定积分概念与性质

1、定积分概念与性质第1页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三0 定积分概念与性质第2页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三分割第3页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三取近似第4页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三求和取极限2.变速直线运动的路程第5页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三（1）分割 第6页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三（2）取近似第7页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三共同特性分割，取近似，求和，取极限(3)求和 （4）取极限第8页，共77页，2

2、022年，5月20日，0点51分，星期三二.定积分的定义1.定义第9页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第10页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第11页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三曲边梯形的面积变速运动的路程定理1. 设f(x)在区间a,b上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在a,b上可积.注(1)定积分是一个数值与被积函数有关。(2)定积分的值与区间的分法无关,2.定积分存在的充分条件(3)定积分的值只与区间长度有关，与 的取法无关第12页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三3.定积分的几何意义第13

3、页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例1 利用定积分的定义计算第14页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第15页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三三.定积分的性质第16页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三对于c在区间 a,b之内或之外, 结论同样成立第17页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第18页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三几何解释：在a,b上至少存在一点,使曲边梯形的面积等于以 为高的一个矩形面积 第19页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第20

4、页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 定积分与原函数的关系一.变上限的定积分及其导数第21页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第22页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第23页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三定理表明:(1)连续函数一定存在原函数(2) 把定积分与原函数之间建立起联系二.牛顿-莱布尼兹公式第24页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第25页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第26页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第四节 定积分的换元积分法

5、与分布积分法一.定积分的换元积分法注意:换元的同时一定要换限第27页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第28页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第29页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第30页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第31页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第32页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第33页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第34页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第35页，共77页，2022年，5月20日，

6、0点51分，星期三第36页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三二.定积分的分布积分法第37页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第38页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第39页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第40页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三第41页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 定积分应用定积分的微元分析法用定积分表示的量U必须具备三个特征 :一 . 能用定积分表示的量所必须具备的特征(3) 部分量 的近似值可表示为二 .微元分析法则U相应地分成许多部分量;用定

7、积分表示量U的基本步骤:(1) U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量;(2) U 对于区间a,b具有可加性.即如果把区a,b 分成许多部分区间,第42页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三根据问题的具体情况,选取一个变量(2) 在区间a,b内任取一个小区间 ,求出相应于这个小区间的部分量 的近似值.在 处的值 与 的乘积,就把 称为量U的微元且记作 ,即如果 能近似地表示为a,b上的一个连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间a,b;第43页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三(3) 以所求量U的微元 为被积表达式,在区间a,b上作定积分,得 平面图形

8、的面积一 直角坐标情形1 . 曲边梯形当f(x)在a,b上连续时, 由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积就是第44页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三2. 一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数 在a,b上连续,且 则介于两条曲线第45页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 注意:根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1 求椭圆的面积(如图).解 由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为第46页，共77页，2022年，5月20

9、日，0点51分，星期三则例2 求由所围图形面积.解 两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).取x为积分变量,其变化区间为0,1.由前面讨论可知:(1,1)oyx第47页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例3 求由所围图形面积.解 两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为-2,4.yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积第48页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三二. 极坐标情形1. 曲边扇形其中r()在 ,上连续,且r()0.相应于, +d的面积微元为则图形面积为o r=r()设图形由

10、曲线r=r()及射线=, =所围成.取为积分变量,其变化区间为 ,第49页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三2. 一般图形及射线=, =所围图形的面积微元为 则面积为o相应于从 0到2的一段弧与极轴所围图形的面积. 解 如图,可视为=0, = 2及r=a 围成的曲边扇形.则其面积为o 由曲线 例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上第50页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三NoM例5 求r=1与r=1+cos所围公共面积.解 如图,曲线交点为由对称性则而第51页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三三. 参数方程情形 当曲边梯形的曲边为参数方

11、x=(t),y=(t) ,且()=a, ()=b,在,上(t)有连续导数, (t)连续,则曲边梯形面积面积为在例1中,若采用椭圆的参数方程则第52页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 立体的体积一. 平行截面面积已知的立体体积点x且垂直于x 轴的截面面积.如图,体积微元为dV=A(x)dx, 则体积为 例1 如图,从圆柱体上截下一块楔形体,abx求其体积. 取x为积分变量,其变化范围为a,b. 设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过第53页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三则边长分别为y和ytan .因此如图,过x的截面是直角三角形,解-RRyxo

12、xy第54页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三xyoRh高为h的正劈锥体的体积.底边长为2y,高为h.因此 则过x的截面是等腰三角形, 解 如图, 例2 求以圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,第55页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三称为旋转体.则如前所述,可求得截面面积二. 旋转体的体积则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成.yxaby=f(x)ox图1第56页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.ycoxdx=(y) 例3 求如图直角三角形绕x

13、轴旋转而成的圆锥体的体积. 解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得yoxP(h,r)则体积为图2图3第57页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例4 求星形线绕x轴旋转而成的立体体积解 由对称性及公式aaxy第58页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 例5 求圆心在(b,0),半径为a(ba)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积. yxoba解 圆的方程为,则所求体积可视为曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的则第59页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例 证明：由平面图形 绕 轴旋转

14、所成的旋转体的体积为柱壳法就是把旋转体看成是以y 轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的，即为圆柱薄壳当dx很小时，此小柱体的高看作f（x），以此柱壳的体积作为体积元素，第60页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三在区间 上柱壳体的体积元素为 平面曲线的弧长光滑曲线可应用定积分求弧长. 若函数y=f(x)的导函数在区间a,b上连续,则称曲线y=f(x)为区间a,b上的光滑曲线,第61页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三一.直角坐标情形设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分)故弧长为oyxdyabdxy=f(x)取x为积分变量,变化区间为

15、a,b.a,b内任意小区间x, x +d x的一段弧长第62页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 例1 求曲线相应于x从a到b的一段弧长.解 第63页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例2 求的全弧长.解 y=y(x)的定义域为,故弧长为:二. 参数方程情形设光滑曲线方程:弧长微元则如前所述,第64页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例4 求星形线的弧长.解 由对称性及公式第65页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三例4 求阿基米德螺线r=a(a0)上相应于从0到2的一段弧长.解三. 极坐标情形设曲线方程:r=r()

16、 (). 化为参数方程:则第66页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三定积分的物理应用一. 变力沿直线作功若物体在常力F作用下沿F方向移动s距离,.由x=a移到x=b,可用微元法解决做功问题.dW=F(x)dx则F(x)abxx+dx则W=Fs 若物体在变力F(x)作用下沿力的方向 取x为积分变量,变化区间为a,b.相应于任意小区间x,x+dx的功的微元第67页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 例1 设9.8牛顿的力能使弹簧伸长1厘米,解从而由公式(焦耳) 例2 形如圆锥台的水桶内盛满了水(如图), 解 设想将水分成许多薄层,问将全部水吸出需作多少功?(

17、水比重为9800牛顿/立方米)0yx13(3,2)xx+dx求伸长10厘米需作多少功?所以k=980.F=9.8牛顿,而x=0.01米时,已知 F=kx,F=980 x.吸出各层水所作的功的总和即为所求.第68页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 取x为积分变量,变化区间为则 例3 一桶水重10kg,由一条线密度0.1kg/m的0yx13(3,2)xx+dx因此功的微元吸出这层水的位移近似于x.的薄层水近似于圆柱,0,2.相应于任意小区间x,x+dx绳子系着,将它从20m深的井里提上来需作多少功?第69页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三 解 将水桶从井

18、里提上来所作的功为 将绳子从井里提上来所作的功,则所作的总功为xo20 xx+dx即变力沿直线作的功为第70页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三二. 静液压力 设有一面积为A的平板,水平放置在液体下深度h处,则平板一侧所受压力为 N=hA. (为液体比重)则平板一侧所受压力须用微元法解决. 取x为积分变量,变化区间为a,b.oxyabxx+dxy=f(x)近似于水深x处水平放置的长方形窄条所受的压力.相应于x,x+dx的窄条所受到的压力 如果平板垂直放置在液体下,以如图曲边梯形为例:第71页，共77页，2022年，5月20日，0点51分，星期三则压力微元为dN= xydx= xf(x)dx因此整个平板所受压力为 例4 一个横放的半径为R的圆柱形油桶内有半桶