,t2EYt1m Yt1Yt2m Yt2E Yt1Yt2EXt1VXt2VE Xt1Xt2EV2EXt1 VE Xt2 V（因Xt与V独立,E Xt0,EV0）E Xt1Xt2EV22mint1,t21（利用正交增量过程的结论）X习题 4 4.1 设质点在区间 0 ,4的整数点做随机游动,到达 0 点或 4 点后以概率 1 停留在原处,在其它整数点分别以概率 1 向左、向右移动一格或停留在原处,求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵；3解 转移概率如图一步概率转移矩阵为P1 10 10 1000033 13

12、110033 13 10103 03 03 100二步转移概率矩阵为P21 10 10 1001 10 10 1001 40 20 20 100000033 13 133 13 19 19 29 39 2101010033 13 133 13 199 19 29 29 411000003 03 03 13 03 03 19 09 09 09 1000007 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币,每次抛掷显现正面的概率为 p ,对于 n 2,令 X n 0 ,1, 2 或 3,这些值分别对应于第 n-1 次和第 n 次抛掷的结果为（正,正） ,（正,反）,（反,正）,（反,反）,求马尔可夫链 X n

13、, n 0 ,1, 2 , 的一步和二步转移概率矩阵；解 对应状态为 0 正,正）,1（正,反）, 2（反,正）, 3（反,反）p 00 P 正,正）（正,正）p,p 01 P 正,反）（正,正）qp 0 2 P 反,正）（正,正） 0（不行能大事）p 0 3 P 反,反）（正,正） 0（不行能大事）同理可得下面概率p 10P 正,正）（正,反）0,p 11P 正,反）（正,反）0p 12P 反,正）（正,反）p,p 13P 反,反）（正,反）qp 20P 正,正）（反,正）p,p 21P 正,反）（反,正）qp 22P 反,正）（反,正）0,p23P 反,反）（反,正）0p 30P 正,正）

14、（反,反）0,p31P 正,反）（反,反）0p 32P 反,正）（反,反）p,p 33P 反,反）（反,反）q一步转移概率矩阵为Ppq0000pqpq0000pq二步转移概率矩阵为P2pq1 00pq00p2pqpqq2002pq00pqp2pqpqqpq200pq00p2pqpqq4.4 设00pq00pqp2pqpqq2X n,n为有限齐次马尔可夫链,其初始分布和转移概率矩阵为piP X0i1,i,1 ,2 4,348 1111X14p 23p3433p3p33p34p4p43p344 14 14 14 1P4 14 14 14 34 18 14 18 14444试证P X24X01,1X

15、14P X24 1解 依据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3,有P X24X01,1X14 P X01,1X14 ,X24 P X01 1,X14 P X0,1X12,X24 P X0,1X1,3X24 P X0,1X12 P X0,1X13p 1p 12p 24p 1p 13p 3411111344 14 14 14 185p 1p 12p 1p 13164444同理有P X24 1X14P1X14 ,X24 P 1X14 p 1p13p34p2p X12,X24 P X1,3X24 P X12 pX13 p 1p12p24p 2p22p24p3p32p24p4p42p2

16、4p 1p 12p2p22p3p32p4p42p1p 13p2p23p3p1p4p431131111111111111131131344444 14 14 18 14 14 14 14 14 14 18 14 14 18 14 14 184484444484444444444712128 7128 83219191281560X143232所以,P X24X01,1X14 P X2414.5 设Xt,tT为随机过程,且X1Xt1,X2Xt2,XnXtn,9 为独立同分布随机变量序列,令Y 00,Y 1Yt1X1,Y ncY n1Xn,n2Y nin即可；,是试证：Yn,n0是马尔可夫链；P Y

17、 n1in1证明 只要证明Yn,n0 中意无后效性,即P Y n1in1Y 0,0Y 1i1, Y nin依据题意,Y nXnCY n1,由此知Y是X1,X2,Xn的函数,由于X1,X2,Xn相互独立的随机变量,所以,对任意的n,Xn1与Y 0,Y 1,Y 2,Y n,相互独立；从而P Y n1in1Y 0,0Y 1i1,Y nini 1,Y nin（因Y nin）P Y n1CY nin1CinY 00 ,Y 1P Xn1in1CinY 0,0Y 1i1,Y nin,Y n,独立,条件概率等于无条件概率）P Xn1in1Cin（因Xn1与Y 0,Y 1,Y 2,P Xn1Cinin1Y ni

18、nP Y n1in1Y nin4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为0 .505.00,P X0310 .50 .25P005.0.50 .500.5求三步转移概率矩阵P3 及起初始分布为P X01P X02 时,经三步转移后处于状态3 的概率；0 .500 .2505.0 .500 .5解P200 .50.500 .505.0 .250. 2505.05.00.50 .5005.0.50. 250 .250. 250.50. 250.505.00 . 250.3750. 375P3 0. 250. 250 .5005.05.0.3750 .250. 3750 .50. 250. 250.500

19、5.0.3750.3750 .2510 PT3 p 30010 .250 .3750 .3750. 3750. 3750.250. 3750. 250 .375所以,3 0 .250. 3750 .3750. 254.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下（1）PT00 .40, .,20 .4 ,P08.0.101.0 .10.10.107.0 .20.202.0 .60.70 .1（2）PT00 .,20.2 ,03.,0 .3 ,P01.0 .60 .20.101.0 .10 .60.201.0 .10 .20.6求下一、二个月的销售状态；解 （1）0 .80 1.0.10.

20、260. 32PT 1 PT0 P0.40.20.40 .10.702.0. 42（P2）0. 2880.2860 .20.206.08.0.10.108.01.0.10.670.170.160.107.02.0.107.0.20.190.540.2702.02.06.0.202.0.60.30.280.42PT20.670.170.16PT0（P2）0.40.20.40.190.540.270.4260.30.280.4207.0 .10 .10 1.（2）PT 1 PT0P0 .20 .20.303.0.10 .60 .20 1.0.10 .10 .60.20.170.160.10 .10

21、 .20.60.220 .20.30.280 7.01.01.01.0.70.101.01.0.520.15（P2）0 .106.02.01.0.106.02.01.0.160.40.270.170 .101.06.0.20.10.106.02.0.160.150.430.260 .101.02.0.60.10.102.06.0.160.150.270.4211 0.52 0.15 0.17 0.16T T（2）0.16 0.4 0.27 0.17P 2 P 0 P 0 2. , 0 2. , 0 3. , 0 . 3 0.16 0.15 0.43 0.260.16 0.15 0.27 0.4

22、20.232 0.2 0.298 0.274.8 某商品六年共 24 个季度销售记录如下表（状态 1畅销,状态 2滞销）季节 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售状态 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 季节 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 销售状态 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 以频率估量概率,求（1）销售状态的初始分布, （ 2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布；解 状态 1 的个数为 15 个,状态 2 的个数为 9 个（1）所以,销售状态的初始分布为PT01590. 6250.275

23、2424（2）求一步转移概率状态11 共有 7 个,状态12共有 7 个,217,p222状态21共有 7 个,状态22共有 2 个,所以,p 1171,p1271,p14214299一步转移概率矩阵为P2111,111117111223132 72 2199P2 72 12 29 72 72 12 29 236 9136 712 72 22 72 2999992999299162162三步转移概率矩阵为P323231311269 23892590 . 6.0436 9136 712 72 2162162991372372 9136 719 772 9136 71648 1813648 110

24、30 . 620 . 383241629324162929162916三步转移后的销售状态分布为12 PT 3 T P（0 P3）0.6250.3750.60.40.610.391 随机通过任一 k0.620.384.9 设老鼠在如以下图的迷宫中作随机游动,当它处在某个方格中有k 条通道时,以概率通道,求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵；解 状态空间为I,12 ,39, 转移概率矩阵为010000010110022110002 02 0010001001100022111003 03 03 001习题 6 6.1 设有随机过程Xtcost,其中t0 为常数,是在区间0 ,2上听从均匀分布

25、的随机变量,问X0t是否为平稳过程；1d2 0cos解EXtE cost2RXt,tEXtXttE coscost2costcost1d0213 1 24 0 cos cos 2 t 2 d1cos,与 t 无关2E X t 2R X 0 12所以 X t 是平稳过程；6.2 设有随机过程 X t A cos t ,其中 A 是均值为零、方差为 2 的正态随机变量,求：（1）X 1 和 X 1 的概率密度；4（2）X t 是否为平稳过程；解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量,对任意 t,X t 听从正态分布；1 2X 1 A , X A,4 22E X 1 E A 0 , D X

26、 1 D A DA21 2 1 2 1E X E A 0 , D X D A DA4 2 4 2 2 2所以 X 1 的概率密度为x 2f ;1 x 1 e 2 2,x2X 1 的概率密度为4x 2f 1 ; x 1 e 2,x4（2）RX t , t E A cos t A cos t 2 2cos t cos t E A cos t cos t ,与 t 有关所以,X t 不是平稳过程；6.3 设有随机过程 X t A cos t ,其中 A 是听从瑞利分布的随机变量,其概率密度为14 fxxexpx22,x0为常数,问Xt是否为平稳过程；220 ,x0是在0 ,2上听从均匀分布且与A相互

27、独立的随机变量,解 先求出瑞利分布A的数学期望和2 A的数学期望,x22EA0 xxexpx22dx0 xexpx22d22220 xdexpx222xexpx2200expx22dx221expx22dx2212ex22dx2222222dx220 x22expx 222dx22EA20 x2xexpx222222令yx22220yeydy22E costt2EAE XtEAcost22cost1d00AcostAcos2E RXt,tEXtXtEA2E costAcost221E coscos 2t2221d22coscos 2t022cos与 t 无关15 2 2E X t R X 0

28、所以,X t 是平稳过程；6.4 设有随机过程 X t f t ,其中 f x 是周期为 T 的实值连续函数,是在（ 0, T）上听从均匀分布的随机变量,证明 X t 是平稳过程并求相关函数 R X ；解 E X t 0 Tf t T 1 d 令 t yT 1t t Tf y dyT 10 Tf y dy,为常数T 1R X t , t E X t X t 0 f t f t T d1 t T 1 TT t f y f y dyT 0 f y f y dy, 与 t 无关E X t 2R X 0 T 10 Tf 2 y dy所以,X t 是平稳过程；R X T 10 Tf y f y dy6.

29、5 设 X t 和 Y t 是平稳过程, 且相互独立, 求 Z t X t Y t 的相关函数,Z t 是否为平稳过程；解 因 X t 和 Y t 是平稳过程,它们的均值是常数、相关函数与 t 无关是 的函数,又相互独立；所以,E Z t E X t Y t E X t E Y t m Xm Y 是常数RZ t , t E X t Y t X t Y t E X t X t Y t Y t E X t X t E Y t Y t R X R Y 与 t 无关2E Z t R Z 0 R X 0 R Y 0 所以,Z t 是平稳过程；6.13 设 正 态 随 机 过 程 具 有 均 值 为 零

30、, 相 关 函 数 为 RX 6 e 2, 求 给 定 t 时 的 随 机 变 量X t , X t 1 , X t 2 , X t 3 的协方差矩阵；解 因 X t 是正态过程,且均值为零,相关函数 RX 6 e 2 与 t 无关,所以 X t 是平稳过程,就16 对任意给定的t,Xt,Xt1 ,Xt22,Xt3 听从正态分布,CovXt,XtCX t,t,1,023,R Xt,t2 m XR X6 e1所以,CXt,tRX06,CXt,t1 R X1 6e2,3CXt,t2tRX2t6e1,CXt,t3 RX36 e2同理CovX1 ,XCXt1 ,t1RXt,1tm X 2R X16 e

31、2,0 ,1,2 ,3所以,C Xt1 ,t6e1,C Xt,1t1 6,C Xt,1t26 e1,C Xt1 ,t3 6e1222Cov Xtt2 ,X ttCX t2 ,t6 e6 e2,t0,1,23,t2 ,t3 6e11C Xt2,6 e1,C X2 ,t1 2,C Xt2,26,C X23Cov Xtt3 ,X ttCX t,3t616 e2,t0,1,2 ,31,C Xt,3t363C Xt3 ,6 e2,C X3,t1 e,C Xt3 ,2 6e2所以协方差矩阵为CX t,tCX t,t1CX t,t2 CX t,t3 其中CX t,1tCX t,1t1CX t,1t2 CX

32、t,1t3 CX t2 ,tCX t2 ,t1CX t,2t2 CX t,2t3 CX t,3tCX t,3t1CX t,3t2 CX t,3t313616e26 e16e216e2616 e26 e116e16e2616e236e26e16 e266.15 设随机过程Xtacost和Ytbsint是单独且联合平稳随机过程,a,b ,为常数,是在0 ,上听从均匀分布的随机变量,求R XY和R YX；解RXYEXt YtEacostbsint17 ab 2E sinsin2ttab21dabsinab 2 ab 20sinsin 22sinR YXsin因RXY所以R YXR XY22习题 7

33、7.2 设平稳过程Xt的相关函数R Xea,求Xt的谱密度；,上听从均匀分布的随解SXRXejdeaejd0 eajd0eajda1jeaj0a1jeaj0112aajaja227.3 设有平稳过程Xtacos0t,其中a ,0为常数,是在机变量,求Xt的谱密度；解的概率密度为f1,20 ,其它RXEXtXtE acos0tacos0t0a2cos0tcos0t01d2a2cos0cos 20t02d4a2cos02S XRXejda2cos0ejd218 a2ej0ej0ejdcoscos 3,求谱密度SX；T；4a2ej0ej0d4a2202047.4 已知平稳过程的相关函数RX4 e解S

34、XRXejd4ecoscos 3ejd02 eejejejd02 eejej ejdcos 3 ejd02e 1je 1jd02e1je1j d21j11j12 1cos 3ejdj11j1411211233337.6 当平稳过程通过如以下图的系统时,证明输出Yt的谱密度为S Y2S X 1cos证明RYEYt YtEXtXtTXtXtTE XtXteXtTXtTTXXtXtRTXteTXt2RXRXTRXS YR Yjdej2RXR XTXTjd2 SXR XTdRTejd19 j T j T2 S X S X e S X e2 SX 1 cos T 27.7 已知平稳过程 X t 的谱密度

35、为 SX c , 0 2 0,求相关函数 R X ；0 , 其它解 R X 1S X e jd 1 2 0c 2 cos d2 02 2c 2 0 csin 0 sin 2 0 sin 0 7.8 设有平稳过程 X t a cos t ,其中 a 为常数,是在 ,0 2 上听从均匀分布的随机变量,是分布密度中意 f f 的随机变量,且 与 相互独立,求证 X t 的谱密度为SX a 2 f ；证明 设 f , 是 和 的联合分布密度,因 和 相互独立,所以f , 1 f , 0 22RX E X t X t E a cos t a cos t 2a cos t cos t f , d da 2

36、 22 f d 0 cos t cos t da 2 2 12 f d 0 2 cos cos 2 t 2 d2af cos d22af cos d j f sin d22a jf e d（因 f 为偶函数,f sin d =0）2又 R X 1 S X e jd220 比较上面两式,a2f1SXReS YX,22所以,SXa2 f7.9 设Xt和Yt是 单 独 且 联 合 平 稳 的 随 机 过 程 , 试 证 ：ReSXYImSXYImS YX；ta ,证明 只要证明SXYS YX即可,由相互关函数的性质RXYR YXS XYRXYejdR YX ejdR YX ejdR YX s ejsdsS YX7.10 设Xt为平稳过程,令YtXtaXta , a 为常数,试证S Y4SX