数理统计复习题试题习题

1、-. z.数理统计练习题1设是总体的样本，未知，则不是统计量的是 . A； B； C； D. 解： 统计量是不依赖于任何未知参数的连续函数. 选C.2设总体为来自的样本，则 . A； B； C； D. 解：相互独立且均服从 故 即 则 选C.3设是总体的样本，和分别为样本的均值和样本标准差，则 . A； B； C； D. 解：， B错. A错. 选C.4设是总体的样本，是样本均值，记，则服从自由度为的分布的随机变量是.A；B；C；D解：选B. 5设是来自的样本，为其样本方差，则的值为.A；B；C；D解：由分布性质：即选C. 6设总体的数学期望为是来自的样本，则以下结论中正确的选项是.A是的无偏

2、估计量；B是的极大似然估计量；C是的一致相合估计量；D不是的估计量.解：是的无偏估计量.选A. 7设是总体的样本，是样本均值，是样本方差，则.A；B与独立；C；D是的无偏估计量.解：总体不是正态总体 ABC都不对. 选D. 8设是总体的样本，则 可以作为的无偏估计量. A； B； C； D. 解：选A. 9设总体服从区间上均匀分布，为样本， 则的极大似然估计为 A； B C D 解： 似然正数 此处似然函数作为函数不连续 不能解似然方程求解极大似然估计在处取得极大值选C. 10设总体的数学期望为为来自的样本，则以下结论中 正确的选项是 A是的无偏估计量. B是的极大似然估计量. C是的相合一致

3、估计量. D不是的估计量. 解：，所以是的无偏估计，应选A.11设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的 置信度为的置信区间为 A B CD解：因为方差，所以的置信区间为应选D.12设总体 * N ( , 2 ),其中2，则总体均值的置信区间长度L与置信度1-的关系是(a) 当1-缩小时，L缩短.(b) 当1-缩小时，L增大.(c) 当1-缩小时，L不变.(d) 以上说法均错.解：当2时，总体均值的置信区间长度为当1-缩小时，L将缩短，故应选a)13设总体 * N ( 1 , 12 ), Y N ( 2 , 22 ) ,*和Y相互独立，且1 , 12，2 , 22均未知,从*中抽取容量为n1

4、 =9的样本，从Y中抽取容量为n2 =10的样本分别算得样本方差为S12 =63.86， S22=236.8对于显著性水平=0.100 1,检验假设H0 : 12 = 22； H1 : 1222则正确的方法和结论是 (a) 用F检验法,查临界值表知F0.90(8 ，9)=0.40, F0.10(8,9)=2.47 结论是承受H0(b) 用F检验法,查临界值表知F0.95(8,9)=0.31, F0.05(8,9)=3.23 结论是拒绝H0 (c) 用t检验法,查临界值表知t0.05(17)=2.11结论是拒绝H0(d) 用2检验法,查临界值表知2 0.10(17)=24.67结论是承受H0解：

5、这是两个正态总体均值未知时，方差的检验问题，要使用F检验法。在假设H0 : 12 = 22 是双侧检验问题，选(b)14机床厂*日从两台机器所加工的同一种零件中分别抽取容量为n1和n2的样本，并且这些零件的长度都服从正态分布，为检验这两台机器的精度是否一样，则正确的假设是 H0 : 1 = 2； H1 : 12 H0 : 1 = 2； H1 : 1 2(c) H0 : 12 = 22 ； H1 : 1222 (d) H0 : 12 = 22 ； H1 : 12 22 分析：为检验精度，要检验方差是否一样，故应选(C)15在求参数的置信区间时，置信度为90%是指a对100个样品，定有90个区间能

6、覆盖b对100个样品，约有90个区间能覆盖c对100个样品，至多有90个区间能覆盖d对100个样品，只能有90个区间能覆盖答：选(b)16收集了n 组数据 画出散布图，假设n 个点根本在一条直线附近时，称这两变量间具有a独立的关系b不相容的关系c函数关系 d线性相关关系答：选(d)17设是总体的样本，是样本方差，假设，则_. 注：, , 解： 即 ，亦即 .18设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，. 在置信度0.95下，的置信区间为_.解：的置信度下的置信区间为所以的置信区间为.19最小二乘法的根本特点是使回归值与的平方和为最小，最小二乘法的理论依据是。答：实际

7、观测值；函数的极值原理。20*单因子试验，因子A 有 2 个水平，水平 A1下进展 5 次重复试验，在水平A2下进展 6 次重复试验，则总偏差平方和的自由度为。答：10数理统计的根本概念 1*厂生产玻璃板，以每块玻璃上的泡疵点个数为数量指标，它服从均值为的泊松分布，从产品中抽一个容量为的样本，求样本的分布. 解 样本的分量独立且均服从与总体一样的分布，故样本的分布为， 2加工*种零件时，每一件需要的时间服从均值为的指数分布，今以加工时间为零件的数量指标，任取件零件构成一个容量为的样本，求样本分布。 解 零件的加工时间为总体，则，其概率密度为于是样本的密度为 3证明假设，则 证 因，所以可表示为

8、，其中相互独立，且均服从，于是 4，求证 证 ，则可表示为，其中且相互独立，于是.5设是来自正态总体的简单随机样本，求常数，使得. 解 所以当时6设是分布的容量为的样本，试求以下统计量的概率分布： 1； 2 解 ，所以 1 2 7设是来自总体的样本，试求统计量的分布。 解 ，于是 8从正态总体中抽取容量为的样本，如果要求样本均值位于区间1.4, 5.4内的概率不小于0.95，问样本容量至少应多大？ 解 即，查正态分表得即.故样本容量至少应为35。 9求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解 设和为两个独立样本的均值，则，于是即.参数估计 1对*一距离进展5

9、次测量，结果如下：米.测量结果服从，求参数和的矩估计. 解 的矩估计为，的矩估计为，所以 2设总体具有密度其中参数为常数，且，从中抽得一个样本，求的矩估计 解 ，解出得于是的矩估计为. 3设总体的密度为试用样本求参数的矩估计和极大似然估计. 解 先求矩估计：解出得所以的矩估计为. 再求极大似然估计：，解得的极大似然估计：. 4设总体服从指数分布试利用样本求参数的极大似然估计. 解 由极大似然估计的定义，的极大似然估计为 5设来自几何分布，试求未知参数的极大似然估计. 解 ，解似然方程，得的极大似然估计。 6. 设是来自参数为的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数，统计量是的无偏估计量。 证 此

10、处利用了是的无偏估计，是的无偏估计，所以对任意的是的无偏估计。 7设总体，是来自的样本，试证估计量；，.都是的无偏估计，并指出它们中哪一个最有效. 证 故都是的无偏估计.,，.所以最有效. 8设总体的数学期望，试证统计量是总体方差的无偏估计. 证 ， 证毕. 9从一批钉子中抽取16枚，测得长度单位：厘米为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11，设钉长分布为正态，试在以下情况下，求总体期望的置信度为0.90的置信区间。 1厘米； 2为未知. 解 1

11、的置信区间为的置信区间为； 2的置信区间为的置信区间为. 10生产一个零件所需时间单位：秒，观察25个零件的生产时间，得，试以0.95的可靠性求和的置信区间. 解 的置信区间为 其中 所以 的置信度0.95下的置信区间为的置信区间为所以的置信区间为. 11零件尺寸与规定尺寸的偏差，令测得10个零件，得偏差值单位：微米2, 1, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 3, 4，试求的无偏估计值和置信度为0.90的置信区间。 解 的无偏估计为的无偏估计为的置信区间为所以 的置信度为0.90的置信区间为；的置信区间为所以的置信度0.90下的置信区间为. 12对*农作物两个品种计算了8个地区的单位面积产

12、量如下： 品种A：86，87，56，93，84，93，75，79； 品种B：80，79，58，91，77，82，74，66. 假定两个品种的单位面积产量，分别服从正态分布，且方差相等，试求平均单位面积产量之差在置信度为0.95下的置信区间. 解 此题是在的条件下求的置信区间.的置信区间为其中 .所以的置信度为0.95下的置信区间为. 13设和两批导线是用不同工艺生产的，今随机地从每批导线中抽取5根测量电阻，算得，假设批导线的电阻服从分布，批导线的电阻服从，求的置信度为0.90的置信区间. 解 的置信区间为 其中 .所以 的置信度0.90下的置信区间为. 14从一台机床加工的轴中随机地取200根

13、测量其椭圆度，由测量值单位：毫米计算得平均值，标准差，求此机床加工的轴之平均椭圆度的置信度为0.95的置信区间。 解 因总体不是正态的，所以该题是大样本区间估计，设平均椭圆度为，由中心极限定理近似服从，对于给定的，查正态分布表，求出临界值使即的置信区间为. 15在一批货物的容量为100的样本中，经检验发现16个次品，试求这批货次品率的置信区间置信度近似为0.95 解 设次品率为，100件产品中的次品数为，由教材163页知，的置信区间为，其中此处 此题中 ，于是的置信度近似为0.95的置信区间为.假设检验 1一台包装机装奶粉，额定标准重量为500，根据以往经历，包装机的实际装袋重量服从正态，其中

14、=15，为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋，称得奶粉净重数据如下单位：497 506 518 524 488 517 510 515 516假设取显著性水平，问这包装机工作是否正常？解建立假设； 检验统计量为当成立时，有，否认域为：由，查标准正态分布表，得将样本观测值带入计算得故否认，承受，认为产品重量均值不再等于500克亦即认为包装机工作不正常 2糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，*日开工后测得9包重量单位：公斤如下：问该日打包机工作是否正常；包重服从正态分布？解，问题是检验假设的否认域为.其中因为所以承受，即该日打包机工作正常.3设

15、*机器生产的零件长度单位：cm，今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 1求的置信度为0.95的置信区间；2检验假设显著性水平为0.05. 附注 解：1的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为9.7868，10.2132 2的拒绝域为.， 因为 ，所以承受.4*批矿砂的5个样品中镍含量经测定为：设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为？解问题是在未知的条件下检验假设的否认域为因为所以承受，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.5按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于21毫克，现从*厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素的含量单位：毫克如

16、下维生素的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。解设为维生素的含量，则，. 问题是检验假设1.2选择统计量并计算其值：3对于给定的查分布表求出临界值.4因为。所以承受，即认为维生素含量合格.6*种合金弦的抗拉强度，由过去的经历知公斤/厘米2，今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下： 10512，10623，10668，10554，10776， 10707，10557，10581，10666，10670.问这批弦线的抗拉强度是否提高了？解，. 问题是检验假设1.2选统计量并计算其值.3对于，查分布表，得临界值.4因，故否认即认为抗拉强度提高了。7从一批轴料

17、中取15件测量其椭圆度，计算得，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的有无显著差异？，椭圆度服从正态分布。解，问题是检验假设.1.2选统计量并计算其值3对于给定的，查分布表得临界值.4因为所以承受，即总体方差与规定的无显著差异。8从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为 42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？，熔化时间服从正态分布.解，问题是检验假设.1；2选统计量并计算其值3对于给定的，查分布表得临界值.4因，故承受，即可以认为方差不大于80。9对两种羊毛织品进展强度试验，所得结果如下第一种 138，127，134，1

18、25；第二种 134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差一样的正态分布。解设第一、二种织品的强度分别为和，则问题是检验假设12选统计量并计算其值.3对于给定的，查分布表得临界值.4因为，所以承受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。10在20块条件一样的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量公斤分别为旧品种 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3;新品种 79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 79.1, 79.1, 77.3

19、, 80.2, 82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体方差相等，问新品种的产量是否高于旧品种？解设为新品种产量，为旧品种产量；，问题是检验假设，选统计量并计算其值：对给定的，查分布表得临界值.因为故承受，即新品种高于旧品种. 11两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？解问题是检验假设选统计量并计算其值对给定的查分布表得临界值，.因故承受，即无显著差异. 12一颗骰子掷了120次，得以下结果：点数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？解用表示掷一次骰子出现的点数，其可能

20、值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设这里，故查分布表，得临界值因为故承受，即骰子匀称。 15方差分析回归分析 1一批由同样原料织成的布，用五种不同的染整工艺处理，然后进展缩水试验，设每种工艺处理4块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩水率12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.8问不同的工艺对布的缩水率是否有显著的影响解，查附表5得.序号12344.37.83.26.56.17.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.47.821.821.731.635.3

21、37.5147.9475.24470.89998.564597.03131.82112.24252.34316.03358.491149.25131.82112.24252.34316.03358.491170.92方差分析表方差来源平方和自由度均方值工艺误差55.5321.6741513.88251.44479.6095*总和77.2019因为，所以工艺对缩水率有显著影响. 2灯泡厂用4种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽样进展使用寿命的试验，得到下表的结果单位：小时，问这几种配料方案对使用寿命有无显著影响？试验号寿命12345678160016101650168017001

22、72018001850164016401700175014601550160016201640166017401820151015201530157016001680解，查附表5得为简化计算从上表的试验结果中都减去1600再除以10得下表寿命序号12345678015810122025441015145024614229873085658291912431363364841361448672.8105.12560.1671286.0927349829572642937，方差分析表方差来源平方和自由度均方F值配料误差6.94716.5093222.3130.7273.18总和23.45625因为

23、，故不显著.3在钢线碳含量对于电阻时，微欧效应的研究中，得到以下的数据0.010.300.400.550.700.800.951518192122.623.826 设对于给定的为正态变量，且方差与无关. 1求线性回归方程; 2检验回归方程的显著性； 3求的置信区间置信度为0.95； 4求在处的置信度为0.95的预测区间. 解 我们用下表进展计算序号12345670.100.300.400.550.700.800.951518192122.623.8260.010.090.160.30250.490.640.9025225324361441510.76566.446761.55.47.611.5

24、515.8219.0424.73.8145.42.5953104.285.61平均0.54320.77, , 1 , ， 所以回归方程为 2我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方 差 分 析 表方差来源平方和自由度均 方F值回 归1剩 余5总 和6其中 . 查F分布表求出临界值 因为 所以回归方程高度显著. 3由公式知，的置信度为下的置信区间为此处, . 所以的置信度为0.95下的置信区间为11.112, 13.987 4, .故在处的置信度为0.95的置信区间为4在硝酸钠的溶解度试验中，对不同的温度测得溶解于100ml水中的硝酸钠质量的观测值如下：041015212936516866.771.076.380.685.792.999.6113.6125.1从理论知与满足线性回归模型式9.20 1求对