（本科）投资学NO5教学课件

1、YCF正版可修改PPT（本科）投资学NO5教学课件第五章 投资组合The investment portfolio 第一节 投资组合的收益和风险3第二节 最优投资组合第三节 马科维茨模型 21 第五章 投资组合学 习 目 标1.掌握两种证券组合的预期收益率和风险的计算；2.理解协方差和相关系数的含义；3.识别实现分散化所需证券之间的关系；4.比较有效投资组合和无效投资组合，并确定投资者应选择何种投资组合； 第五章 投资组合学 习 目 标5.了解把无风险资产加入风险资产组合的含义；6.描述和解释风险资产的最小方差、有效边界与最小方差的投资组合；7.解释并说明资本配置线；8.给定投资者的效用函数和

2、资本配置线，讨论最优组合的选择。 第五章 投资组合晴雨天的多元化 有一家海滩装备公司,主要出租海滩装备。当一年中有很多晴天时，这家公司的年收益率是20%；而当一年中只有很少晴天（多雨）时，该公司的收益率降为零。一年中出现多晴天和多雨天的概率各为50%。因此，该公司有50%的可能性收益率是20%，有50%的可能性收益率是零，平均收益率为10%。故该公司获得10%的收益率是有风险的。引 导 案 例 某投资者非常想投资这家海滩装备公司，但是他却不喜欢风险。听说了多元化的概念后，他准备在此基础上再做一笔投资以降低风险。下面有两个投资方案可供选择： （1） 海滩上有一家小吃店，出售健康食品。该投资者估计

3、在很多晴天的一年中小吃店的收益率是20%，在多雨的一年中收益率是零。 （2） 海滩上有一家电影院，它在多雨的一年中收益率是20%，在有很多晴天的一年中收益率是零。电影院的收益率和海滩装备公司一样是有风险的。引 导 案 例问题多元化在投资界是一个重要且有力的概念。因为投资者都是厌恶风险的，他们希望在不降低收益的情况下降低风险，所以投资者可能因为降低了遭受灾难性损失的概率而接受一个较低的收益率。探讨该投资者应该选择哪一种投资方案实现风险分散化。 第五章 投资组合假设有两种证券S1、S2，其收益率分别为R1、R2，投资者将资金分为W1、W2的比例构建投资组合，则该投资组合的收益率RP可以表示为:一、

4、 两种证券组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险公式（5-1）中,W1+W2=1，且W1、W2可以是正数，也可以是负数，负数表示卖空证券，然后将卖空所得资金加上自有资金购买另外一只证券。 第一节 投资组合的收益和风险根据概率论的相关知识，两种证券组合的预期收益率可以表示为: 第一节 投资组合的收益和风险（一） 两种证券组合的预期收益率公式（5-2）表示两种证券组合的预期收益率是两种证券预期收益率的加权平均，权数是投资在各种证券上的资金比例。如果没有卖空，证券组合的预期收益率总是依据两种证券的资金比例在两种证券预期收益率之间变动，具体大小取决于购买两种证券的相对数量。一旦大量卖空预期收益

5、率较低的证券，则组合预期收益率将大幅度上升。 第一节 投资组合的收益和风险【例5-1】 某投资者投资预期收益率分别为29%和11%的两只证券S1和S2。请问：（1） 如果将自有资金10万元等比例投资于两只股票，则投资者的预期收益率是多少？（2） 如果先卖空预期收益率较低的S2共16万元，然后将全部资金26万元都购买S1，则投资者的预期收益率又是多少？ 第一节 投资组合的收益和风险（1） 根据公式（5-2）可得，该投资者的预期收益率为E(RP)=50%29%+50%11%=20%（2） 这时，投资者在S1和S2上的资金比例W1、W2分别是W1=26/10100%=260%W2=-16/10100

6、%=-160% 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险根据公式（5-2）可得，该投资者的预期收益率为:E(RP)=260%29%+(-160%)11%=57.8%分散投资可以降低组合风险。与衡量单个资产风险的方法不太一样，衡量资产组合的风险除用方差外，还要考虑相关性，即两种资产的收益率一起变化的程度。根据概率论的相关知识，使用协方差计算两种证券组合的风险可以表示为: 第一节 投资组合的收益和风险（二） 两种证券组合的风险 第一节 投资组合的收益和风险公式（5-3）和公式（5-4）中的Cov(R1，R2)被称为证券收益率R1、R2变动的协方差，经常也表示为12。证券之间的关系

7、对收益的影响用协方差衡量，协方差度量两个随机变量之间的相关性。协方差的基本公式为公式（5-5）中R1-E(R1)、R2-E(R2)代表两只证券S1和S2的收益率对各自预期收益率的偏离，包括正、负偏离两种情况。 第一节 投资组合的收益和风险正偏离是指实际收益率高于预期收益率，负偏离是指实际收益率低于预期收益率。因此，协方差表示证券S1和S2的收益率同时偏离各自预期收益率的平均值。协方差变化有如下规律： 第一节 投资组合的收益和风险（1） 协方差为正数，说明R1-E(R1)0和R2-E(R2)0经常同时出现，或R1-E(R1)0和R2-E(R2)0和R2-E(R2)0经常同时出现，或R1-E(R1

8、)0经常同时出现，反向变化的次数越多，逆向程度越高。也就是说，证券S1收益率增加时，证券S2的收益率经常降低；证券S1收益率降低时，证券S2的收益率经常增加。因此，协方差为负数说明两只证券收益率变动呈负相关。 第一节 投资组合的收益和风险（3） 协方差为零，说明证券S1和S2收益率的变化不相关。也就是说，证券S1收益率的变动和S2收益率的变动没有明显关系。 第一节 投资组合的收益和风险组合标准差公式中的协方差虽然很重要，但是它的取值两侧都是无界的，因此难以解释。所以人们通常用相关系数（12）来代替。相关系数是协方差经标准化之后衡量两只证券收益率变动相关性及程度的指标。它是有界的，并且提供和协方

9、差相似的信息，其计算公式为: 第一节 投资组合的收益和风险相关性是对两种投资以相似的方式变动的一致性和趋势性的度量。相关系数12可以为正，也可以为负，取值范围是-1,1。下面讨论三个特殊的相关系数的值：（1） 当12=1时，两种资产的收益率完全正相关，资产1和资产2同时朝相同的方向变动。 第一节 投资组合的收益和风险（2） 当12=-1时，两种资产的收益率完全负相关，资产1和资产2同时朝相反的方向变动。（3） 当12=0时，两种资产的收益率不相关，资产1的变动方向没有对资产2的变动做出预测。 第一节 投资组合的收益和风险0121表明两种资产的收益率变动存在一定程度的正相关关系，越接近1正相关性

10、越强，即一只证券收益率变动一个数值，另一只证券收益率经常朝相同方向变动且幅度也会越来越接近；-1120表明两种资产的收益率变动存在一定程度的负相关关系，越接近-1负相关性越强，即一只证券收益率变动一个数值，另一只证券收益率经常朝相反方向变动且幅度也会越来越接近。 第一节 投资组合的收益和风险一般来说，如果相关系数12的绝对值大于0.8，则认为两种资产的收益率变动存在较强的相关关系；如果相关系数12的绝对值小于0.3，则认为两种资产的收益率变动存在较弱的相关关系。 第一节 投资组合的收益和风险引入相关系数后，两种证券组合的风险又可以写成如下形式： 第一节 投资组合的收益和风险将公式（5-5）中的

11、证券S2替换为S1，可得到:说明方差是协方差的一个特例。因此，公式（5-3）变化成组合方差的另一种表达方式为 第一节 投资组合的收益和风险组合方差就是协方差的加权值，权重为协方差内一对资产在组合中权重的乘积。表5-1和表5-2为如何用数据表计算组合的方差。表5-1为两只证券收益的协方差矩阵。根据表5-2内的计算得到式（5-7）。这一过程之所以可行是因为协方差矩阵是关于对角线对称的，即Cov(R1,R2)=Cov(R2,R1)。协方差矩阵也可应用于任意多个资产的组合。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险公式（5-3）表明，如果协方差为负，那么

12、组合的方差会降低。但是，即使协方差为正，组合标准差仍低于两个证券标准差的加权平均，除非两个证券是完全正相关的。为了证明这一点，我们注意到协方差可以由相关系数12计算得到 第一节 投资组合的收益和风险因此，公式（5-3）转化为:当其他不变时，12越高组合方差就越大。当两只证券完全正相关时，即当12=1时，公式（5-12）可以简化为 第一节 投资组合的收益和风险因此，组合标准差就是两个收益完全正相关的证券标准差的加权平均。在其他情况下，相关系数小于1使得组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。 第一节 投资组合的收益和风险资产的相关性越小，有效收益越大。组合的标准差最低是多少呢？ 第一节 投资组合

13、的收益和风险最低的相关系数是-1，代表完全负相关。在这种情况下，公式（5-12）简化为:组合标准差为当12=-1时，通过解下式可以得到完全对冲的头寸。设W11-W22=0，解得W1=21+2，W2=11+2=1-W1。这一权重使得组合标准差为零。 第一节 投资组合的收益和风险【例5-2】已知股票A和股票B的收益率及概率分布情况如表5-3所示，请问A、B两只股票收益率变动的协方差是多少？ 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险股票A和股票B的预期收益率为E(RA)=0.2(-5%)+0.215%+0.2(-10%)+0.220%+0.230%=10% E(RB)=0.2(-1

14、0%)+0.2(-5%)+0.215%+0.230%+0.220%=10% 第一节 投资组合的收益和风险股票A和股票B的收益率变动的协方差为: 第一节 投资组合的收益和风险【例5-3】某投资者打算投资小盘股基金S和普通债券基金B，它们的期望收益率和标准差如表5-4所示，两只基金收益率的相关系数为0.1。如果投资者要求组合的收益率为12%，那么每只基金各占的比例应是多少？构造的投资组合的标准差是多少？ 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险根据公式（5-1），通过令投资组合的收益率等于12%可以计算出各只基金的权重。12%=W119%+(1-W1)8%，W1=36.4%,1-

15、W1=63.6%。因此，36.4%的资金应投资于小盘股基金S，63.6%的资金应投资于普通债券基金B。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险【例5-4】两只股票有相同的收益率和风险（标准差），收益率是10%，风险是20%。某投资者的投资组合中股票1和股票2各占50%，试讨论相关系数对组合风险的影响。 若相关系数等于1，计算组合的收益率和风险。 若相关系数等于零，计算组合的收益率和风险。 第一节 投资组合的收益和风险 若相关系数等于-1，计算组合的收益率和风险。 比较不同相关系数的组合的收益率和风险。由题干可知R1=R2=10%，1=2=20%，W1=W2=50%。 第一节

16、 投资组合的收益和风险 当12=1时，当资产的相关系数等于1时，组合的风险和单个资产的风险相同。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险 当12=0时，当资产的相关系数小于1时，组合的风险小于单个资产的风险。 第一节 投资组合的收益和风险 当12=-1时，当资产的相关系数足够低，相关系数为-1时，可以通过组合消除风险。单个资产仍然保留它们的风险特征，但组合是无风险的。 第一节 投资组合的收益和风险 三种情况下的组合收益率都是10%，但是第1种情况的收益率波动最大，第3种情况的收益率波动最小。第1种情况风险没有得到分散（组合前后风险都是20%），第2种情况在收益不变的情况下实

17、现风险的分散（风险由20%下降到14%），第3种情况是同收益率无风险的组合。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险设三只证券S1、S2、S3的收益率分别为R1、R2、R3，将资金分为W1、W2、W3的比例配置在这三种证券上，则投资组合P的收益率RP为二、 多种证券组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险由概率论相关知识可以推导出，该组合的预期收益率和方差分别为整理上式时,要注意ij=ji 第一节 投资组合的收益和风险当证券数量为4只时，其构造的投资组合的预期收益率和方差分别为 第一节 投资组合的收益和风险一般来说，n只证券S1，S2,，Sn构成的投资组合P的收益率R

18、P为 第一节 投资组合的收益和风险该投资组合的预期收益率和方差分别为 第一节 投资组合的收益和风险公式（5-20）中， 被称为双重求和，代表i和j所有可能的配对，是nn=n2个数相加。 第一节 投资组合的收益和风险【例5-5】资产组合P由三只证券构成，三只证券的投资金额占总投资额的比例分别为W1=0.2，W2=0.5，W3=0.3，对应的期望收益率为E(R1)=12%，E(R2)=8%，E(R3)=16%，请计算整个资产组合P的期望收益率和标准差。三只证券收益的协方差矩阵组合权重如表5-5所示（为了简便，将矩阵中数字的单位万分之一省略）。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和

19、风险计算组合的期望收益率： 第一节 投资组合的收益和风险根据矩阵可知三只证券的方差为21=35，22=67，23=50，三只证券每两两之间的协方差分别是：12=43，13=28,23=59。计算组合的方差： 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险如果投资者以资产组合方式进行投资，尽管仍需承担该组合的风险，但是这种投资方式对于系统风险和非系统风险具有不同的分散效果。假设有n只证券，将资金等比例（比例是1/n）投资于所有证券构成一个投资组合，则通过公式（5-20）可以推导出该投资组合的方差为三、 资产组合与风险分散 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险随着

20、组合中包含的证券数n的增加，1n趋向于零。由于公式（5-24）中的第一项趋向于零，第二项趋向于ij，所以整个组合的非系统风险随证券数量的增加而减少，即非系统风险被分散。但是，组合的系统风险在证券数量增加时并不能被完全消除，而是逐渐收敛于某一个有限数。 第一节 投资组合的收益和风险降低并基本消除非系统风险的分散化投资组合需要多少只证券？答案可能是“令人意想不到的少”。根据研究发现，由1015只证券组成的投资组合便可以显著降低非系统风险。图5-1说明了风险降低的情况，纵轴表示风险大小，横轴表示证券数量。由于系统风险独立于投资组合中的证券数量，因此这种风险可以用直线AB表示。直线AB平行于横轴，不管

21、投资者拥有的证券数量为多少，不可分散风险都保持相等。 第一节 投资组合的收益和风险 第一节 投资组合的收益和风险投资组合的系统风险、非系统风险与证券数量的关系投资组合风险（系统风险与非系统风险之和）由曲线CD表示。AB线与CD线之差就是投资组合中与具体证券相关的非系统风险。非系统风险的大小取决于持有证券的数量。当持有证券的数量增加时，非系统风险将降低。由图5-1可知，证券数越多，CD线越趋近于AB线。对于由10只或更多证券组成的投资组合，涉及的风险基本上只有系统风险了。 第一节 投资组合的收益和风险根据图5-1，可以得到以下三点：（1） 与单个资产相关的一些风险可以通过投资组合来消除。把投资分

22、散到不同资产的过程称为分散投资，分散投资可以消除一部分风险。通过分散投资可以消除的风险称为可分散风险。（2） 一小部分的风险无法消除，这部分风险被称为不可分散风险。（3） 两者综合考虑，分散投资可以降低风险，但只能达到一定的程度。 第一节 投资组合的收益和风险【例5-6】假设投资组合包括很多股票，分布均为E(R)=15%，=60%，相关系数为0.5。请问： 25只股票等权重构成的组合的收益分布是什么？ 要构造标准差不超过43%的组合，至少需要多少只股票？ 当n=25时，等权重的投资组合的方差为 第一节 投资组合的收益和风险 第二节 最优投资组合（一） 两种证券组合的可行集 两种证券组合的可行集

23、通常是什么形状呢？下面先讨论组合的风险和收益率如何随不同的权重和不同的相关系数进行变化。一、 可行集 第二节 最优投资组合【例5-7】某投资者用两项资产构造投资组合。资产1的年收益率为7%，风险为12%；资产2的年收益率为15%，风险为25%。请问：当资产1的投资比例为零、10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%，相关系数为1,0.5,0.2,-1时，所构造的投资组合的预期收益率和标准差是多少？在预期收益率和标准差的坐标系上描绘出上述的投资组合，并用一条光滑的曲线将其连接起来，这条曲线的形状是什么？ 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合同样，可以计

24、算投资比例改变时，在不同相关系数下的投资组合的预期收益率和标准差。组合风险和收益的关系如表5-6所示，图形的形式如图5-2所示。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合通过图5-2中=0.2的虚线表明的投资组合可行集可以看出，之所以称其为投资组合可行集，是因为它代表了两个资产构造的所有期望收益率和标准差的组合。其他的曲线表示了不同相关系数下的情况。=1的直线说明完全正相关的资产分散化没有意义，组合的标准差仅是两个标准差的加权平均。当=-1时，完全负相关的投资组合的可行集是线性的，它提供了完全对冲的机会来构造零方差的组合。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合根据图5-2，可以总结两只

25、证券组合可行集的形状：（1） 两只证券构成组合的可行集是一条通过A点和B点的曲线。（2） 随着相关系数的不断变小，这条曲线的弯曲程度越来越大；当相关系数达到最小值-1时，这条曲线弯曲程度达到极限，表现为一条折线。（3） 当相关系数逐渐变大时，这条曲线的弯曲程度越来越小，当相关系数等于1时，曲线没有任何弯曲，已经变成直线。 第二节 最优投资组合可以从数学的角度推导出最小方差组合： 第二节 最优投资组合【例5-8】现有两只风险证券，一只是债券S1，一只是股票S2，它们的预期收益率和风险状况如表5-7所示。请计算两只证券所构造的最小方差组合的预期收益和风险。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组

26、合因此，最小方差组合的预期收益率和风险为 第二节 最优投资组合三种及三种以上证券组合的可行集呈现伞形，具体形状依赖于所包含的特定证券，它可能更左或更右、更高或更低、更胖或更瘦，可行集看起来如图5-3所示。（二） 多种证券组合的可行集 第二节 最优投资组合（1） 若至少有三种资产（非完全相关且均值不同），则可行集是一个二维的实心区域。图5-3说明了为什么可行区域是实心的原因。假设存在三种基础资产：A、B和C。由于任意两种资产构成资产组合后会在两资产之间产生一条曲线，将A、B和C两两组合后，便可以得到如图5-3中所示的三条曲线。若资产D是资产B和C的一个组合，则D可以与A进行组合得到一条连接A与D

27、的曲线，当D在B和C之间移动时，连接A和D的曲线轨迹就是一个实心区域。 第二节 最优投资组合（2） 可行区域凸向左边。在可行区域内，任取区域内的两点，连接两点的直线不会穿过可行区域的左边界。这是因为任意两项资产组合的轨迹总是在两项资产连线的左边或在这两项资产的连线上。图5-4给出了一个典型的可行区域。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合有效集是可行集的一个子集。投资者按照以下原则选择最优组合：（1） 对于同一预期收益率，选择风险水平最小的。（2） 对于同一风险水平，选择预期收益率最大的。满足这两个条件的组合集被称为有效集或有效前沿。二、 有效集 第二节 最优投资组合按照有效集原则的第一

28、条，选取一定收益率水平，如E(R1)，通过该点画出平行于横坐标的虚线，该虚线穿过可行集，风险最小的投资组合是可行集边界上的E点（图5-5）。同样，可以得到其他收益率对应的最小风险投资组合，这些投资组合位于可行集的边界上。（一） 风险证券组合的有效集 第二节 最优投资组合按照有效集原则的第二条，选取一定风险大小，如1，通过该点画出平行于纵坐标的虚线，该虚线穿过可行集，收益最大的投资组合是可行集边界上的F点（图5-5）。同样，可以得到其他风险水平下对应的最大收益率投资组合，这些投资组合位于可行集的边界的上半部分。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合运用同样的方法可以得到两种风险证券组合的有

29、效集(图5-2)：（1） 当两种证券收益率相关系数在-1,1之间，两种证券组合的有效集是其可行集的从最小标准差组合沿着曲线的上半部分。（2） 当两种证券收益率变动完全正相关时，有效集就是全部可行集直线。（3） 当两种证券收益率变动完全负相关时，有效集就是可行集折线的上面一条直线。 第二节 最优投资组合分析无风险证券和一种风险证券构成的投资组合。假设无风险证券SF的收益率是常数Rf，风险证券SA的预期收益率是E(RA)，投资风险是A。以这两种证券构造一个投资组合，其中无风险证券的权重为W，风险证券的权重是1-W，则投资组合的预期收益率和方差分别为（二） 无风险证券和风险证券构成投资组合的有效集

30、第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合公式（5-29）表明，无风险证券和风险证券所构建的组合的风险大小取决于风险证券的风险大小，以及投资在风险证券上的资金比例。将公式（5-29）中的W代入公式（5-27），整理可得 第二节 最优投资组合公式（5-30）表明：（1） 无风险证券和风险证券所构建的组合的可行集同时也是有效集，如图5-6所示。 第二节 最优投资组合图5-6无风险证券和风险证券组合的有效集在图5-6中，整个组合关于标准差的期望收益率是经过起点F、穿过A的一条直线，截距是Rf，斜率是 。这条直线被称为资本配置线，表示对投资者而言的所有可能的风险收益组合。资本配置线的斜率记为S，等于每

31、增加一单位标准差整个投资组合增加的期望收益。因此，斜率也被称为报酬-波动性比率或夏普比率。 第二节 最优投资组合（2） 投资组合RP的预期收益率包含两部分，一部分是无风险资产收益率，另一部分是投资组合总期望获得的风险溢价，其与组合风险P的大小成正比。这从理论证明了高收益与高风险相匹配。资本配置线上处于投资组合A右边的点是什么呢？如果投资者能够以无风险利率借入资金，就可以构造出A点右边的点。 第二节 最优投资组合【例5-9】某投资者的投资预算为300 000元，并以7%的无风险利率额外借入了120 000元，他将所有可用资金投入风险资产中。假设E(RP)=15%，P=22%。请计算杠杆风险投资组

32、合的收益、风险和报酬-波动性比率。由题意可知投入风险资产的比例=(300 000+120 000)/300 000=1.4无风险资产的比例=1-1.4=-0.4 第二节 最优投资组合根据公式（5-27），可得E(RP)=WRf+(1-W)E(RA)=-0.47%+1.415%=18.2%根据公式（5-29），可得 第二节 最优投资组合借款人的违约风险导致贷款者要求更高的贷款利率，因此，非政府投资者的借款成本超过Rf=7%。假设借入利率为Rbf=9%，在这种条件下的报酬-波动性比率（也就是资本配置线的斜率）将是资本配置线在A点被扭曲，借贷利率不相等时的可行集如图5-7所示。A点的左边，投资者以7

33、%借出资金；A点的右边投资者以9%借入资金。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合在有效边界的所有投资组合中都可以和无风险资产进行组合。图5-8中展示了两种组合，一种是无风险资产和有效组合A的组合，另一种是无风险资产和有效组合P的组合。比较资本配置线A和资本配置线P，发现在CAL(P)上总存在与CAL(A)上的点风险相同但收益更高的一点。（三） 一种无风险证券和多种风险证券构成投资组合的有效集 第二节 最优投资组合换句话说，CAL(P)上的组合优于CAL(A)上的组合。因此，投资者会选择CAL(P)而不是CAL(A)。人们总是希望再向上移动以实现更优的投资组合，但是这些投资组合都位于有效

34、边界的上方，因此是不可能达到的。 第二节 最优投资组合CAL(P)不但优于CAL(A)，而且优于风险资产的马科维茨有效边界 第二节 最优投资组合CAL(P)是最优资本配置线，而组合P是最优风险投资组合。因此，通过加入无风险证券，可以将风险资产组合的选择范围缩小到一个最优风险投资组合P，它是直线CAL(P)和风险资产有效边界的切点。 第二节 最优投资组合（一） 风险厌恶和效用价值假设无风险利率是5%，投资者面临以下不同的投资组合，如表5-8所示。表5-8中用风险溢价、风险水平来说明低等风险证券组合、中等风险证券组合和高等风险证券组合的风险收益特征。三、 最优投资组合 第二节 最优投资组合 第二节

35、 最优投资组合假设投资者会根据收益-风险情况为每个资产组合给出一个效用分数，分数越高说明这个资产组合越有吸引力。金融学中应用最多的一个效用函数是 第二节 最优投资组合式中，U为效用值；A为投资者的风险厌恶系数；系数12只是一个约定俗成的数值。公式（5-31）表明，效用随期望收益的增加和风险的减少而增加。投资者对风险厌恶程度越高（A越大），对风险要求的补偿就越高。投资者会在投资组合中选择效用值最高的组合。 第二节 最优投资组合【例5-10】有三名风险厌恶程度不同的投资者，他们的风险厌恶系数分别是A1=2，A2=3.5，A3=5。三人对表5-8中三种资产组合进行了评价，无风险利率是5%。求他们对资

36、产组合的效用值，并指出每名投资者的最优选择是什么。（1） 因为无风险利率是5%，用公式（5-31）可得到U=0.05。 第二节 最优投资组合（2） 在A1=2，E(R)=7%，=5%时，低等风险组合的效用值为（3） 在A1=2，E(R)=9%，=10%时，中等风险组合的效用值为 第二节 最优投资组合（4） 在A1=2，E(R)=13%，=20%时，高等风险组合的效用值为由于高等风险组合对于A1投资者的效用值最大，因此是A1投资者的最优选择。 第二节 最优投资组合（5） A2和A3投资者的效用值计算方法与A1相同，此处省略。三种投资组合对不同风险厌恶水平投资者的效用值计算结果见表5-9。 第二节

37、 最优投资组合 第二节 最优投资组合只有当一个投资组合的确定等价收益率超过无风险收益率时才值得投资。与风险厌恶者相对的是风险中性的投资者，其A=0，只根据风险资产的期望收益率来判断收益预期。风险的高低对风险中性投资者无关紧要，他们对风险要求的补偿为零，他们的确定等价收益率就是资产的期望收益率。风险偏好者，其A0，这类投资者将风险的乐趣考虑在内后上调了效用水平。 第二节 最优投资组合通过对投资者效用相同的投资组合风险收益特点描点可以得到投资者风险与收益的权衡。横轴是期望收益，纵轴是标准差。图5-9所示为资产组合P的情况。资产组合P，期望收益率是E(RP)，标准差是P。它与第三象限相比期望收益率更

38、高，标准差更小，所以更受风险厌恶者的青睐；相反，第一象限的所有组合都比P受欢迎，因为它们的期望收益率大于等于P，标准差小于等于P。 第二节 最优投资组合这就是均值-方差准则。如果E(RA)E(RB)，AB，则表示投资组合A优于投资组合B。在图5-9中最受欢迎的方向是西北方向，即左上方，因为这个方向在提高期望收益的同时降低了方差。所有P点西北方向的任何组合都优于组合P。 第二节 最优投资组合那么第二象限和第四象限的投资组合又如何呢？与组合P相比，这些组合的受青睐程度完全取决于投资者的风险厌恶程度。假设投资者确认了所有和P一样好的投资组合，从P点开始，效用随标准差的增加而减少，这必须以期望收益率的

39、提高作为补偿。高风险高期望收益的资产和低风险低期望收益的组合对投资者的吸引力相同。 第二节 最优投资组合在均值-标准差图中，用一条曲线将这些效用相同的所有资产组合连在一起就构成了无差异曲线，如图5-10所示。因此,对投资者而言，图5-10中的Q点和P具有相同的吸引力。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合风险厌恶程度不同，投资者的效用无差异曲线形态不同：风险厌恶程度越高者，其效用无差异曲线越陡峭；风险厌恶程度越低者，其效用无差异曲线越平缓。 第二节 最优投资组合资本配置线包含投资者可获得的最优投资组合。这些投资组合都是无风险资产和最优风险资产组合的线性组合。在这些可

40、获得的投资组合中，投资者的最优投资组合依赖于投资者的风险偏好。（二） 投资者最优投资组合 第二节 最优投资组合下面将讨论个人投资者的风险偏好，借助无差异曲线选择最优投资组合，如图5-11所示。图5-11显示无差异曲线与资本配置线相切。投资者最优投资组合的位置依赖于投资者的风险偏好，强烈风险厌恶的投资者可能大比例甚至100%投资于无风险资产，投资者的最优投资组合会在靠近纵轴的地方；而低风险厌恶的投资者可能会大比例投资于最优风险资产，投资者的最优投资组合就会接近于P点。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合【例5-11】有两种风险资产A和B。资产A的期望收益率和标准差分别是20%和50%，资

41、产B的期望收益率和标准差分别是15%和33%。这两种资产的相关系数为零。（1） 若投资者将资金的10%投资于资产A，90%投资于资产B，计算投资组合的期望收益率和投资组合的风险。 第二节 最优投资组合（2） 假设资产A的权重是WA，资产B的权重是1-WA，计算投资组合的收益率和风险。（3） 无风险资产的收益率为3%，根据（2）中投资组合的收益率和风险，写出资本配置线方程，连接无风险资产和投资组合的风险资产。（4） 当资产A的权重为38.24%时，资本配置线的斜率最大。其资本配置线的方程是什么？ 第二节 最优投资组合（5） 在资本配置线上，20%的收益率对应的投资组合的标准差是多少？这个投资组合与资产A相比如何？（6） 当投资组合的收益率分别是3%、9%、15%和20%时，组合的风险各为多少？（7） 当投资组合的收益率为3%、9%、15%和20%，投资者的风险厌恶系数为2.5时，获得的效用各是多少？该选择哪个组合？ 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合这条资本配置线是斜率最大的，因为它与风险资产组成的投资组合相切。 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合 第二节 最优投资组合 第三节 马科维茨模型马科维茨的