数理逻辑在《线性代数》中的应用

1、数理逻辑在?线性代数?中的应用数理逻辑在?线性代数?中的应用数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支.它是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进展符号化以后的形式系统.数理逻辑1中把能判断真假的陈述句称为命题，它是逻辑中最根本、最小的研究单位。数理逻辑研究方法就是把阐述或推理中的各种要素都符号化，即把自然语言中的命题，连接词如：非、并且、或、假如，那么、当且仅当、都用符号语言来表示.设A，B，是三个命题，A表示A的否认，AB表示A并且B，AB表示A或B，AB表示假如A，那么B，A？圮B表示A当且仅当B，A？圳B表示A与B等价，那么有下面16组重

2、要的等值式.1双重否认律A？圳A2幂等律A？圳AA，A？圳AA3交换律AB？圳BA，AB？圳BA4结合律AB？圳AB，AB？圳AB5分配律AB？圳ABA，AB？圳ABA6德摩根律AB？圳AB，AB？圳AB7吸收律AAB？圳A，8零律A1？圳A，A0？圳09同一律A0？圳A，A1？圳A10排中律AA？圳111矛盾律AA？圳012蕴含等值式AB？圳AB13等价等值式A？圮B？圳ABBA14假言易位AB？圳BA15等价否认等值式A？圮B？圳A？圮B16归谬论ABAB？圳A?线性代数?这门课抽本文由论文联盟搜集整理象知识比拟多，比方向量、线性空间；逻辑性强，矩阵、行列式、线性方程组都具有一定的联络具有

3、抽象性、注重技巧，比方求行列式有三种方法，三种方法合适于不同的题型，等等.所以我们要想把这么课学好，首先要把里面的逻辑关系搞明白，而数理逻辑提供了更好的理解逻辑知识的方法.1熟悉一些常用的证明方法，证明技巧.1.1证明两个数相等，p=q？圳pq，qp；两个集合一样，A=B？圳A？哿B，B？哿A.定理12在全部的n级排列中，奇、偶排列的个数相等，各有个.分析：假设在全部的n级排列中有p个奇排列，q个偶排列，即证明p=q.p=q等价于pq，qp.假设对p个奇排列做一次对换，那么p个奇排列变成p个偶排列，故pq因为全部的n级排列中，共有q个偶排列.同理对q个偶排列做一次对换，可得qp，所以p=q=.

4、证明两个线性无关的等价的向量组含有向量的个数一样，矩阵的行秩等于列秩，也采用此种方法.1.2反证法.在从条件推出结论无法着手时，常采用反证法，即pq？圳qp，特别是指证明唯一性，至少，最多等的情况.定理22假设矩阵A可逆，那么An的逆矩阵是唯一的.分析：显然要证明矩阵A的逆矩阵是唯一的，无法从逆矩阵定义正面出发，故应用反证法.假设矩阵B和是A的逆矩阵，那么有AB=BA=E，A=A=E，从而B=BE=BA=E=，即矛盾，得证.在证明向量组的线性相关与线性无关问题时，也常采用反证法.1.3数学归纳法，即n=1时，命题成立；假设nk时，命题成立，证明n=k时，命题成立.一般是在证明前后有联络，有规律

5、的命题用数学归纳法.=br=证明：Dn=sna证明：对二阶行列式，有D2=2s2a-1=s2a，结论成立.假设对阶数小于n的行列式结论成立.对n阶行列式按第n行展开，得Dn=2saDn-1-Dn-2=2sasn-1a-sn-2a=2sasn-1a-sn-1asa+sinn-1asina=sasn-1a-sinn-1asina=sna故由数学归纳法得，Dn=sna2弄清逻辑命题之间的关系.定理32假如齐次线性方程组的系数行列式不为零，那么齐次线性方程组只有零解.a11x1+a12x2+a1nxn=0a21x1+a22x2+a2nxn=0an1x1+an2x2+annxn=0定理32假如齐次线性方

6、程组有非零解，那么齐次线性方程组的系数行列式为零.设命题p：齐次线性方程组的系数行列式不为零，命题q：齐次线性方程组只有零解，那么定理3可表示为pq.p：齐次线性方程组的系数行列式为零，p：齐次线性方程组有非零解，定理3可表示为qp.又pq？圳qp，即原命题与它的逆否命题等价.因为定理3与定理3互为逆否命题，因此它们可互相得到.我们又知道，当齐次线性方程组的系数行列式等于零时，齐次线性方程组有非零解，即pq.pq？圳qp，即齐次线性方程组只有零解时，假如齐次线性方程组的系数行列式不为零.因此得到：齐次线性方程组的系数行列式不为零当且仅当齐次线性方程组只有零解.齐次线性方程组有非零解当且仅当齐次

7、线性方程组的系数行列式为零.定理42n阶矩阵A可逆的充要条件是其行列式A0，且当A可逆时，有A-1=A*，其中A*为A的伴随矩阵.设命题p：n阶矩阵A可逆，命题q：A0，命题t：A-1=A*，那么定理4可表示为p？圮qpt，又p？圮qpt？圳pqqppt？圳pqqpt，因此与定理4等价的命题是n阶矩阵A可逆时，有A0；且A0时，有A可逆，A-1=A*，可按此证明.定义12设A是n矩阵，假如矩阵A中有一个r阶子式不为零，且所有r+1阶子式假如存在的话全为零，那么称数r为矩阵A的秩.设命题p：矩阵A中有一个r阶子式不为零，命题q：r+1阶子式存在，且全为零，q：不存在r+1阶子式，命题t：数r为矩

8、阵A的秩，那么定义1可表示为pqqt，又pqqt？圳pqpqt？圳pqtpqt因此与定义1等价的命题是假如矩阵A中有一个r阶子式不为零，r+1阶子式存在，且全为零，那么数r为矩阵A的秩；或者假如矩阵A中有一个r阶子式不为零，不存在r+1阶子式，那么数r为矩阵A的秩.这样对矩阵的秩就有一个正确、全面的认识.定理53设*是非齐次线性方程组Ax=b的解，？孜1，？孜2，？孜n-r是与其对应的齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系，那么Ax=b的通解可表示为？孜=*+k1？孜1+k2？孜2+kn-r？孜n-r其中k1，k2，？孜n-r为任意常数.分析：定理5可分两方面证明：Ax=b的解可表示为*+k1？孜1+k2？孜2+kn-r？孜n-r；当？孜=*+k1？孜1+k2？孜2+kn-r？孜n-r，k1，k2，？孜n-r为任意常数时，可得Ax=b的所有解，即通解.证明：设？孜是方程组Ax=b的一个解，那么？孜-*是相应的齐次线性方程组Ax=0的解，于是？孜-*=k1？孜1+k2？孜2+kn-r？孜n-r，？孜=*+k1？孜1+k2？孜2+kn-r？孜n-r即方程