电磁场与波时变电磁场

1、电磁场与波时变电磁场第1页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 静态场:场大小不随时间发生改变(静电场,恒定电、磁场) 时变场:场的大小随时间发生改变。特性：电场和磁场相互激励，从而形成不可分隔的统一的整体，称为电磁场。特性：电场和磁场相互独立，互不影响。第2页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 时变电磁场 在时变电磁场中，电场与磁场都是时间和空间的函数；变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦提出位移电流假说，将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组概括。电磁场基本方程组

2、是研究宏观电磁现象的理论基础。第3页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五一、电磁感应现象与楞次定律电磁感应现象实验表明：当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中会出现感应电流。 楞次定律：回路总是企图以感应电流产生的穿过回路自身的磁通，去反抗引起感应电流的磁通量的改变。5 .1 法拉第电磁感应定律 法拉第电磁感应定律：当穿过导体回路的磁通量发生改变时，回路中产生的感应电动势与回路磁通量的时间变化率成正比关系。数学表示：说明：“-”号表示回路中产生的感应电动势的作用总是要阻止回路磁通量的改变。二、法拉第电磁感应定律 第4页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五当

3、回路以速度v运动时，说明：感应电动势由两部分组成，第一部分是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二部分是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动势第5页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五斯托克斯定理法拉第电磁感应定律微分形式物理意义：1、某点磁感应强度的时间变化率的负值等于该点时变电场强度的旋度。 2、感应电场是有旋场，其旋涡源为 ，即磁场随时间变化的地方一定会激发起电场，并形成旋涡状的电场分布。 当回路静止时，变化的磁场能产生电场第6页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五磁悬浮列车第7页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，

4、星期五矛盾5 .2 位移电流和全电流定律第8页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五其中，是电位移矢量对时间的变化率，具有电流密度的量纲，称为位移电流密度 : 位移电流 第9页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五对任意封闭面S有 全电流连续性原理 物理意义：全电流的散度为0，它是连续的！穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff )电流定律: I=0。 第10页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 全电流

5、定律 由积分形式：物理意义：该定律包含了随时间变化的电场能够产生磁场这样一个重要概念，也是电磁场的基本方程之一。磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。 推广的安培环路定理全电流定律变化的电场能产生磁场第11页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五例：在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：该时变场相伴的磁场强度 ；例题0第12页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五解：(1)由法拉第电磁感应定律微分形式第13页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五第14页，共75页，2022年，5

6、月20日，6点32分，星期五设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容器的电流I与U的关系。 图 平板电容器 例 5 .2第15页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五解： 设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得 式中C=A/d为平板电容器的电容。 第16页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五试用麦克斯韦方程组导出图示的RLC串联电路的电压方程(电路全长远小于波长)。 图 RLC串联电路 例5.3第17页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五解: 沿导线回路l作电场E的闭合路径积分, 根据麦氏方程式(a)

7、有 上式左端就是沿回路的电压降, 而是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得 设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为, 其中电场为J/, 故 第18页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五电感L定义为m/I, m是通过电感线圈的全磁通, 得 通过电容C的电流已由例2 .2得出: 设外加电场为Ee, 则有 第19页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五因为回路中的杂散磁通可略, d/dt0, 从而得 这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形, 设角频率为, 上式可化为 第20页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星

8、期五5 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 5.3 麦克斯韦方程组Maxwells Equations 第21页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五（推广的安培环路定律）（法拉第电磁感应定律）（磁通连续性定律）（高斯定律）一、麦克斯韦方程组的微分形式第22页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 时变电磁场的源： 1、真实源（变化的电流和电荷）； 2、变化的电场和变化的磁场。 时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。 物理意义： 时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场

9、。 在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。 电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。第23页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五麦克斯韦方程组的地位：揭示了电磁场场量与源之间的基本关系，揭示了时变电磁场的基本性质，是电磁场理论的基础。二、麦克斯韦方程组的积分形式第24页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五麦克斯韦方程组是描述宏观电磁现象的普遍规律，静电场和恒定磁场的基本方程都是麦克斯韦方程组的特殊情况。电流连续性方程也可以由麦克斯韦方程组导出。在麦克斯韦方程组中，没有限定场矢量D、E、H、B之间的关系，它们适用于任何媒质，通

10、常称为麦克斯韦方程组的非限定形式 第25页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五本构关系 将本构关系代入麦克斯韦方程组，则得麦克斯韦方程组限定形式与媒质特性相关。三、麦克斯韦方程组的限定形式麦克斯韦方程组限定形式Constitutive equations第26页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 若媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ; 若媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 若媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ; 若媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色

11、散(dispersive) 媒质。四、媒质的分类第27页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五在无源区域中充满均匀、线性、各向同性的无耗媒质空间中,由麦克斯韦方程组,=0,J=0无源区电场波动方程同理，可以推得无源区磁场波动方程为：5.3.2 无源区的波动方程wave equations for source-free medium第28页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五式中为拉普拉斯算符，在直角坐标系中而波动方程在直角坐标系中可分解为三个标量方程 波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。 电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下求解波动方程

12、。第29页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五令： ，故： 动态矢量位和标量位 静态场中为问题简化引入了标量位和矢量位。 时变场中也可引入相应的辅助位，使问题的分析简单化。第30页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五洛伦兹规范条件令动态位满足的方程第31页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五动态位满足的方程达朗贝尔方程第32页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五一、一般媒质分界面上的边界条件( )5-4 电磁场的边界条件在不同媒质的分界面上，媒质的电磁参数、发生突变，因而分界面处的场矢量E、H、D、B也会突变，麦克斯韦方程

13、组的微分形式失去意义。此时，有限空间中场量之间的关系是由积分形式的麦克斯韦方程组制约的，边界条件就由它导出。 1、 的边界条件The boundary conditions for time-varying fields 第33页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 为表面传导电流密度。式中： 为由媒质21的法向。 特殊地，若介质分界面上不存在传导电流，则结论：当分界面上存在传导面电流时， 切向不连续，其不连续量等于分界面上面电流密度。当且仅当分界面上不存在传导面电流时， 切向连续。第34页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 2、 的边界条件结论：只要磁感

14、应强度的时间变化率是有限的， 切向连续。 3、 的边界条件结论：在边界面上， 法向连续。第35页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 4、 的边界条件 为分界面上自由电荷面密度。特殊地：若媒质为理想介质，则 ,此时有 当分界面上存在自由电荷时， 法向不连续，其不连续量等于分界面上面电荷密度。 当且仅当分界面上不存在自由电荷时， 法向连续。第36页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 5、J的边界条件第37页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 在理想介质分界面上，不存在自由电荷和传导电流。二、理想介质分界面上的边界条件 在理想介质分界面上，

15、 矢量切向连续 在理想介质分界面上， 矢量法向连续Boundary conditions Between two Perfect dielectrics第38页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 在理想导体内部 ，在导体分界面上，一般存在自由电荷和传导电流。 式中： 为导体外法向。三、理想导体分界面上的边界条件 对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，磁场总是与理想导体相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric第39页，共75页，2022年，5月20日，6点32分

16、，星期五 时变场的边界条件包括四个关系式。可以证明它们并不是相互独立的，当满足两个切向分量的边界条件的，必定满足两个法向分量的边界条件。说明： 在理想介质的分界面上，用于定解的边界条件为 ，分析电磁波在理想介质分界面上的反射和透射时就要使用这个边界条件。 理想介质和理想导体只是理论上存在。在实际应用中，某些媒质导电率极小或者极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。 在理想介质与理想导体的分界面上，用于定解的边界条件为 或 。分析电磁波在理想导体表面上的反射时就要使用这个边界条件。第40页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 例 5.4 设平板电容器二极板间的电场强度为3 V

17、/m, 板间媒质是云母, r=7 .4, 求二导体极板上的面电荷密度。 解 参看图, 把极板看作理想导体, 在A , B板表面分别有 第41页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五例5.5 在z=0和z=d位置有两个无限大理想导体板，在极板间存在时变电磁场，其电场强度为求：导体板上的电流分布。例题第42页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五由边界条件在下极板上：解：第43页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五在上极板上：第44页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五一、坡印廷定理 坡印廷定理描述了空间中电磁能量守恒关系。5-5

18、 坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 电磁能量符合自然界物质运动过程中能量守恒和转化定律坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。第45页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五利用矢量函数求导公式，在线性、均匀、各向同性的媒质中，有第46页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五坡印廷定理微分形式说明： 单位时间单位体积内流出的电磁能量； 单位时间单位体积内电场能量减少量； 单位

19、时间单位体积内磁场能量减少量； 单位体积内转化为焦耳热能的电磁功率；第47页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得坡印廷定理积分形式说明： 表流出闭合面S的电磁功率； 单位时间内体积V内电场能量增加量；第48页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五坡印廷定理物理意义：单位时间内，体积V中减少的电磁能量等于流出体积V的电磁能量与体积V内损耗的电场能量之和。 单位时间内体积V内磁场能量增加量； 单位时间内体积V内损耗的电场能量 表示流出闭合面S的电磁功率，因此 为一与通过单位面积的功率相关的矢量。 定义：坡印廷矢量（用符号

20、 表示）注：坡印廷矢量也称能流密度矢量。二、坡印廷矢量第49页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 坡印廷矢量的大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量。坡印廷矢量的方向即为电磁能量传播方向。讨论:1、若 为与时间相关的函数(瞬时形式),则称为坡印廷矢量的瞬时形式。 2、对某些时变场， 呈周期性变化。则将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即注： 与时间t无关。第50页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五例：已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度为求：(1)磁场强度；（2）瞬时坡印廷矢量；（3）

21、平均坡印廷矢量解：(1)第51页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五(2)(3)第52页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 在闭合面 S 包围的区域 V 中，当t = 0时刻的电场强度 及磁场强度 的初始值给定时，又在 t0 的时间内，只要边界 S 上的电场强度切向分量 或磁场强度的切向分量 给定后，那么在 t 0 的任一时刻，体积 V 中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。利用麦克斯韦方程导出的能量定理，采用反证法即可证明这个定理。&V or 惟一性定理The uniqueness theorem第53页，共75页，2022年，5月20日，6点32分

22、，星期五5.5 时谐电磁场一、时谐量的复数表示电磁场随时间作正弦变化时，电场强度的三个分量可用余弦函数表示第54页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五用复数的实部表示第55页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五式中称为时谐电场的分量复数振幅式中称为时谐电场的矢量复数振幅故第56页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五 时谐场对时间的导数二、复数形式的麦氏方程由麦氏第一方程设为时谐场第57页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五将对空间坐标的微分运算和取实部运算顺序交换约定不写出时间因子 ，去掉场量的下标和点，即得麦氏方程的复数

23、形式同理其他三个麦氏方程第58页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五三、复数形式的波动方程亥姆霍兹方程波动方程时变亥姆霍兹方程设为时谐场得同理亥姆霍兹方程式中 复数公式与瞬时值公式有明显的区别，复数表示不再加点。第59页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五1.复数式只是数学表达式，不代表真实的场，没有明确物理意义,2.实数形式代表真实场，具有明确物理意义；3.在某些应用条件下，如能量密度、能流密度等含有场量的平方关系的物理量采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化；（称为二次式 ），只能用场量的瞬时形式表示。 说明:第60页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五四.时谐场的位函数 复数形式 ： 洛仑兹条件： 达朗贝尔方程： 第61页，共75页，2022年，5月20日，6点32分，星期五五. 平均坡印廷矢量坡印廷矢量的瞬时值式中 为相应的复矢量虚部实部于是第62页，共75页，2022年，5月20