复杂电力系统潮流的计算机算法

1、复杂电力系统潮流的计算机算法第1页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二课程内容第一节 电力网络方程第二节 功率方程及其迭代解法第三节 牛顿拉夫逊法潮流计算第四节 PQ分解法潮流计算第2页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二由前三章内容及电路知识，可知潮流计算的一般步骤：（求解节点电压和支路功率）Step1：计算各元件参数及等值电路Step2：由实际接线方式将各元件联接形成电网的等值电路Step3：由电路知识写出相应的网络方程，如节点电压方程：第3页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二 这个方程为已知节点导纳矩阵Y，节点注入电流

2、及待求量节点电压 的线性方程。Step4：线性代数求解，得出 ，进而就可以求出各支路的电流。第4页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二问题已知的不是 ，而是节点的注入功率S，但是这个方程是关于 的非线性代数方程。第5页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二因而第四章的内容包括：1、网络方程（复习）；2、功率方程（潮流基本方程）的形成及节点的分类；3、三种潮流计算方法高斯-赛德尔法、牛顿-拉夫逊法、PQ分解法，迭代求解非线性方程组。第6页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二课程内容第一节 电力网络方程第二节 功率方程及其迭代解法第三

3、节 牛顿拉夫逊法潮流计算第四节 PQ分解法潮流计算第7页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二一、两种网络方程1、什么是电力网络方程？电力网络方程是指将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来所组成的、可反映网络性能的数学方程。节点电压方程、回路电流方程、割集电压方程2、节点电压方程、回路电流方程3、电力系统计算通常采用节点电压方程第8页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二原因：1、独立的回路电流方程数往往多于独立的节点电压方程数；2、潮流计算需要求解的是各节点的电压4、重点介绍节点电压方程，回路电流方程参考书113114页上的内容。第9页，共104页

4、，2022年，5月20日，13点27分，星期二二、节点电压方程1、一般形式运用节点导纳矩阵建立的节点电压方程： Y 为节点导纳矩阵 为节点电压的列向量 为节点注入电流的列向量或第10页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二假设系统有 n 个节点（除参考节点外），将导纳矩阵 Y 展开得：第11页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二说明（1）节点注入电流可理解为各节点电源电流和负荷电流之和，并规定电源流向网络的注入电流为正，则负荷的负荷节点注入电流为负。（2）节点电压指各节点对地的电压。第12页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二2、

5、节点导纳矩阵Y的形成及元素定义（1）对角元素Yii（自导纳）自导纳 Yii 在数值上就等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点 j 注入网络的电流 。第13页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二图4-1 电力系统等值网络图4-2 节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定第14页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（2）非对角元素Yji（互导纳）互导纳 Yji 数值上就等于在节点 i 施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点 j 注入网络的电流 。Yji等于Yij。如果节点i、j之间没有直接联系，则互导纳Yji= Yij= 0。第15页，共1

6、04页，2022年，5月20日，13点27分，星期二互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称的稀疏矩阵。随着网络节点数的增加，非零元素相对愈来愈少，节点导纳矩阵的稀疏度，即零元素数与总元素数的比值也愈来愈高。图4-1 电力系统等值网络图4-2 节点导纳矩阵中自导纳和互导纳的确定第16页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（3）节点导纳矩阵Y的形成阶数、非零元素个数、数值、对称性（1）节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中出参考节点（大地）外的节点数 n 。（2）节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零对角元素个数就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。第17页，共104

7、页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（3）节点导纳矩阵的对角元素Yii 等于所有与节点 i 相连的支路导纳之和。（4）节点导纳矩阵的非对角元素Yij 等于连接节点i、j支路导纳的负值。（5）由于Yij=Yji，所以节点导纳矩阵一般是对称矩阵。第18页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二例题：第19页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第20页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第21页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第22页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第23页，

8、共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二例题4-1： 课后自己完成。第24页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（4）节点导纳矩阵的求解首先，将式 左右两边同乘以，有： 然后，消元法解线性方程组。第25页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（5）节点导纳矩阵的修改（1）/（2）若在节点i、j 之间增加（去掉）yij ,则：自导纳Yii、Yjj均加上（减去）yij；互导纳Yij、Yji均减去（加上）yij。（3）若节点i、j之间导纳由yij变为yij，则自导纳Yii、Yjj均先减去yij后加上yij ；互导纳Yij、Yji均先加上yij

9、后减去yij 。第26页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（4）原网络节点i 处引出一导纳为yij的支路。导纳矩阵增加一行，其对角元为yij，非对角元为-yij ；原导纳矩阵第 i 行对角元增加yij，增加非对角元-yij。（5）原网络节点i、j之间变压器变比由k*变为k*相当于先切除变比为k*的变压器支路，然后增加变比为k*的变压器支路。第27页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二课程内容第一节 电力网络方程第二节 功率方程及其迭代解法第三节 牛顿拉夫逊法潮流计算第四节 PQ分解法潮流计算第28页，共104页，2022年，5月20日，13点27分

10、，星期二一、功率方程1、功率方程的一般形式由有S 为节点注入功率。第29页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二在第 i 行展开(i=1,2,3n)根据节点电压的两种表达形式，将功率方程的实虚部展开后，得到两种坐标形式的功率方程。第30页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二(1) 直角坐标形式将代入 ，得第31页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二将实虚部展开，得p.130, (4-38)第32页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二(2) 极坐标形式将代入 ，得第33页，共104页，2022年，5月20日，1

11、3点27分，星期二定义节点电压相角差为 ，则上式可转化为将实虚部展开，得p.132, (4-45)第34页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二例题 ，图4-9简单系统的功率方程式。课后自学。第35页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二二、系统变量及约束条件负荷消耗的有功、无功功率：PL、QL 不可控变量或扰动变量，d电源发出的有功、无功功率：PG、QG控制变量，u母线或节点电压的大小和相位角：U、状态变量（受控制变量控制的因变量），x第36页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二电力系统运行必须满足的不等式及等式约束对控制变量的约

12、束：对状态变量的约束：功率平衡：发电=负荷+损耗第37页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二3、节点的分类假设系统有n个节点，功率方程数为2n。其中，已知或给定：导纳矩阵Y；给定 n 个节点（对）扰动变量PLi、QLi；给定一个节点（平衡节点）的Ui 和i ，其PGi、QGi不定待求：n-1个节点电压（2n-2个变量）待定：（n-1）对控制变量PGi、QGi（ 2n-2个变量）因此，必须给定2n-2个变量，才能求解方程。第38页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二三类节点PQ节点给定节点注入功率Pi、Qi 待求是节点电压的大小Ui 和相位角i 。按给

13、定有功、无功功率发电的发电厂母线和没有电源的变电所母线都可作为PQ节点。第39页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二PV节点节点的注入有功功率Pi和节点电压的大小Ui是给定的待求的则是等值电源的无功功率QGi和节点电压的相位角i有一定无功功率储备的发电厂和一定无功功率电源的变电所母线都可选为PV节点。第40页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二平衡节点（slack bus，松弛母线）节点电压的大小和相位角是给定的待求的是节点等值电源功率PGs、QGs平衡节点和网络的损耗功率密切相关，实际中担负调整系统频率任务的发电厂母线往往被选为平衡节点。第41页，

14、共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二潮流计算中为什么要设置平衡节点？!平衡节点的作用：（p.125）（1）作为全网络的参考节点， 。因为在功率方程中，母线或节点电压的相位角是以相对值（而不是绝对值）出现的。（2）起功率平衡的作用，使系统满足等式约束。潮流计算时一般（至少）只设一个平衡节点。第42页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二 二、高斯赛德尔迭代法又被称之为直接迭代求解例子：迭代格式：第43页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二对于电力系统功率方程的求解：迭代格式为:第44页，共104页，2022年，5月20日，13点27分

15、，星期二三、牛顿拉夫逊迭代法设有 f(x)=0，在x0处泰勒级数展开当x很小时，可以省略高次项，则有递推公式为：第45页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二将上述理念推广到非线性方程组：其近似解为 设近似解与精确解分别相差 第46页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二所以，将上式中任何一式都可以按泰勒级数展开 。第47页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二以第一式为例说明， 则是一包含 的高次方与f1的高阶偏导数乘积的函数。如 近似解与精确解相差不大，则 的高次方可略去，从而可略去 。 第48页，共104页，2022年，5月20

16、日，13点27分，星期二这是一组线性方程组，常称修正方程。第49页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二改写成矩阵方程为第50页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二简写为： 其中， 则称不平衡的列向量；J 称函数f 的雅克比矩阵 ； 为由 组成的列向量。 迭代更新：第51页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二例题试利用牛顿拉夫逊法求解非线性方程设初值为 （注：真解为 ）第52页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二解：第一次迭代第53页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二由牛顿拉夫逊法的修

17、正方程式，可得解上式有第54页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二所以第一次迭代的结果是： 第55页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第二次迭代可得第56页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二解上式得，所以，第二次迭代的结果是： 第57页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二依此类推，可以求得第三次迭代的结果为：已经十分接近真解（1.618）。当两次迭代之间的解的差值都小于迭代收敛条件（如 ），则可认为已经收敛，输出结果即可。 第58页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二具体求解步骤S

18、tep1：将 代入可得 、 中的各元素；Step2：运用任何一种求解线性方程组的方法，就可以求得 ；Step3：求得经过第一次迭代后 的的新值 ；Step4：将求得的 代入，又可求得中的各元素的新值 ，从而解得 以及第59页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二如此循环，最后可以获得下式足够精确的解 注意：运用这种方法计算时， 的初值要求比较接近它们的精确值，否则迭代过程可能不收敛。 第60页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二几点说明（1）牛拉法是一种线性化的方法，将非线性方程转化成线性化的修正方程。（2）牛拉法是线性收敛的，所以较高斯法要收敛的快，

19、但对初值要求高。（3）重点理解牛拉法的基本原理（线性化递推迭代方法求非线性代数方程）和求解步骤。第61页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二课程内容第一节 电力网络方程第二节 功率方程及其迭代解法第三节 牛顿拉夫逊法潮流计算第四节 PQ分解法潮流计算第62页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二设系统中有n个节点，编号为1,2,3,n；网络中有m个PQ节点，编号为1,2, ,m；网络中有n-m-1个PV节点，编号为m+1,m+2, ,n1 ;网络中有一个平衡节点，编号为n。第63页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二一、潮流计算的

20、修正方程式（1）PQ节点的功率方程式式中， 、 都是给定值，待求量为 和 第64页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（2）PV节点的功率方程式 式中， 、 都是给定值，待求量为 和 第65页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（3） 平衡节点的功率方程式式中， 、 都是给定值，待求量为 和 第66页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二在潮流计算中实际上需要求解的非线性方程组为包含n-1个有功功率方程和m个无功功率方程，总共n+m-1个 。第67页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二已知量为 （n-1个）和

21、 （m个）,未知量为 （m个）和 （n-1个），已知量和未知量的个数都是n+m-1个 。未知量就是PQ节点和PV节点的电压相位和PQ节点的电压幅值。第68页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二求解非线性方程组的步骤（1）将待求的电压相位和模值写成向量形式 从而组成全部变量第69页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（2）令仿照 ，可以得出修正方程式为 第70页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二注意 上式中采用了 来代替 的修正量 为什么？第71页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二原因：以后将会看到，这样

22、做的目的是为了使雅克比矩阵中各元素的计算式在形式上一致，以便简化雅克比矩阵元素的计算，而这并不影响计算的收敛性和计算结果的精度。 第72页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二雅克比矩阵中的各元素如下： （1）非对角元素 第73页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二并有如下的关系：第74页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（2）对角元素第75页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二修正方程式可以写成 雅克比矩阵中的分块矩阵的元素是在未知量的取值为 时计算而得的 。第76页，共104页，2022年，5月20日，

23、13点27分，星期二对修正方程式进行求解后，可以得出修正量 ，所以第77页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二总结上面两式是组成牛顿法计算潮流的迭代公式 。形成雅克比矩阵和求解修正方程式是牛顿法潮流计算的主体。第78页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（1）雅克比矩阵的阶数为n+m-1 ；（2）如果节点i和节点j之间的互导纳 ，则雅克比矩阵各子矩阵H、N、M和L中的相应元素也等于零，因此雅克比矩阵也是稀疏矩阵；（3）雅克比矩阵中两个对角子矩阵H和L是不对称的 ；第79页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（4）雅克比矩阵中各元

24、素都是节点电压幅值和相位的函数 。在整个迭代过程中，所有元素都将随着节点电压相量的逐次修正而不断变化。因此，每次迭代要重新计算雅克比矩阵中的各个元素，从而增加了计算工作量，这是影响牛顿法潮流计算速度最重要的因素。 第80页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二需要指出的是，1、在实际潮流计算中，平衡节点的编号并不一定放在最后，而PV节点的编号也不一定在PQ节点之后，而且系统中可以没有PV节点。2、以上潮流计算公式的推导都是建立在节点电压采用极坐标的情况下进行的 。第81页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二二、潮流计算的基本步骤（1）输入系统的原始数据

25、，包括系统的信息，各线路和变压器所在节点的编号和等值电路中的参数；各负荷所在节点的编号及其所取用的有功功率和无功功率；作为PQ节点的发电机所在节点的编号及所给定的有功功率和无功功率，PV节点的编号和所接发电机的有功功率和电压有效值的给定值，平衡节点的编号和给定的电压有效值。 第82页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（2）形成节点导纳矩阵 。（3）给定各PQ节点的电压初值和除平衡节点外各节点电压相位的初值，并组成待求量的初始向量 。（4）应用 及PV节点和平衡节点所给定的电压 ，计算有功功率误差 和无功功率误差 ，组成功率误差向量 和 。 第83页，共104页，2022

26、年，5月20日，13点27分，星期二（5）应用 计算雅克比矩阵元素，并形成雅克比矩阵。（6）解修正方程式 ，求得（7）计算各节点电压和相位的修正值，即新的初值。 第84页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（8）检验是否收敛，否则置 ，返回第（4）步继续进行下一轮迭代 。第85页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二（9）计算平衡节点注入的功率，计算PV节点注入的无功功率，计算各元件上的功率、损耗等，并输出计算结果。 平衡节点功率：元件两端的功率分布：第86页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二元件中的功率损耗为第87页，共104

27、页，2022年，5月20日，13点27分，星期二课程内容第一节 电力网络方程第二节 功率方程及其迭代解法第三节 牛顿拉夫逊法潮流计算第四节 PQ分解法潮流计算第88页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二一、问题的提出影响牛拉法计算速度的因素主要有两个;（1）阶数高。设系统中有n个节点，其中有m个PQ节点、n-m-1个PV节点和一个平衡节点时，阶数就为n+m-1.（2）每次迭代均需要重新计算雅克比矩阵J。因此需要提出一种方法来改善。PQ分解法第89页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二 P-Q分解法的基本原理是： 结合电力系统的特点，把有功功率的不平衡

28、量作为修正电压相角的依据，把无功功率的不平衡量作为修正电压值的依据，从而将有功功率和无功功率分别进行迭代求解 。第90页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二P-Q分解法是一种简化的牛拉法，两个简化：第一个简化：解耦考虑电力网络中各元件的电抗般远大于电阻（即 ）：各节点电压模值的改变主要影响网络中的无功功率分布，而有功功率分布主要决定于节点电压的相角。因而可以将式中子阵N和M略去。 第91页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二或写成这样就将原来n+m-1阶雅克比矩阵分解成一个n-1阶的H阵和个m阶的L阵。第92页，共104页，2022年，5月20日，13点27分，星期二第二个简化：使H、L阵变成常数阵。前提：1、考虑电网中两节点电压的相角差 不大，可以认为 2、又因为 所以