递推关系的建立及其求解方法

1、递推关系的建立及其求解方法第1页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三一、递推式的建立1、Hanoi塔问题问题: 三柱问题问题：四柱问题问题：m柱问题2、平面分割问题问题：封闭曲线分割平面问题：Z分割平面问题：M分割平面3、Catalan数问题一：凸n边形的三角形剖分问题二：二叉树数目问题三：出栈序列4、第二类Stirling数 问题一：放置小球问题二：集合划分问题5、其他问题一：集合取数问题问题二：整数划分问题二、递推式的求解方法：1 递归函数用数组实现求递推式的通项表达式： 31、迭加法 32、待定系数法 33、特征方程法 34、生成函数法第2页，共37页，2022年，5

2、月20日，19点39分，星期三一、递推式的建立1、Hanoi塔问题 问题的提出：Hanoi塔由n个大小不同的圆盘和m根木柱1,2,3.m组成。开始时，这n个圆盘由大到小依次套在1柱上，如图所示。现在要求把1柱上n个圆盘按下述规则移到m柱上：(1) 一次只能移一个圆盘；(2) 圆盘只能在m个柱上存放；(3) 在移动过程中，不允许大盘压小盘。求将这n个盘子从1柱移动到m柱上所需要移动盘子的最少次数 。第3页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题:三柱问题设f(n)为n 个盘子从1柱移到3柱所需移动的最少盘次。当n=1时，f(1)=1。当n=2时，f(2)=3。第4页，共37页

3、，2022年，5月20日，19点39分，星期三以此类推，当1柱上有n(n2)个盘子时，我们可以利用下列步骤：第一步：先借助3柱把1柱上面的n-1个盘子移动到2柱上，所需的移 动次数为f(n-1)。第二步：然后再把1柱最下面的一个盘子移动到3柱上，只需要1次 盘子。第三步：再借助1柱把2柱上的n-1个盘子移动到3上，所需的移动次 数为f(n-1)。由以上3步得出总共移动盘子的次数为：f(n-1)+1+ f(n-1)。 所以：f(n)=2 f(n-1)+1 f(n)= 2n-1第5页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题：四柱问题第6页，共37页，2022年，5月20日，19

4、点39分，星期三第7页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三【问题分析】： 令fi表示四个柱子时，把i个盘子从原柱移动到目标柱所需的最少移动次数。 j第一步：先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个非目标柱（2或3柱均可，假设移到2柱）上，此时3和4柱可以作为中间柱。移动次数为：fj。第二步：再把原1柱上剩下的i-j个盘子在3根柱子（1、3、4）之间移动，最后移动到目标柱4上，因为此时2柱不能作为中间柱子使用，根据三柱问题可知，移动次数为：2(i-j)-1。第三步：最后把非目标柱2柱上的j个盘子移动到目标柱上，次数为：fj。 第8页，共37页，2022年，5月20日，19点3

5、9分，星期三通过以上步骤我们可以初步得出：fi = 2*fj+2(i-j)-1j可取的范围是1=jI，所以对于不同的j，得到的fi可能是不同的，本题要求最少的移动次数 fi = min2*fj+2(i-j)-1，其中1=jI 第9页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三const MaxNum = 1000;var n : integer; F3, F4 : array1.MaxNum of double;procedure Init;var i : integer;begin fillChar(F3,sizeOf(F3),0); fillChar(F4,sizeOf(F4)

6、,0); readln(n); F31 := 1; F41 := 1; *F3n 为Hanoi塔中3根柱子，n个盘子的最少移动次数 F3n = 2n -1; F4n 为Hanoi塔中4根柱子，n个盘子的最少移动次数* for i :=2 to n do F3i := 2*F3i-1 + 1;end; 第10页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三procedure Run;var i, j : integer; minF4i,temp : double;begin for i := 2 to n do begin minF4i :=1e+100; for j := 1 to

7、i-1 do begin temp := 2*F4j + F3i-j; if (temp minF4i) then minF4i := temp; end; *F4i = min(2*F4j + F3i-j);( 1= j =i-1) * F4i :=minF4i; end; writeln(F4n:0:0);end;begin Init; Run;end.第11页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题：m柱问题【问题分析】：设F(m,n)为m根柱子,n个盘子时移动的最少次数：1、先把1柱上的前j个盘子移动到另外其中一个除m柱以外的非目标柱上，移动次数为：fm, j； 2

8、、再把原1柱上剩下的n-j个盘子在m-1根柱子之间移动，最后移动到目标柱m上，移动次数为：fm-1, n-j； 3、最后把非目标柱上的j个盘子移动到目标柱没柱上，移动次数为：fm, j。F(m,n) = min2*F(m, j)+F(m-1,n-j) (1= j n)j第12页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三2、平面分割问题问题问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，求这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。【问题分析】：设f(n)为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。 由图4很容易得出：f(1)=2；f(

9、2)=4。第13页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三假设当前平面上已有的n-1条曲线将平面分割成f(n-1)个区域，现在加入第n条封闭曲线。第n条曲线每与已有的n-1条曲线相交共有2(n-1)个交点，也就是说第n条曲线被前n-1条曲线分割成2(n-1)段弧线，而每一条弧线就会把原来的区域一分为二，即增加一个区域，所以共增加2(n-1)个区域 F（n）=f（n-1）+2(n-1)第14页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题问题的提出：一个z形曲线可以把一个平面分割成2部分。如图所示。求n个z形曲线最多能把平面分割成多少部分。写出递推式f(n)。【问题

10、分析】：根据上图容易得出：f（1）=2；f（2）=12。假设平面上已有n-1个z图形把平面分成了f（n-1）个区域。加入第n个z后，单独考虑第n个z的3条边，每一条边和前面的n-1个z共有3（n-1）个交点，即这条边被分成3（n-1）+1部分，所以增加3（n-1）+1个区域，3条边共增加3（3（n-1）+1）个区域。但是第n个z本身有2个交点，故少了2个区域，所以实际增加了3（3（n-1）+1）-2个区域。由以上得出：f（n）=f（n-1）+3（3（n-1）+1）-2 即：f（n）=f（n-1）+9n-8 初始条件：f（1）=2第15页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问

11、题：M分割平面问题二的扩展：在问题二的基础上进一步考虑：如果z图形扩展为m边的下列图形：看一下问题的解。通过上面的分析我们很容易知道：n个上述图形可以将平面划分的区域的递推关系：f（n）=f（n-1）+m（m（n-1）+1）-（m-1）初始条件：f（1）=2第16页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三3、Catalan数问题一：凸n边形的三角形剖分在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分数目用f(n)表之，f(n)即为Catalan数。例如五边形有如下五种拆分方案，故f(5)=5。求对于一个任意的凸n边形相应的f(n)。第17页

12、，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三区域是一个凸k边形，区域是一个凸n-k+1边形，区域的拆分方案总数是f(k) 区域的拆分方案数为f(n-k+1)，故包含P1PkPn的n 边形的拆分方案数为f(k)* f(n-k+1)种 F(n)= 第18页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题二：二叉树数目问题描述：求n个结点能构成不同二叉数的数目。【问题分析】：设F(n)为n个结点组成二叉树的数目。容易知道：f(1)=1;f(2)=2,f(3)=5选定1个结点为根，左子树结点的个数为i，二叉树数目f（i）种；右子树结点数目为n-i-1，二叉树数目f（n-i-1）

13、种，I的可取范围0，n-1。所以有：F(n)= 为了计算的方便：约定f（0）=1第19页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题三：出栈序列问题描述：N个不同元素按一定的顺序入栈，求不同的出栈序列数目。【问题分析】：设f（n）为n个元素的不同出栈序列数目。容易得出：f（1）=1；f（2）=2。第n个元素可以第i（1=i1,m1)第21页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三问题二：集合划分问题。设S是一个包含n个元素的集合，S=b1,b2,b3,bn,现需要将S集合划分为m个满足如下条件的集合S1,S2, Sm。Si;SiSj=;S1S2Sm=S; (1=

14、I ,j1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。第22页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三5 、其他：）集合取数问题设f(n,k)是从集合1，2，。，n中能够选择的没有两个连续整数的k个元素子集的数目，求递归式f(n,k)。【问题分析】：N有两种情况： 当n在子集时，则n-1一定不在子集中，即在1，2，。，n-2中选k-1个元素，数目为f(n-2,k-1)。 当n不在子集中时，则在1，2，。，n-1中选k个元素，数目为f(n-1,k)。所以：f(n,k)= f(n-2,k-1) +f(n-1,k)边界条件：F(n,1)=n,

15、 f(n,k)=0 ( n=k)第23页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三）整数划分问题将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。1，1，5; 1，5，1; 5，1，1;问有多少种不同的分法。输入：n，k (6n=200，2=k=2，可以先那出j个1分到每一份，然后再把剩下的I-j分成j份即可，分法有：f(I-j,j). 第二类 : j份中至少有一份为1的分法，可以先那出一个1作为单独的1份，剩下的I-1再分成j-1份即可，分法有：f(I-1,j-1).所以：f(I,j)= f(I-j,j)+

16、f(I-1,j-1)边界条件：f（i，1）=1，f（i，j）=0， （Ij）第24页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三 1 递归函数用数组实现求递推式的通项表达式： 31、迭加法 32、待定系数法 33、特征方程法 34、生成函数法递推式的求解方法：第25页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三1、递归函数 用递归函数来实现递推式是初学选手们采用最多的求解方法，只要设置正确的边界条件，相对来说比较容易实现。如：集合取数问题f(n,k)= f(n-2,k-1) +f(n-1,k) 边界条件：F(n,1)=n, f(n,k)=0 ( n=k)function

17、 f(n,k:integer):integer; begin if k=1 then f:=n else if n1,m1)边界条件：S2(n,1)=1；S2(n,n)=1；S2(n,k)=0(kn)。var s:array1.100,1.100 of longint; n,m,i,j:integer;begin read(n,m); fillchar(s,sizeof(s),0); for i:=1 to n do si,1:=1; for i:=1 to m do si,i:=1; for i:=2 to m do for j:=i to n do sj,i:=i*sj-1,i+sj-1,

18、i-1; writeln(sn,m);end.第27页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三3求递推式的通项表达式 31、迭加法一般符合下列形式的递推式可以使用迭代法。 F(n)=f(n-1)+g(n)其中：g(n)是关于n的线性表达式。F(2)=f(1)+9*2-8F(3)=f(2)+9*3-8F(4)=f(3)+9*4-8F(n)=f(n-1)+9*n-8以上n-1个等式相加得到：f(n)=f(1)+9*(2+3+4+n)-8*(n-1)即：f(n)=9*n*n/2-7*n/2+1如：平面分割问题二:f（n）=f（n-1）+9n-8初始条件：f（1）=2 第28页，共37

19、页，2022年，5月20日，19点39分，星期三32、待定系数法 适合下列格式的递推式： F(n)=a*f(n-1)+g(n) a1例1：Hanoi塔三柱问题：f(n)=2 f(n-1)+1， 边界条件：f(1)=1令：f(n)+A=2(f(n-1)+A) A为待定系数求得A=1, 即：f(n)+1=2(f(n-1)+1) 由等比数列性质得出：f(n)+12n-1(f(1)+1)=2n所以：f(n)2n1第29页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三例2： 求 f(n)=3f(n-1)+n2+n+2的通项。令: f(n)+An2+Bn+c=3(f(n-1)+A(n-1)2+B

20、(n-1)+c) A，B，C为待定系数。由于上述恒等成立，得：2A=12B-6A=03+3B+2C=0求出：A,B,C后，从而得出f(n)的通项 第30页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三33、特征方程法 如果a1, ,ak是常数，且ak=0,nk，则递推关系 F(n)= a1f(n-1)+a2f(n-2)+akf(n-k)称为k阶常系数线性齐次递推关系。它的特征方程是：Xk- a1Xk-1- a2Xk-2-ak=0只要求出特征方程的根，再由初始条件表达式中的待定系数，便可以得到原递推关系的解。如果特征方程有k个互不相同的解X1,X2,.Xk，则通解为：F(n)=c1X1n+c2X2n+.+ckXknc1 ,c2ck待定。第31页，共37页，2022年，5月20日，19点39分，星期三例：Fibonacci数列F(n)=f(n-2)+f(n-1); f(1)=1;f(2)=1解