理论力学经典达朗伯原理

1、理论力学经典课件达朗伯原理第1页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 引 言 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 达朗伯原理（动静法）。 达朗伯原理为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。 达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第2页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 几个工程实际问题第3页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五爆破时烟囱怎样倒塌 几个工程实际问题第4页，共57页，2022年，5月2

2、0日，3点29分，星期五 几个工程实际问题第5页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五sFIFNFmaxzyOmAFN 约束力；F 主动力；16-1 惯性力质点的达朗伯原理根据牛顿定律ma F + FNF + FN ma 0FI maF + FN FI 0FI 质点的惯性力。 非自由质点的达朗伯原理 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。第6页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FI maF + FN FI0应用达朗伯原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3

3、、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式第7页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五BACllllO1x1y1例 题 1离心调速器已知：m1球A、B 的质量；m2重锤C 的质量；l杆件的长度； O1 y1轴的旋转角速度。求： 的关系。解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C为研究对象，分析所受的主动力和约束力BFT1FT2m1 gCFT3m2 gFT12、分析运动：施加惯性力。 球绕O1y1轴作等速圆周运动，惯性力方向与法向加速度方向相反，其值为FIm1l 2sin 重锤静止，无惯性力。FI第8页，共57页，2022年，5月20日，3点29分

4、，星期五BFT1FT2m1 gCFT3m2 gFT1FI3、应用动静法：对于重锤 C对于球 B第9页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五例 题 2平衡位置Oyya sin t 求：颗粒脱离台面的最小振动频率振动筛第10页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五平衡位置OyymamgFNFI 解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。FIma 2sin t 颗粒脱离台面的条件 FN0， sin t1时， 最小。应用动静法 (a) 当其在平衡位置的上方第11页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五平衡位置OyymamgFN

5、FI (b) 当其在平衡位置的下方 解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定颗粒脱离台面的位置和条件。应用动静法 颗粒在平衡位置以下时不会脱离台面。第12页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五第13页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五16-2 质点系的达朗伯原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系对质点系应用达朗伯原理，由动静法得到第14页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五ABxFAxACBFTmg例 题 3已知：m ，l， ，求：BC 绳的张力及A

6、 处约束反力。解： 取AB 杆为研究对象dFIFI 分析AB 杆的运动，计算惯性力FAy第15页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五ABxFAxACBFTmgdFIFIFAy第16页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五OxyFIidFTFTOR例 题 4已知：m ，R， 。求：轮缘横截面的张力。解： 取上半部分轮缘为研究对象第17页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 刚体惯性力系特点 刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。FIimiai 对于平面问题(或者可以简化为平面问题)，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。

7、 对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般力系。16-3 刚体惯性力系的简化第18页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 惯性力系的主矢 惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。 惯性力系的主矩惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。aCa1a2anmm2mnm1FInFI1FI2FIR1、刚体作平动 刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。第19页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五O2、刚体绕定轴转动OCCmiMIOOMIO第20页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，

8、星期五 当刚体有对称平面且绕垂直于对称平面的定轴转动时，惯性力系简化为对称平面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。OCMICOMIO第21页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五3、刚体作平面运动 具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再对平面惯性力系作进一步简化。CaCMIC第22页，共57页，2022年，5月20日，3点

9、29分，星期五例 题 5已知：m , h , , l。求：A、D处约束反力。mgFNFAxFAyFIBDCA解： 取 AB 杆为研究对象BADah其中：第23页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五mgFNFAxFAyFIBDCA其中：第24页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五CDahbCmgFFI例 题 6已知：m , h ,a , b, f。求：为了安全运送货物，小车的 amax。解： 取 小车杆为研究对象FNd货物不滑的条件：F f FN ， a f g货物不翻的条件：d b/2 ， a bg/h为了安全运送货物，应取两者中的小者作为小车的amax。第

10、25页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五OrlAB例 题 7已知：AB杆质量为m ,长为l=2r , 求：A 端的约束反力。圆盘半径为r ,角速度为，角加速度为 。解： 取 AB 杆为研究对象FAxFAymgABCOMIOMA（1）分析运动，施加惯性力。第26页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FAxFAymgABCOMIOMA第27页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FAxFAymgABCMAMIC（2）将惯性力系向质心C简化。第28页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五ABCMlMAC例 题 8已知：A物体与轮

11、C的质量求： （1）A 物体上升的加速度； （2）B 端的约束反力。均为m，BC 杆的质量为m1，长为l，在轮 C上作用一主动力偶 M 。解： （1）取 A物体与轮C为研究对象mgmgFIAMICFCxFCy其中：第29页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五MACmgmgFIAMICFCxFCy其中：第30页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五（2）取 BC 杆为研究对象BCFCxFCyMBFBxFBym1g第31页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五例 题 9已知：两均质直杆自水平位置无初速地释放。求： 两杆的角加速度和 O、A处的约束反

12、力。解: (1) 取系统为研究对象ABOMI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12第32页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五(2) 取AB 杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA2第33页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五(2) 取AB 杆为研究对象MI2mgFI2FAyFAxBA2第34页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 (3) 取系统为研究对象MI1MI2mgmgFI2FI1FOyFOxBAO12第35页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五例 题 10质量为m和2m，长度分别为l和2l 的匀质

13、细杆OA 和AB 在A 点光滑铰接，OA杆的A端为光滑固定铰链，AB杆的B端放在光滑水平面上。初瞬时，OA杆水平，AB杆铅直。由于初位移的微小扰动，AB杆的B端无初速地向右滑动，试求当OA杆运动到铅垂位置时，A点处的约束反力。ABO解: (1) 取系统为研究对象，由动能定理得：第36页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAyFAx(2) 取OA 杆为研究对象(3) 取AB 杆为研究对象FAyMIC第37页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五ABC2OAAB21(4) 对AB 杆进行运动分析取A点为基点，研究B点取

14、A点为基点，研究C点第38页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAyFAx(2) 取OA 杆为研究对象(3) 取AB杆为研究对象FAyMIC第39页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五FAxOA1ABCFNB22mgFIyFIxFAyFAxFAy解得：MIC第40页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五16-4 绕定轴转动刚体的轴承动反力mmABABmmFI1FI1FI2FI1FI2FRAFRB理想状态FI2偏心状态FI1FI2第41页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五ABmm

15、ABmmFRBFRAFRAFRB偏角状态既偏心又偏角状态FI1FI2FI2FI1第42页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五yxzOrimiriFIiFIRMIO一般状态第43页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五yxzOrimiriFIiFIRMIO第44页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五yxzOrimiriFIiFIRMIO第45页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五AByxzOFAxFAyFBxFByFBzFIRMIOFRMO第46页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五AByxzOFAxFAyF

16、BxFByFBzFIRMIOFRMO根据达朗伯原理，可列写下列六个方程：由此可求得轴承动反力第47页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五动反力由主动力引起的静反力 + 惯性力引起的附加动反力要使附加动反力等于零，必须有：第48页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五要使附加动反力等于零，必须有：结论：刚体绕定轴转动时，避免出现轴承附加动反力的条件是：转轴通过刚体的质心，刚体对转轴的惯性积等于零。避免出现轴承附加动反力的条件是：刚体转轴应为刚体的中心惯性主轴。通过质心的惯性主轴，称为中心惯性主轴。第49页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 结

17、论与讨论 引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 达朗伯原理。 达朗伯原理与动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方法。 达朗伯原理一方面广泛应用于刚体动力学求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。第50页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 质点的惯性力定义为质点的质量与加速度的乘积，并冠以负号，即 质点的达朗伯原理：质点上的主动力、约束反力和惯性力在形式上组成平衡力系，有 质点系的达朗伯原理：在质点系中每个质点上都假想地加上该质点的惯性力，则作用于各质点的真实力与惯性力在

18、形式上组成平衡力系，有FI maF + FN FI0Fi + FNi FIi0 (i=1,2, n)第51页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 刚体的惯性力系简化结果1、刚体作平动 质体作平动时，惯性力系简化为一个通过质心的合力 FI 。FI maC2、刚体绕定轴转动 惯性力系向转轴上任一点O简化，得一力和一力偶，该力等于惯性力系主矢 FI ，该力偶的矩等于惯性力系对点的主矩 MIO 。FI maC第52页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五 其 中： 如果刚体具有对称平面，该平面与转轴垂直，则惯性力系向对称平面与转轴的交点O简化，得在该平面的一力和一力偶。FIR maCMIO Jz 第53页，共57页，2022年，5月20日，3点29分，星期五3、刚体作平面运动 如果刚体具有对称平面，则惯性力系向质心简化得一力和一力偶。FI R m