大学生数学竞赛(非数)试题及答案

1、大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.专总1：业四1分分得分注意：1 所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸.上一律无效.2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关线封年：级得分一、填空（每小题5分，共20分）.评1 cosx(1)计算lim=.阅人x0 xcos x)院在所f(x)3x2(2)设f(x)在x 2连续，且lim存在，则f =.密x21：校(3)若ft) limt ) ，则f t) .2txxx(4)已知f(x)的一个原函数为ln2x，则 xf(x)dx=.1 .3.(2te2 .2lnxln2xC.

2、t2证份身（5分）计算 yx dxdy，其中2得分评：号D0 x 0 y 1.阅人x dxdy=(x y)+ y(yx ) - 2分222DD :yx2D :yx212 x211=1dx (x y)dy+( )y x dy-4分2dx2x201100姓：名-5分.305 分）设y sin f (x )，其中 具有二得分评阅2f阶人导数，求d2y .2dydx 2 (x )cosf(x ),分22d2y 2f (x )f(x )4x f (x )f(x )4x f (x f(x 2222222222分2f (x )cosf (x )4x f (x )cosf (x )f (x ) sinf (x

3、 )=222222220分.得分评阅1 lnae 32e dx a的xx30值.人12lna 32lna 32e dx e d e2 )-3分exxxx00令32e t，所以x1lna 32 32atdt-6分ee dxxx2011 232= t-7分32a12 31= 2a) ，-9分33111由lnae 32e dx ，故 2a) = ，-12分0 xx3333即 2a)3 =0-13分亦即32a 0-14分3所以a -15分.25得分评阅 分）求微分方程xy ye 0 x满足条件y e 的特解.人x1专1exy分y：业xx e1dxee1dxC分xyxxxexe dxC分=elnlnxx

4、x 线年1：级 e dxC 分=xx1(e C)分=封xx1所以原方程的通解是y (e C).-8 分xx院在所再由条件 ，有eeC，即C0，-9 分yex1密：校ex因此，所求的特解是 y .-10 分.x六（10 f(x)在(a,b)内具有二阶导得分评阅证份身 f (x ) f (x ) f (x )a x x x b(x ,x )人12312313内至少有一点 ，使 f( )0。：号证：由于 f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以 f(x)在x ,x 上连续，12在(x ,x )内可导，再根据题意 f(x ) f(x )，1212由罗尔定理知至少存在一点 (x ,x )，使 f( )=

5、0；-3 分11215姓：名同理，在x ,x 上对函数 ( ) 使用罗尔定理得至少存在一点f x23(x ,x )，使f( )=0；-6分2232对于函数 ( ) ( )在 ， ）f x f x1212内可导，且f( )=f( )=0，由罗尔定理知至少存在一点 （ ， 1212使 ( ) 0，而 ， ） (x ,x )，故结论得证-10分.f 1213专：业得分评阅y e y分）已知曲线 ， 和直线 0 ，xxx人x 1围成平面图形 .D（1）求平面图形 的面积 ；DA（2）求 绕x轴旋转所成立体的体积.DA1(e x)-2分x线封年0：级(e cosx) -4分x10ecos12-5分（2）因为 bx dx( ) ，-6分V f2xa所以 1( sin ) -9分Ve22x dxx院在所x0密1111=e x sin2x -11分：校2x224011 1=(e 2 -13分222 4121证份身=( 1 .-15分.e22：号得分评阅分）设u f(x,y,z)有连续的一阶人y y (x)及z z(x)分别由5姓：名下列两式确定：sintdudt，求 .dxe xy 2和e xzxt0 f f f ， x y z 解：（1）-4分由e xy 2两边对x求导，得dydye (y x )(y x )=0，-7分xydxdxdydxyx即 -9分sint又由e xzdt两边对