清华信号与系统ch4.1-4

1、yuezhengyou2007-4-7作业：4.1 和 4.3 的奇数题预习：4.3、4.4 节第4章 离散时间变换41离散时间级数（DTFS）1引言连续信号与系统：FS、FT、LT离散信号与系统：DTFS、DTFT、ZTDFT=分析+计算机两个基本问题：信号的离散化、有限长快速算法（FFT，1965）2定义离散周期序列的频谱xn xn N 2N：周期，频率。0Nxn Xke jk0 nk离散：jn tx(t) c e连续：0nn周期序列由正弦指数序列各次谐波组合而成1yuezhengyou2007-4-7e jk0 n的基本特点：频域周期性（周期频谱）e jk(0 2 )n e jk0n谐波

2、的周期性e j(k N )0n e jk0ne jN0ne jk0ne j2ne jk0n表明：e jk0 n 只有 N 项不同xn可以只用 N 个系数 Xk唯一确定证明：两边同乘e jm0n ，并对 n 求和 xne jm0n n N 交换求和次序 xne jm0n Xke j(k m)0n )k N (n N e j(k m)0n )(Xkk N n N n N 假设 k 和 m 都在同样的 N 个整数上取值，则k mk m NN 1j(k m) nj(k m)2 1eeon00j(k m)01e于是2xn Xke jk0nk 0LN 1k N yuezhengyou2007-4-7Xk

3、1N离散时间 xne jk0n n N 级数：离散时间周期信号可分解为N 个不同频率的离散谐波xn：离散、周期、N 项Xk：离散、周期、N 项；k 次谐波系数、频谱Xk N Xk两个变量：一个是观察时刻，一个是求和变量x0 Xkk N x1 Xke jk0 k N x2 Xke j2k0k N 每一个观察时刻的值都是 N 项求和的结果3离散时间级数的例子例 4.1：若信号 xncos( n) ，求频谱系数 Xk8解，周期N 16083xn Xke jk0n k N Xk 1 xne jk0nN n N yuezhengyou2007-4-7由于xncosn / 8 1e j(n / 8) e

4、j(n / 8 )2 1 e j e j( / 8)n 1 e j e j( / 8)n22设 k 值的取值范围从k 7 到k 8，则一个周期内的频谱系数为 1 jk 1e 2 1Xke jk 17k8 20butk 1周期性，且周期为 1631 L 1 e j233 L 1 e j2Xk1/2 -17 -15-111517-15-11-1717-4yuezhengyou2007-4-7例 4.2： xn(1)n ，求 X k解：N=2，0=Xk 1 1xne jk0 nNn01jkx0 x1e2 X0 1110；X1 11 e j 122验算：xn Xke jk0n k N 1Xke jkn

5、k 011；从信号分解看：不同谐波序列xn Xke jk0n1e j 1时域信号k N xn X0 X1e jn ，由两项组成：直流分量X00；频率为的谐波分量e jnXk1 5yuezhengyou2007-4-7若信号为下面序列：1 -4-224则：直流X01/ 2 X1 1/ 2的谐波分量e jn1/21/2-4 -224-4-224例 4.3：求周期信号 xn的频谱系数 XK1-N-MMN解Xk 1 N M 1 xne jk0nNnM 1Mxne jk0nNnM 1M jk ne0nMN变量置换，令mn M ，则有Xk 1e2Mjk(m M )0Nm0 1 e jk0M2Mjk me0

6、Nm06yuezhengyou2007-4-7当k 0, N ,2N ,L时，1e jk0 (2M 1)1jk MXke0jkN1e0 jk0 (2M 1) 1ejk1e01 e jk0 (2M 1) / 2 e jk0 (2M 1) / 2jk / 2 jk / 2Nee00sin0 (2M 1)k 12k 0, N,2N,L,sin(0 k)N2 N ,2N ,L，则如果k 0,Xk 1 12MNm0 2M 1N脉宽（2M1）=5 不变，N10、N20设(2M1)/NN/(2M1)10-102020周期性；零点和脉宽、周期有关71jk0 (2M 1) / 2 ejk / 2e0Nyuezh

7、engyou2007-4-74离散时间级数的收敛问题FS：无穷项，存在收敛问题DTFS：有限项，不存在收敛问题和斯想象例：周期：M=2；N=94Xke jk0nxn k 4取 3 项近似1-9-449取 7 项近似1-9-449取 9 项计算1-9-229小结：离散时间周期性，N离散性有限项系数，N 项不存在收敛问题和适于计算机计算级数斯现象DTFS 的两个分支：DTFT、DFT8yuezhengyou2007-4-74.2离散时间变换1.定义xn，有限长序列， n M 时， xn0 xT n，周期序列，周期为 N（N2M）M n Mx n,Txnn M0,xn lim xT nN -MM-N

8、-MMN离散时间级数 Xke jk0nx n Tk N Xk 1 xne jk0nTN n N 1jk nxne0N n j定义：X (e j) nxne离散时间变换n9yuezhengyou2007-4-7Xk 1 X (e jk0 )则：N表明：离散系数对应连续谐波样值将Xk 代入xTn，并取N极限，则有k0 ；离散变量转换为连续变量0 d；谱线间距转换为微分元；求和转换为积分xT n xn；周期信号转换为非周期信号1 X (e jk0 )e jk0nx n T20k N 1 X (e j)e jndxn 2 2 2 的原因： jnX (e j) xne的周期函数n求和式中最高谐波频率为N

9、0 20X (e jk0 )e jk0 n离散时间变换：连续谱，周期性12 X (e j)e jndxn 2 X (e j)xne jnn10yuezhengyou2007-4-72.常见信号的 DTFT 单边指数： xnanuna 1 1 jX (e j) xnen1ae j1n幅频： X (e j) (1a cos)2 (a sin )2a sin 相频：( j) arctan()1a cosa=1/211/(1-a)1/(1+a)低频信号低通-2 -21/(1-a)1a=-1/21/(1+a)高频信号高通-2 -2频谱特征：周期 2，最高频率 双边指数： xn a|n|a 11n jn

10、jnnX (e j ) aa eenn0j mj n(ae)(ae)mnm1n01a212a cosa21+a/(1-a)10a1-2 -211yuezhengyou2007-4-7时域实偶，频域也实偶 矩形脉冲： xn un M un M 12M+112/(2M+1)-MM周期的级数：1e jk0 (2M 1)1jk MXke0jkN1e0sin0 (2M 1)k 12k 0, N,2N,L,sin(0 k)N2NXk X (e j)k0而：故有1e j(2M 1)jjMX (e)e1e jsin(2M 1)2sin()2离散形式的抽样函数：第 1 零点，最大值规律同连续，但具有周期性。冲激： xn n jX (e j) nen1n12yuezhengyou2007-4-7例 44：求xn