超声层析成像理论与实现

1、超声层析成像理论与实现第1页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三英国从事超声成像的专家P. N. T Wells在2000年的文章超声成像技术的现状与未来一文中指出：“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份额，并且这种趋势还在继续增长。”Wells还指出：“目前成功地应用于医学领域的超声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。” “未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的超声成像设备，即使是这种设备

2、是不完美的。” 第2页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三主要内容一. 超声层析成像技术的发展历史二. 超声层析成像技术的基本模型及方法三. 问题的不适定性及其正则化四. 模型噪声的判断方法Picard准则五. 静态正则化技术在超声层析技术中的应用六. 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七. 总结与展望 第3页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三一. 超声层析成像的发展历史1. 折射系数层析成像方法 2. 衰减系数层析成像方法 3. 射线跟踪方法 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射 层析成像方法5. 基于精确场描述的层析成像方法 第4页，共49页，202

3、2年，5月20日，10点6分，星期三1.折射系数层析成像方法Refractive-index tomography 第5页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三2.超声衰减系数层析成像 Attenuation tomography 衰减系数 综合衰减系数 第6页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三3.射线跟踪方法 Ray Tracing Method 第7页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三4. 透射式衍射层析成像及反射式衍 射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场第8页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三从不

4、同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换第9页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三5. 基于精确场描述的层析成像方法第10页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三二. 超声层析成像技术的基本模型 及方法非齐次亥姆霍兹方程(Helmholtz Equation)1. 波动方程及其解第11页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三全场方程(Total Field Equation)(第二类Fredholm积分方程) 散射场方程(Scattering Field Equation)探测器方程(Detector Equation) 第12页，共49页

5、，2022年，5月20日，10点6分，星期三2. 积分方程的离散化矩量法第13页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三向量形式: 第14页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三3. 波动方程的近似 Born近似 Born逆解O 应满足的条件:第15页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三 Rytov近似 应满足的条件:第16页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三4. 基本方法Born迭代算法(BI) Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法 变形Born迭代方法(DBI) 第17页，共49

6、页，2022年，5月20日，10点6分，星期三Born迭代算法(BI) 求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 由方程求改变量求第18页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 变形Born迭代算法(DBI) 根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D求由方程求改变量第19页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法 代入第20页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三三.问题的不适

7、定性及其正则化适定性问题是指： 对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足： (1). 存在； (2). 唯一； (3). 连续地依赖于数据y。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Ill-posed）。 第21页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三离散不适定问题(Discrete Ill-Posed Problem) 若: (1). 矩阵A的条件数非常大，或者说矩 阵A的最大奇异值和最小奇异值之比 非常大； (2). 矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程组Ax=b 或最小二乘问题:第22页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三Tikhono

8、v正则化 L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为: 第23页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三四.模型噪声的判断方法: Picard准则离散Picard准则： 若方程组Ax=b的傅里叶系数 趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。 最小二乘解:Tikhonov正则化解:第24页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三受噪声污染和无噪声污染的Picard图 污染严重 污染较轻 第25页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三A 对比度为30时对比度为

9、20时对比度为10时第26页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三五. 静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法 Truncated Singular Value Decomposition (TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法 Truncated Total Least Squares (TTLS) 第27页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD) 对于线性方程组Ax=b 或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解:TSVD正则化解:第28页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三正则化参数的

10、选取方法 离差原理(Discrepancy Principle)方法 广义交叉验证(GCV)方法 L曲线(L-Curve)方法 减小时 增加时 由L曲线方法确定k采用一维搜索的方法确定更精确的k第29页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三TSVD方法的数值仿真结果 BACDE对比度为10时对比度为20时对比度为30时原始图像第30页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三迭代过程的相对误差和相对残差曲线第31页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三迭代过程的相对误差和相对残差曲线第32页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三2.截

11、断完全最小二乘正则化方法满足：最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：第33页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三截断完全最小二乘的步骤 1. 首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解：2确定截断参数kmin(n，rank(A，b)使得： 3. 记q=n-k+1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为： 第34页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三TTLS方法的数值仿真结果 原始图像对比度为10时对比度为20时对比度为30时第35页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三迭代过程的相对误差和相对残差曲线第36页，共49页，2022年，5月20日，

12、10点6分，星期三六. 迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls)2. LSQR方法第37页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三1.求解最小二乘问题的共轭梯度 方 法(cgls) 将共轭梯度法应用于法方程 相当于在Krylov子空间：产生的序列xk，使得：第38页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是 其中： 依赖于：(1).方程的右侧项b的特征； (2).矩阵A的奇异值的分布； (3).迭代的次数 第39页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三迭代次数增加，残差变化不

13、大，但解的范数受影响较大第40页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三正则化参数对迭代的影响第41页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10时原始图像对比度为20时对比度为30时第42页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30时的相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10第43页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三LSQR迭代方法 Lanczos三对角过程 Lanczos应用于将矩阵A双对角化Go

14、lub和Kahan(1965) Paige和Saunders(1982) 线性方程组Ax=b和应用于第44页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三LSQR方法的优点: 1. 速度快 2. 对不适定性问题数值稳定 3. 从迭代过程很容易求得数值分析的数值 第45页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三BACDE原始图像LSQR方法的数值仿真结果对比度为10时对比度为20时对比度为30时第46页，共49页，2022年，5月20日，10点6分，星期三七. 总结与展望首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。结论：静态正则化方法