电子科技大学计算机控制技术复习2

1、离散系统稳定的条件是全部闭环极点在Z平面的单位圆内。离散系统稳定性的判断已经知道了离散系统稳定的条件是全部闭环特征根在单位圆内，现在的问题是如 何判断离散系统的闭环特征根是否在单位圆内。1.修正的Routh稳定性判则连续系统中的Routh稳定判据，实质上是用来判断系统闭环特征方程的根是否都 在左半S平面。而离散系统的稳定性需要确定系统特征方程的根是否都在Z平面的单 位圆内。因此在Z域中不能直接套用Routh判据，如果把Z平面再映射到S平面，则 离散系统的特征方程又将成为S的超越方程。因此，引入新的坐标变换，将Z平面变 换到W平面，使得Z平面的单位圆内映射到W平面的左半平面。这种变换，通常称 为

2、巧变换。w变换式为w +1Z =w 一 1经过w变换之后，判别系统的闭环特征根，即1 + GH(z) = 0的所有根是否位于乙平面的单位圆内，转换为判别特征方程1 + GH(w) = 0的所有根是否位于左半w平面。后一种情况正 好与在S平面上应用Routh稳定判据的情况一样，从而可以在W域直接应用Routh判据， 称之为修正的Routh稳定判据，来判断离散系统的稳定性。例设离散系统的特征方程为F(z) = 45z3 -117z2 -119z - 39 = 0试判别该系统的稳定性。解：先进行w变换I( w + 1 3( w + 1 2( w + 1。F(w) = F(z)| 川=45 - -11

3、7 - -119 - 一 39 = 0z= 1 v w 1) w 1)v w 1)化简得40 w3 + 2 w2 + 2 w +1 = 0列出Routh阵列 TOC o 1-5 h z w3402w221w1180w010根据劳斯判据，第一列数值变换两次，F(w)在W右半平面有两个根，故该采样系统有两 个根在单位圆外，因此系统不稳定。例如图4-6例如图4-6所示的系统，为保证系统闭环稳定，放大系数K的倍数的取值范围。图4-6例34的系统结构图F(z) = 45z3 -117z2 -119z - 39 = 0试判别该系统的稳定性。解：该系统的广义对象为() K K(0.368z + 0.264)

4、G(Z片”-Z-1 勺 = G-俱-0.368)系统的闭环传函为C (z)_ G (z) _/K(0.368z + 0.264)RZ) _ 1 + G(z) _ z2 +(0.368K - 1.368)z +(0.264K + 0.368)特征方程为F (z) = z 2 +(0.368K - 1.368)z +(0.264K + 0.368)= 0令z =，进行w变换并化简得w 一 10.632Kw2 + (1.264 - 0.528K W +(2.736 - 0.104K )= 0列Routh表W2W20.632K2.736 - 0.104Kw1 1.264 - 0.528K0w 2.73

5、6 - 0.104K0欲使系统稳定，则有0.632K 0 02.736 - 0.104K 0取其交集，得0 K 0-1) nF 司 01z=-1因此，判断系统稳定性可用如下步骤：判断必要条件是否成立，若不成立，系统不稳定;若必要条件成立，再构造Jury表进一步判断。设离散系统的特征方程为(4-4)F(z) = a zn + a zn-1 +. + a z + a = 0(4-4)式中 0。构造Jury表如表4-1所示。表中，表中，第(i - 2 )行j列元素一第(i -1)行j列元素x上两行末列元素之商，也就是说b = a -、-a ，c = b 一匕-b ，m = l -匕-1 k k a

6、n-k k k b n-k 00 l 1则线性定常离散系统稳定的充要条件为：Jury表中所有奇数行第一列元数均大于零。即满足a 0b 00 0.m初0时方程的全部特征根位于单位圆内，对应的系统是稳定的。若其中有小于零的系数，则其个 数等于特征根在Z平面单位圆外的个数。例已知系统的特征方程为F(z) = z3 + 0.48z + 0.2 = 0，试判断其稳定性。解：检验必要条件F (1) = 1 + 0.48 + 0.2 = 1.68 0(-1)n F(-1) = (-1)3 (-1 - 0.48 + 0.2) = 1.28 0满足系统稳定的必要条件，再构造Jury表如下100.480.20.2

7、-0.20.4801x 10.96 - 0.096 0.48-0.48 - 0.096 0.96 x0480.960.72- 0.048- 0.048-00480.72 x0.720.7168Jury阵列奇数行首列系数均大于零，故系统稳定。二阶离散系统稳定充要条件的简便形式:|F (0)| v 1 0F (-1) 0也就是说，对于二阶离散系统，如果式(4-6)成立，则系统稳定。一、 k例已知采样系统如图4-7所示，其中如=和)，1秒，试求使系统稳定的k 值范围。解：开环传函为G (z) = (1 - z -1) Z k (S + 1)_ k(0.368z + 0.264)z2 -1.368z

8、+ 0.368闭环特征方程为F (z) = 1 + G (z) = z 2 + (0.368k -1.368) z + (0.368 + 0.264k) = 0该系统为二阶系统，为使系统稳定，须满足二阶离散系统稳定的充要条件:F(0) = 0.368 + 0.264k 1即一1 0.368 + 0.264k 1，解得-5.18 k 0即 0.632k 0，解得 k 0 F(-1) = 1 - (0.368k -1.368) + (0.368 + 0.264k) 0即-0.104k + 2.736 0，解得k 26.3综合起来，得到系统稳定时k值范围为0 k 2.39离散系统稳态误差的定义连续系

9、统的误差信号定义e(t) = r (t) - c(t)稳态误差为上述误差的终值，即e = lim e(t)SS t 3连续系统中误差及稳态误差的定义可以推广到离散系统中，不同的是，离散系统的稳态误差只对采样点而言。因此，离散系统的误差定义为e*(t) = r *(t) - c*(t)稳态误差定义则为e* = lim e*(t) = lim e(kT)k 3离散系统稳态误差的计算静态误差系数法一、终值定理法静态误差系数法一、终值定理法e* = lim(1 - z-1) - E (z)ssz t1=ssz t1=lim(1 - z -1)-z t111 + D (z )G (Z)R( z)二、静态

10、误差系数法K = lim D (z )G (z)P zr11 .K =-lim( z -1) D( z )G (z)v T z. T11K =一lim(z -1)2 D(z)G(z)a T 2 z-1下面给出“0”型、“I”型和“II”型系统在三种典型输入下的稳态误差，如表4-2所示。表4-2采样系统的稳态误差召*ssr (t) = 1(t)r(t) = tr (t) = 12/2“0”型系统1/ ( + k )88“I”型系统01 k8“II”型系统001 ka11.采样系统的方框图如图8-1所示。设采样周期T = 0.1秒，试确定系统分别 在单位阶跃、单位斜坡和单位抛物线函数输入信号作用下

11、的稳态误差。答案：系统的开环传递函数为G (G (s)=s(0.1s +1)系统的开环脉冲传递函数为G( zG( z) = Z G (s)=z (1 - e-1)(z -1)(z - e-1)0.632z(z -1)(z - 0.368)为应用终值定理，必须判别系统是否稳定，否则求稳态误差没有意义。系统闭环特征方程为D (z) = 1 + G (z) = 0即(z -1)(z - 0.368) + 0.632z = 0z 2 - 0.736z + 0.368 = 0入 w +1令z =代入上式，求得w -1D( w) = 0.632w2 + 1.264w + 2.104 = 0由于系数均大于零

12、，所以系统是稳定的。先求出静态误差系数:静态位置误差系数为=lim G=lim G (z)=z t1limz t10.632z(z -1)(z - 0.368)静态速度误差系数为K = lim(z - 1)G(z) = lim 0.6322 = 1 vzT1zT1 z - 0.368静态加速度误差系数为K = lim(z -1)2 G(z) = lim(z -1) 0.632z = 0azT1zT1z - 0.368所以，不同输入信号作用下的稳态误差为单位阶跃输入信号作用下e= 1，=0ss 1 + K P、，人、，T 0.1单位斜坡输入信号作用下e = = 0ss K 1T 2单位抛物线输入信号作用下es= = 8a12.设离散系统如图8-2所示，其中，G(s) = 1s(s +1), T = 1s，输入连续信号r(t) 分别为1(t)和t，试求离散系统的稳态误差。图8 2题12系统结构G(s)的z变换为G( z) = z E=芸与系统的误差脉冲传递函数中(z) = = (i68)e1 + G(z)z2 - 0.736z + 0.368闭环极点z = 0.368 + j0.482,