公司最优投资方案的数学模型

1、 PAGE 75 公公司最优投资方案的数数学模型摘 要本文解决的是某某公司在未来来5年内最优的的投资方案问问题，通过对对该公司财务务分析人员提提供的数据（附附录一到四）的的统计分析，我我们建立了三三个最优化模模型。对于问题一，在在考虑该公司司现有资本及及收益的情况况下，以第五五年末所得利利润的最大值值作为目标函函数，以每年年的投资上限限和各项目投投资方式限制制作为约束条条件，建立了了单目标最优优化模型。然然后利用Liingo编程程求得该公司司在第五年末末可以获利润润17.411405亿元元，5年内最佳的的投资方案如如下表：项目12345678第1年5.15454453.003.84545553

2、.003.002.0000第2年00003.002.004.000第3年0000.61681183.002.0003.00第4年00.354.003.000000第5年5.52185593.00000000对于问题二，通通过使用EXXCEL软件件对历年数据据进行分析后后发现其波动动都很大，我我们采用将灰灰色预测和二二次指数平滑滑法组合的预预测方式进行行预测，预测测了今后五年年各项目独立立投资及项目目之间相互影影响下的投资资的到期利润润率，以样本本数据的方差差值作为各项项目的风险损损失率，运用用Matlaab编程求出出到期利润率率，并利用EExcel求求出风险损失失率，其具体体结果见表十十、十一

3、和十十二。对于问题三，结结合问题二的的预测结果，考考虑该公司争争取到的资金金捐赠，建立立了与问题一一相同的目标标函数，即第第五年末所得得利润的最大大值，改变了了约束条件。然然后利用Liingo编程程求得该公司司在第五年末末可以获利润润46.49932亿元，最佳的投资资方案如见表表十三。对于问题四，建建立了与问题题三相同的模模型，即目标标函数相同。问问题四是在问问题三的基础础上考虑了风风险投资率，即即增加了约束束条件。依照照该模型求得得该公司在第第五年末可以以获利润29.774449亿元，最佳的投资资方案见表十十四。对于问题五，问题重述1.1 问题背背景某公司现有数额额为20亿的的一笔资金可可作

4、为未来55年内的投资资资金，市场场上有8个投投资项目（如如股票、债券券、房地产、）可供公司作投资选择。其中项目1、项目2每年初投资，当年年末回收本利（本金和利润）；项目3、项目4每年初投资，要到第二年末才可回收本利；项目5、项目6每年初投资，要到第三年末才可回收本利；项目7只能在第二年年初投资，到第五年末回收本利；项目8只能在第三年年初投资，到第五年末回收本利。在本文中，我们们考虑提出该该公司最优的的投资方案。该公司的财务分分析人员收集集了8个项目目近20年的的投资额与到到期利润数据据时发现，在在具体对这些些项目投资时时，实际还会会出现项目之之间相互影响响等情况。而而在未来5年年的投资计划划中

5、，还包含含了对投资项项目1，公司司管理层争取取到一笔资金金捐赠，若在在项目1中投投资超过200000万，则则同时可获得得该笔投资金金额的1%的的捐赠，用于于当年对各项项目的投资；项目5的投投资额固定为为500万，可可重复投资以以及各投资项项目都有投资资上限（见附附录四）的情情况。1.2 需要解解决的问题 问题一：根据附录一一给出的数据据，确定五年年内如何安排排该公司的投投资计划，并并使得第五年年末所得利润润最大。 问题二：根据附录二二和三提供的的数据，预测测今后五年各各项目独立投投资及项目之之间相互影响响下的投资的的到期利润率率、风险损失失率。 问题三：考虑到未来来5年的投资资计划中的其其他情

6、况，根根据问题二预预测结果，确确定5年内如如何安排200亿的投资并并使得第五年年末所得利润润最大。 问题四：将投资风险险考虑到问题题三中的投资资问题，又该该如何决策。 问题五：为了降低投投资风险，公公司可拿一部部分资金存银银行，为了获获得更高的收收益，公司可可在银行贷款款进行投资，在在此情况下，公公司又应该如如何对5年的的投资进行决决策？ 模型的假设与符符号说明2.1 模型的的假设假设一：在投资资期内，我们们只考虑不可可预测因素引引起的平均风风险损失； 假设二：投资项项目以及银行行的利润率在在预测期内是是稳定不变的的；假设三：附录一一中给定的数数据真实可靠靠，具有较好好的代表性。 假设四四：只

7、考虑项项目3、4、55、6和5、66、8同时投投资时之间存存在相互影响响，其他情况况不做考虑。 假设五五：当用200亿资金投资资若干种项目目时，总体风风险可用所投投资的项目中中最大的一个个风险来度量量2.2 符号说说明符号符号说明投资项目，投资年份，项目在第年初的的投资金额项目在第年末到到期回收的本本利（本金和和利息的总和和）项目的预计到期期利润率项目的投资上限限第年末到期回收收的本利的总总金额表示第年初可用用于投资和存存款的总金额额第年初对所有项项目投资的总总金额公司用于投资的的本金（200亿）项目在第年投资资后到期的预预计到期利润润率项目的风险损失失率项目在第年投资资的实际利润润率第年初投

8、资金额额和存款金额额的总和第年末还贷款后后回收的总金金额公司第年存款的的金额公司第年贷款的的金额3.问题分析此题研究的是某某公司未来55年内的投资资资金的使用用问题，属于于经济模型中中的决策模型。虽然然我们针对问问题一、三和和四建立的三三个单目标最最优化模型的的目标函数相相同，但由于于各个项目都都有投资要求求和回收本利利的时间限制制，所以对于于不同的情况况，就具有不不同的约束条条件。针对问题一，考考虑到项目11、2每年初初投资，当年年年末回收本本利；项目33、4每年初初投资，要到到第二年末才才可回收本利利；项目5、66每年初投资资，第三年末末才可回收本本利；项目77只能在第二二年年初投资资，到

9、第五年年末回收本利利；项目8只只能在第三年年年初投资，到到第五年末回回收本利作为为约束条件，以以及初始资金金共20亿。以第五年末所所得利润最大大为目标函数，建立了了一个单目标标最优化模型型。针对问题二，要要对各项目独独立投资及项项目之间相互互影响下的投投资的到期利利润率进行预预测，首先，要要求出历年来来的各项目独独立投资及项项目之间相互互影响下的投投资的到期利利润率，然后后考虑采用插插值拟合对附附录二、三的的缺省值进行行预测，在选选择适合本问问题精度较高高的预测模型型，进行对比比后，我们采采用了综合灰灰色预测模型型和二次指数数平滑法的预预测方式。对对于风险投资资率，以样本本数据的方差差值作为各

10、项项目的风险损损失率。针对问题三，在在问题一的模模型上改变了了约束条件，即即各项目的投投资上限，项项目5的投资资额固定为500万且且可重复投资资和资金捐赠赠问题。结合合问题二的预预测结果，和和问题一相同同的目标函数数，建立了一一个单目标最最优化模型。针对问题四，是是在问题三的的投资问题上上增加了风险险投资率。也也就是将问题题三中的到期期利润率换成成实际利润率率即可求解。即即目标函数不不变，增加了了约束条件的的单目标最优优化问题。4.数据分析4.1 数据处处理题目附录四中给给出了各种投投资项目的方方案以及投资资上限，我们们利用Exccel软件和和Matlaab编程对这这些数据进行行了相关统计计分

11、析和处理理。 首先，我我们根据附录录二、三求出出项目独立投投资及项目之之间相互影响响下的投资的的到期利润率率。其中，整理求得后的数数据见附录五五、六（相关关程序见附录录）。4.2 数据预预测为方便分析以及及组合预测法法预测，我们们对附录二、三三的到期利润润率的缺省值值进行预测，采采用多项式插插值拟合的方方式。4.2.1 多多项式插值拟拟合的建立所谓插值，就是是由有限个已已知数据点，构构造一个解析析表达式，由由此计算数据据点之间的函函数值。曲线线拟合就是计计算出两组数数据之间的一一种函数关系系，由此可描描绘其变化曲曲线及估计非非采集数据对对应的变量信信息。我们选择项目一一历年的到期期利润率利用用

12、Excell软件对其分分析，见下图图。可见历年来，项项目一的利润润率变化波动动比较大，同同样的操作，发发现所有项目目的到期利润率波波动都比较大大。而且经过我们们统计分析，这这8个项目不不管是独立投投资还是同时时投资时，历历年来到期利润率的的波动性都比比较大。 所以，我我们采用三次次多项式的插插值拟合对数数据进行预测测。通过对每每组数据，使使用matllab构造解解析表达式，再再进行预测(相关程序见见附录)。 在本题题中，我们将将年份即从11986年开开始到20005年之间的的时间作为自自变量，设为为；到期利润润率作为因变变量，设为。其其中时间，从从1986年年开始，即设设为单位1，以以此类推。

13、4.2.2 预预测结果 通过插插值拟合对各投资项目目独立投资和和一些项目同同时投资时历历年的到期利利润率的缺省省值进行预测测的结果记录录于下表（具具体数据见附附录五、六）： 表一：各投资资项目独立投投资时0305年的到期利润润率及预测值值（加粗斜体体为预测值）项目1234567803年0.10390.18120.26400.37010.92911.1089.02073.901904年0.19080.18040.31830.41590.870.584211.255661.809005年0.13080.15480.50300.72612.129-0.0405513.824111.9558表二：一些

14、同时时投资的项目04、005年的到期期利润率及预预测值（加粗粗斜体为预测测值）项目同时投资3、44同时投资5、66同时投资5、66、8345656804年0.47090.47451.04452.30773.0729-0.90299-0.6520005年0.16310.72681.42992.77574.1562-1.63566-1.457995.问题一的解解答 问题一一要求确定55年内的投资资方案使得第第五年末所得得利润最大，且且属于无风险险投资。这是是线性规划中中的最优解问问题。针对问问题一，我们们建立了模型型一。5.1 模型一一的建立5.1.1 确确定目标函数数该模型是为了解解决公司在五五

15、年内如何安安排投资和在在第五年末所所获得的最大大利润。为解解决此问题，我我们将公司在在第五年末所所得利润的最最大值作为目目标函数。该公司第一年年年初只能对前前六个项目（项项目1，项目目2 项目6）进进行投资，且且6个投资项项目预计到期期利润率都大大于0（见附附录一），所所以第一年220亿全用于于投资。当第第一年年末将将本金和利息息都回收后再再在第二年利利用该资金对对一部分项目目进行再次投投资即可，所所以建立了如如下的目标函函数（第五年年末所得利润润值）：5.1.2 确确定约束条件件 （1）对对于这8个项目，每每年年初该公公司的投资金金额应不大于于其各自的投投资上限（见见附录一），即即：（2）每

16、年年初初总投资金额额应不大于所所有可投资的的金额（前一一年回收的本本金利润和），即即：其中，第一年的的总投资金额额不应大于220亿，则为为：注：=20亿元元表示第一年年年初可用于于投资的总金金额 （3）对对于项目1，2，每年初投投资，当年年年末回收本利利；对于项目目7只能在第第二年年初投投资，到第五五年末回收本本利；对于项项目8只能在在第三年年初初投资，到第第五年末回收收本利；则：特别地， （4）对对于项目3，4，每年年初初投资，第二二年末回收本本利，则：， （5）对对于项目5，6每年年初投投资，第三年年末回收本利利，则：，综合（1）、（22）、（3）、（44）和（5）可可得到，问题题一的约束

17、条条件。5.1.3 综综上所述，得得到问题一的的单目标最优优化模型 5.2 模型一一的求解根据上述的目标标函数，我们们利用Linngo编程（相相关程序见附附录八），求求出了该公司司5年内最佳佳的投资方案案（投资金额额（单位：亿亿元），具具体数据见下下表：表三：5年内最最佳的投资方方案（单位：亿元）项目12345678第1年5.15454453.003.84545553.003.002.0000第2年00003.002.004.000第3年0000.61681183.002.0003.00第4年00.354.003.000000第5年5.52185593.00000000根据上表的投资资方案，得

18、出出该公司在第第五年末可以以获利润177.414005亿元。其其数据的灵敏敏度分析同样样适用Linngo求解，具具体结果见附附录八。问题二的解答 对于问问题二，要预预测今后五年年各项目独立立投资及项目目之间相互影影响下的投资资的到期利润润率、风险损损失率，首先先要对提供的的数据进行处处理。我们已已经通过插值值拟合对附录录表二、三的的数据的缺省省值进行了预预测，见附录录五、六。6.1 模型二二的准备首先对今后五年年各项目独立立投资及项目目之间相互影影响下的投资资的到期利润润率进行灰色色预测，得到到的结果误差差较大（最高高的百分绝对对误差为5.3704%），又利用时间序列列预测模型中中的一、二、三

19、三次指数平滑滑预测法进行行预测，结果果也都不理想想。通过用一一、二、三次次的指数平滑滑法来预测119862005年年的到期利润润率，与真实实值比较后发发现，二次指指数平滑法的的预测效果要要好于其他两两种（具体对对比数据见附附录七）。 所以我我们采用组合合预测方法，组合预测方法就是先利用两种或两种以上不同的单项预测法对同一预测对象进行预测，然后对各个单独的预测结果做适当的加权平均，最后取其加权平均值作为最终的预测结果的一种预测方法。6.2 模型二二的建立 在本题题中，我们采用用灰色GM(1，1）法法和二次指数平滑滑法的组合预预测模型来预预测今后五年年各项目独立立投资及项目目之间相互影影响下的投资

20、资的到期利润润率。这里采用均方方误差确定加加权系数。 首先，我我们把19886-20005年分为两两个时间段，即即：前十年为为一段，后十十年为一段。然然后，我们分分别用灰色GGM(1，11）法和二次指数平滑滑法根据19986-19995年到期期利润率预测测1996-2005年年的到期利润润率。6.2.1 灰灰色预测模型型的建立 原始数据，原原始数据19986-19995年的到到期利润率数数据（即）表表示为 计算生成序序列，用GMM(1,1)建模时，首首先我们对原原始数据作一一次累加得到到序列可以得到相应的的的递增系列列 得到模型的的白化方程，首首先对计算紧紧邻均值生成成：接着我们根据GGM(1

21、,11)建模，写出灰灰色函数：根据最小二乘参参数估计法估估计参数矩阵阵再利用离散散数据系列建建立近似的微微分方程模型型，得到GMM(1,1)的白化方程即： 白白化方程的求求解，得到预预测值表达式式，其白色方方程的解为时时间响应函数数通过改变的值我我们可以得出出原始数据序序列的预测值值为：6.2.2 灰灰色模型的预预测在已知各投资项项目独立投资资和一些同时时投资的项目从从1986年年到20055年到期利润润率的前提下下，应用灰色色预测对06610年的到期利润率率进行预测。预预测结果见表表四、五。 表四：各投资资项目独立投投资时0610年的到期利润润率的预测值值项目1234567806年0.142

22、522 0.2292110.3640770.5186331.03061.366 4.2666 1.8849 07年0.141833 0.238588 0.364344 0.552297 1.01921.4694 4.5933 1.922508年0.141144 0.248344 0.36466 0.589959 1.0079 1.5806 4.945 1.9609 09年0.140466 0.258511 0.364877 0.628863 0.9967331.7003 5.3236 210年0.1397880.2690880.365133 0.6702260.98571.8295.73122

23、.0399 表五：一些同同时投资的项目从从0610年的到期期利润率的预预测值项目同时投资3、44同时投资5、66同时投资5、66、8345656806年0.462644 0.4787991.31430.332055 -1.713660.209466 0.881499 07年0.462433 0.4828221.4380.3823 -2.03447 0.191990.843066 08年0.4622220.4868991.5734 0.440166 -2.41559 0.175822 0.80631109年0.462022 0.490999 1.72155 0.506788-2.86866 0.

24、1610880.771166 10年0.461811 0.4951221.88350.583477-3.406220.1475880.737544 6.2.3 二二次指数平滑滑法的建立1原始数据据，原始数据据1986-1995年年设为时间序序列为，2取移动平平均的项数，则则移动平均数数的递推公式式有以作为的最佳估估计，则有； 3计算一次指指数平滑公式式，令，为加权系数数，对于该模模型我们采用用（通过比较较后的预测结结果，我们采采用误差较小小的0.2作作为加权系数数），以代替替，即得:，其中，得到一次指数平平滑公式为： 44建立二次次平滑指数公公式，根据一一次指数平滑滑公式，再做做二次指数平平滑

25、，利用滞滞后偏差的规规律建立直线线趋势模型，计计算公式为当时间序列，从从某时期开始始具有直线趋趋势时，可用用直线趋势模模型进行预测。 由于时时间序列的数数据较多，为为20个，初初始值对以后后的预测值影影响较小，所所以，我们选选用第一个数数据为初始值值。6.2.4 二二次指数平滑滑法的预测应用二次指数平平滑法对20062010年年的到期利润率率进行预测。预预测结果见表表六、七。 表六：各投资资项目独立投投资时0610年的到期利润润率的预测值值项目1234567806年0.1546 0.21710.32280.40460.97771.0282 4.6061 1.843807年0.1449 0.19

26、75 0.3983 0.56440 1.51320.5739 4.6846 1.932408年0.1486 0.21070.3716 0.53111 1.3740 0.7288 4.9539 1.9407 09年0.1469 0.21080.3857 0.57551 1.50470.6400 5.1469 1.981210年0.14740.21610.3835 0.588331.52740.64875.37042.0088 表七：一些同同时投资的项目从从0610年的到期期利润率的预预测值项目同时投资3、44同时投资5、66同时投资5、66、8345656806年0.5188 0.44161.1

27、1232.0812 2.2284-0.27077 0.0904 07年0.3686 0.57031.32332.5603 3.26877 -0.99977-0.77544 08年0.42070.53341.32292.5700 3.12188-0.89122-0.6755509年0.3919 0.5627 1.40700 2.76753.4498 -1.11777-0.96199 10年0.3955 0.56561.45732.88983.5878-1.21022-1.093886.2.5组合合预测模型的的建立 应用两两种预测法对对1996-2005年年的到期利润润率进行预测测。这10年年的实

28、际值与与预测值见附附录五。由11996-20055年预测值与与实际值的均均方误差（）确确定加权系数数。 （1）设设（）分别表示示预测值，实实际值和预测测数据个数，那那么由公式 可可分别求出灰灰色GM(11，1）法和和二次指数平平滑法的均方方误差，。故 ： 灰色GGM(1，11）法的权系系数： 二次指指数平滑法的的权系数： （2）设设分别表示灰色色GM(1，11）法和二次次指数平滑法法的预测值，则则组合预测值值为。6.2.6组合合预测模型的的预测 应用EExcel求求出灰色GMM(1，1）法法和二次指数数平滑法的均均方误差，及权系数，见下表八，表九：表八：各投资项项目独立投资资时的均方误误差和权

29、系数数项目123456780.01090.09660.05050.05000.48300.33852.85663.26840.01010.01340.04960.03880.31650.28273.39970.86400.48090.12150.49530.43660.39580.45510.54340.20910.51910.87850.50470.56340.60420.54490.45660.7909表九：一些同时时投资的项目目时的均方误误差和权系数数项目同时投资3、44同时投资5、66同时投资5、66、834565680.0663 0.03480.44050.5348 0.44510.

30、3038 1.3773 0.0618 0.03890.16460.4152 0.51511 0.30990.5516 0.48210.52770.27210.4371 0.536550.50500.28600.5179 0.4723 0.72799 0.56290.4635 0.49500.7140 6.2.7 模模型的精度检检验 为了检验验预测效果，我我们引入均方方根误差（RRoot MMean SSquareed Errror，简称称RMSE）对对预测性能进进行评价，它它是一种常用用的误差度量量标准，其计计算公式为：其中，是实测值值，为预测值值，为预测检检验个数。显然，该指标的的值越小说明

31、明预测精度越越高。我们采用均方根根误差对组合合预测法进行行精度检验，使使用的数据中中，预测值为为对199662000年年五年的组合合预测法计算算出的数据，实实测值是这五五年的真实数数据。采用EEXCEL软软件对数据统统计分析，将将计算得到结结果记录于下下表中：项目项目一0.0026331项目二0.0030228项目三0.0148886项目四0.0057221项目五0.1335772项目六0.1105220项目七0.1335772项目八0.3126334项目同时投资项目三三、四项目三0.0198001项目四0.0079443同时投资项目五五、六项目五0.0512883项目六0.1057772同时

32、投资项目五五、六、八项目五0.1311005项目六0.0499664项目八0.0816447 从上表表可以看出得得到的均方差差的值都较小小，将其与灰灰色预测模型型和二次指数数平滑法相比比较，发现其其效果稍好。说说明检验效果果很好。6.3 模型二二的求解 （1）对对该公司从200062010年年的各项目独独立投资及项项目之间相互互影响下的投投资的到期利利润率的组合合预测值为：表十：各投资项项目独立投资资时0610年的到期期利润率的预预测值项目1234567806年0.14880.21860.34320.45440.99861.18194.42161.852407年0.14340.20250.38

33、150.55921.31770.98144.63501.930308年0.14500.2153 0.368110.55661.22911.11654.94911.944909年0.14380.21660.37540.59851.30361.12255.24291.985110年0.14370.2225 0.374440.62411.31301.18595.56652.0153表十一：一些同同时投资的项项目从0610年的到期期利润率的预预测值项目同时投资3、44同时投资5、66同时投资5、66、8345656806年0.49170.46121.16731.31660.1135-0.028220.

34、316707年0.4138 0.524111.35451.60830.4234-0.39799-0.3125508年0.44070.50891.39111.63900.1508-0.35244-0.2517709年0.42570.52491.49261.77930.0600-0.47199 -0.4662210年0.42750.52841.57331.8817-0.16455-0.52455 -0.57000（2）风险损失失率 由于投投资越分散。总总的风险越小小，预测风险险损失率可以以通过方差分分析来实现。由此建立了如下的方差模型： 根据该该方差模型可可分别计算出出今后五年各各项目独立投投资及

35、项目之之间相互影响响下的投资的的风险损失率。 6.4 问题题二的结果最终今后五年各各项目独立投投资及项目之之间相互影响响下的投资的的到期利润率率的预测结果果见表十、十十一；风险损损失率的预测测结果见表十十二。表十二：各投资资项目独立投投资时0610年的风险险损失率（百百分比）的预预测值项目1项目2项目3项目4项目5项目6项目7项目80.0150000.0570000.1212000.0419001.0183881.0068444.2108662.383200同时投资项目33、4同时投资项目55、6同时投资项目55、6、834565680.0932000.0790000.7237000.9458

36、222.0443881.0377661.1184997.问题三的解解答 问题三是是在问题二的的预测结果基基础上，利用用公司争取到到的资金捐赠赠，确定合理理的投资方案案，使得第五五年年末公司司所得利润最最大，且属于于无风险有捐捐赠投资。模型三同模型一一，建立以公公司在第五年年末所得利润润的最大为目目标的单目标标最优化模型型。7.1 模型三三的建立7.1.1 确确定目标函数数 由于问问题三与问题题一的目标函函数相同，即即使第五年末末所得利润值值最大，我们们建立了如模模型一的目标标函数：7.1.2 确确定约束条件件由问题三可知，模模型三与模型型一在各项目目的投资回收收要求上具有有相同的约束束条件，再

37、结结合问题二的的预测结果，得得到关于各项项目投资回收收的新约束条条件为： （1）对对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对对于项目3，4：， （3）对对于项目5，6：，而对于问题三，该该公司未来55年的投资计计划中，还包包含以下情况况： （4）项项目5的投资资额固定，为为500万，可可重复投资，即即： （5）对对投资项目11，公司管理理层争取到一一笔资金捐赠赠，若在项目目1中投资超超过200000万，则同同时可获得该该笔投资金额额的1%的捐捐赠，用于当当年对各项目目的投资。为为方便建模，我我们定义了一一个判别函数数：即当在项目1中中投资超过220000万万时，；反之之，。则对各各项目投资

38、的的总金额和到到期回收的本本利总金额，有有：第一年，对于投投资项目1，2，3，4，5，6，有 第二年，对于投投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有第三年，对于投投资项目1，2，3，4，5，6，8 ， 第四年年，对于投资资项目1，2，3，4，有 第五年年，对于投资资项目1，2，有 综合（1）、（22）、（3）、（44）和（5）可可得到，问题题三的约束条条件。7.1.3 综综上所述，得得到问题三的的单目标最优优化模型 7.2 模型三三的求解根据上述的目标标函数，我们们利用Linngo编程（相相关程序见附附录八），求求出了该公司司5年内最佳佳的投资方案案（投资金额额（单位：亿亿元），具具体数据见下

39、下表十三： 表十三：55年内最佳的的投资方案（投投资金额（单单位：亿元）项目12345678第1年66.003.5030.052.0000第2年031.00863.000.052.004.000第3年031.62193.000.052.0003.00第4年4.7278993.003.503.000000第5年03.00000000根据上表的投资资方案，得出出该公司在第第五年末可以以获利润466.49322亿元。8.问题四的解解答问题四是在问题题三的基础上上，考虑投资资风险，即问问题四是有风风险有捐赠的的投资。目标标函数相同，针针对问题四，我我们建立了模模型四。8.1 模型四四的建立8.1.1

40、确确定目标函数数为使第五年末所所得利润值最最大，我们建建立了目标函函数：8.1.2 确确定约束条件件对于问题四，当当考虑投资风风险时，那么么投资时就要要考虑投资风风险率，即实实际利润率=到期利润率率风险损失率率；表示为：所以，对于问题题四，是在问问题三的基础础上考虑了风风险投资率；所以问题四四只需在问题题三的模型中中，将到期利利润率换成实实际利润率即即可求解。得得到关于各项项目投资回收收的新约束条条件为： （1）对对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对对于项目3，4：， （3）对对于项目5，6：，特别地，对于问题四，考考虑投资项目目1的捐赠问问题，同问题题三，使用判判别函数，即：对于第

41、一年，投投资项目1，2，3，4，5，6，有 对于第二年，投投资项目1，2，3，4，5，6，7 ，有对于第三年，投投资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有 对于第四年，投投资项目1，2，3，4，有 对于第五年，投投资项目1，2，有 综合（1）、（22）、（3）和和（4）可得得到，问题四四的约束条件件。8.1.3综上上所述，得到到问题四的单单目标最优化化模型 8.2 模型四四的求解根据上述的目标标函数，我们们利用Linngo编程（相相关程序见附附录八），求求出了该公司司5年内最佳佳的投资方案案（投资金额额（单位：亿亿元），具具体数据见下下表十四： 表十四：5年年内最佳的投投资方案（投投资金额（单单

42、位：亿元）项目12345678第1年63.003.5000.052.0000第2年3.472933802.82459913.000.052.004.000第3年0003.000.052.0003.00第4年6.003.0003.000000第5年03.00000000根据上表的投资资方案，得出出该公司在第第五年末可以以获利润299.774449亿元。问题五的解答 在问题五中，为为了降低投资资风险，该公司选择拿出一部分资金金存银行。针针对该问题，我我们建立了模模型五。9.1 模型五五的准备为了获得更高的的收益，当投投资风险率高高时，公司应应选择在银行行存大部分资资金，而用小小部分资金投投资；当投

43、资资风险率低时时，公司应选选择在银行贷贷款进行投资资。我们在网网上查得银行行的存款利润润率为3.550%（取中中国人民银行行一年定期存存款年利率），设设为，银行的的贷款利润率率为6.400%（取中国国人民银行中中长期贷款年年利率），设设为。9.2 模型五五的建立9.2.1 确确定目标函数数 模型型五的目标函函数是在模型型一的基础上上考虑了存款款本息以及利利息，即第五五年末还贷款款后回收的总总金额（包括括投资本利和和，存款本金金及利息），所所以建立了如如下的目标函函数：9.2.2 确确定约束条件件 （1）对对于项目1，2，7，8：，特别地，； （2）对对于项目3，4：， （3）对对于项目5，6：

44、，特别地， （44）考虑到投资项目的的风险损失率率及银行存款款和贷款，为为方便建模，定定义了如下的的判别函数：，它们分别表示当当投资风险率率高时，公司司应选择在银银行存大部分分资金，而用用小部分资金金投资；当投投资风险率低低时，公司应应选择在银行行贷款进行投投资。则对各各项目投资金金额和存款金金额的总和以以及还贷款后后回收的总金额，有： 第一年年，对于投资资项目1，2，3，4，5，6，有 第二年年，对于投资资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有 第三年年，对于投资资项目1，2，3，4，5，6，8 ，有 第四四年，对于投投资项目1，2，3，4，有 第五五年，对于投投资项目1，2，有 综合合（1）

45、、（22）、（3）和和（4）可得到，问问题五的约束条件件。9.2.3 综综上所述，得得到问题五的的单目标最优优化模型 9.3 模型五五的求解根据上述的目标标函数，我们们利用Linngo编程（相相关程序见附附录），求出出了该公司55年内最佳的的投资方案（投投资金额（单单位：亿元），具具体数据见下下表十三： 表十三：55年内最佳的的投资方案（投投资金额（单单位：亿元）项目12345678第1年66.003.5030.052.0000第2年031.00863.000.052.004.000第3年031.62193.000.052.0003.00第4年4.7278993.003.503.000000第

46、5年03.00000000根据上表的投资资方案，得出出该公司在第第五年末可以以获利润466.49322亿元。10.模型的评评价、改进及及推广10.1模型的的评价优点： （1）我我们考虑各个个项目都有投投资要求和回回收本利的时时间限制这些些要求以及该该公司现有的的资本，综合合以上，建立立的模型在一一定程度上可可使该公司在在第五年末获获得利润。 （2）在在预测分析中中，现有的很很多方法预测测结果往往不不够准确，问问题二中我们们采用了由预预测精度都较较高的灰色模模型和时间序序列模型中的的二次指数平平滑法组成的的预测法，使使预测结果较较为理想。缺点： （1）没没有对所有模模型进行模拟拟仿真。 （2）由

47、由于所给数据据太少且199862005年年之间的到期期利润率的波波动较大，在在统计数据时时不是很准确确，也给提高高预测的精确确度带来了困困难。 （3）问问题五中，由由于没有提供供银行每年的的贷款利润率率与存款利润润率，所以我我们假定该值值在这五年内内没有变化。然然而，事实上上银行的利润润率根据情况况每年是有所所改变的。所所以，导致我我们的投资计计划具有不合合理性。10.2 模型型的改进（1）查询更多多的数据，可可以将年到期期率提高为月月到期率，以以使得统计数数据和预测值值更准确。（2）所见模型型是针对当前前数据给出的的，而银行贷贷款以及利润润都是不断变变化的，所以以，如果建立立了动态模型型，能

48、得出更更加合理化的的投资方案。10.3模型的的推广 本文针针对公司投资资这一随机变变化的动态系系统，提出的的组合预测法法可以应用与与工程项目投投资和股票预预测的中长期期预测，且预预测率精度较较高。参考文献1 宋来忠忠，王志明,数学建模与与实验,北京：科学学出版社,22005。2 张志宇宇, 亢政刚刚，马尔可夫夫灰色模拟模模型及其程序序实现，天津津商学院学报报，第21卷卷，第3期，22001年55月。3 平平，刘刘大有，杨博博等，组合预预测模型在猪猪肉价格预测测中的应用研研究，计算机工程与科科学， 第332卷，第55期，20110年3月。附录 附录一一：投资项目目预计到期利利润率及投资资上限项目

49、12345678预计到期利润率率0.10.110.250.270.450.50.80.55上限（万元）6000030000400003000030000200004000030000 附录二： 各投资项项目独立投资资时历年的投投资额及到期期利润（万元元）项目123456781986投资额30035741430757554352301569774993到期利润4791261338910-795555862259189871987投资额72326886507079297480546330414830到期利润1211164221015395044-1158638693981988投资额3345565

50、9666575135978455850554501到期利润50762925401233-3608-611236832103551989投资额53086272633367494034739264424092到期利润78760283616168081494616834-72661990投资额45975294514853846220606860955270到期利润71136527651099223008319-19618-26971991投资额43785095597372946916627677636335到期利润756621254915595130-90282223027331992投资额6486

51、7821444955865812657762765848到期利润8469351078100693581318-59901247091993投资额69743393426854145589447268633570到期利润1489593195517409207423738552145111994投资额41164618547464735073634568663044到期利润353749204115487044-2291-3969145701995投资额74035033685967075377478352026355到期利润1117911139211687488146470314192451996投资额

52、42374996560355975231418168305018到期利润5719643077188172095721-2156850751997投资额30515707487738447434422253705960到期利润449868113811315196317399069148641998投资额75745052546036817936774563913861到期利润139695813721221584910740-27334-46261999投资额35105870569757013898721651354218到期利润364108914561757-62910770-24878-57862

53、000投资额68797396551656237471550131744210到期利润994155828641461776971518981218332001投资额35114780625569256598604348627988到期利润63811753230222380207916-46712213572002投资额36607741431543797120613136615393到期利润5381527115514944616641164239-115382003投资额4486475638715529580755763029到期利润4668621022204653956178118192004投资

54、额7280731264717760到期利润13891319206032272005投资额30825083到期利润403787 附录三： 一些投资项项目同时投资资时历年的投投资额及到期期利润（万元元）项目同时投资项目33、4同时投资项目55、6同时投资项目55、6、834565681986投资额4307575543523015435230154993到期利润102626861442263466782542-31451987投资额5070792974805463748054634830到期利润2188355830092935-386115120132701988投资额666575135978455

55、8597845584501到期利润327232224431440047941884-33561989投资额6333674940347392403473924092到期利润20502778344447330021549108201990投资额5148538462206068622060685270到期利6448-852-4651-15931991投资额5973729469166276691662766335到期利润2733354210300921720610559572831992投资额4449558658126577581265775848到期利润3005244831

56、810874750-179140001993投资额4268541455894472558944723570到期利润201526095168-29303170-235144601994投资额5474647350736345507363453044到期利润17822969-981241373041909070651995投资额6859670753774783537747836355到期利润3701263666955237952029105101996投资额5603559752314181523141815018到期利润35811809952844-26716334129701997投资额48773

57、84474344222743442225960到期利润15101724-1248984-42993307101701998投资额5460368179367745793677453861到期利润399614507717280380626753100501999投资额5697570138987216389872164218到期利润320424887598-4722-96814900-22942000投资额5516562374715501747155014210到期利润145421997518932165802131100602001投资额6255692565986043659860437988到期

58、利润325826468671-655111460-4521-80392002投资额4315437971206131712061315393到期利润266119842029203004379103544562003投资额3871552958075576580755763029到期利润180024437424863912680511221542004投资额64717760到期利润304736822005投资额到期利润 附录四：各投资项目目的投资上限限项目12345678上限（万元）6000060000350003000030000400003000030000附录五：各投资资项目独立投投资时历年的

59、的到期利润率率及预测值（加加粗斜体为预预测值）项目1234567886年0.15950.02190.31070.1581-1.8281.85273.2381.799987年0.16750.02380.43590.19410.6743-0.2122.11.945888年0.15160.11120.38110.1641-0.604-1.3417.2862.300689年0.14830.0960.13200.23942.00320.66912.613-1.77690年0.15470.06890.53710.20413.58521.371-3.22-0.51291年0.17270.12190.4268

60、0.21370.7418-1.4392.8640.431492年0.13040.120.24230.18011.61010.2004-9.554.225293年0.21350.17480.45810.32141.64730.94755.6174.064794年0.08580.16220.37290.23921.3885-0.361-5.781.501395年0.15090.1810.2030.17421.39260.306113.523.028396年0.13480.1930.54920.33611.37811.3683-3.161.011497年0.14720.15210.23330.294