线性代数电子教案（同济二版）：4-3 实对称矩阵的特征值和特征向量_第1页
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1、4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量一、向量内积1、定义称为和的内积.2、性质3、向量长度4、单位向量长度为1的向量此方法称为把单位化.二、正交向量组定义1 向量与正交（垂直）：例1 零向量与任意向量正交.1、基本概念定义2 正交向量组：则称 为正交向量组。R n 中正交向量组线性无关.证定理设1,2 , s为R n中正交向量组，且存在k1,k2 , k s使k11 + k s s= 0，用任意 左乘上式，得 i T （k11 + k s s）= 0，即k1 i T 1 + k i i T i + k s i T s= 0，由于 i T j = 0，(i j)所以k i i T i = 0，又

2、 i 0，则 i T i 0,所以 k i = 0，i =1,s因此1,2 , s 线性无关.2、线性无关向量组正交化的方法：施密特（Schmidt）正交化方法例3 将向量组标准正交化.解 先正交化再单位化三、正交矩阵1、定义n阶实数矩阵A，如果ATA=I，称A为正交矩阵.2、性质（1）A为正交矩阵 |A| = 1或|A| = 1.|ATA|= |AT | |A| =|A|2 =|I |=1（2）A为正交矩阵 A可逆，且A1 = AT.（3）A，B都是正交矩阵 AB也是正交矩阵.例如 单位矩阵I，都是正交矩阵3、定理设A是n阶实矩阵，A为正交矩阵 其行（列）向量组是单位正交向量组. 证A是正交

3、矩阵 ATA=I即=I等价于即A为正交矩阵 其列向量组是单位正交向量组.A为正交矩阵 其行向量组是单位正交向量组.同理可证四、实对称矩阵的特征值和特征向量定理1 实对称矩阵的特征值都是实数.证明设A是n阶实对称矩阵， 是A在复数域上的任一特征值在上式两边取共轭，得即（*）定理2 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交.证由有即因为所以即注意：对于同一个特征值的线性无关的特征向量不一定正交.结论: 任意n阶实对称矩阵，都有n个线性无关的特征向量. 定理3 对任意n阶实对称矩阵A，都存在一个n阶正交矩阵Q，使Q 1 AQ =Q T AQ成对角形.A有n个不同的特征值A可对角化A有n个线性无关的特征向量A是n阶实对称矩阵求一个正交矩阵Q使实对称矩阵A对角化的步骤： （3）、再把这n个线性无关的特征向量先正交化（只有重根才需正交），再单位化；（4）、以这些向量为列作一个矩阵Q就是正交矩阵，使例4解A的特征值为把1=1（3重）代入齐次方程组，得基础解系为把它们正交化，得再单位化把2=-3代入齐次方程组，得基础解系单位化，得所以正交矩阵使小结：1、掌握特征值的性质及求特征值和特征向量的方法；2、掌握相似矩阵

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