5线性定常系统的综合

1、线性反馈控制系统的基本结线性反馈控制系统的基本结及其特& AxBu, y Cxx(0) t A、B、C均为常阵 u=-kx +u=-Fy+ u=-kx +u=-Fy+其中：k为rnF为rm常阵，输出反馈矩阵。 二(t)作为性能指标（3）以使系统的输出 y 无静差一个外部信(t)作为性能指标（3）以使系统的输出 y 无静差一个外部信J(u() (x Qx RuTT0RQ1AQ2 )12121（1） 状态可直接测量：直接实2确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理论来解决）1（1） 状态可直接测量：直接实2确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理论来解决）鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度（增益裕度、相位裕度等3状

2、态反馈和输出反1v uyxCBAK闭状态反馈和输出反1v uyxCBAK闭反馈控制规ABC)的方程为 反馈控制规ABC)的方程为 & Ax Buy :u Kx K r n状态;v 参考., r维向状态反馈后的闭环的状态空间& (A BK )x C闭环系统传递函数Gk (s) C(sI A )1 2v uyxCB反馈控制规AK& AxBu2v uyxCB反馈控制规AK& AxBu y Cx:u Fy u FCx F rm输出反馈阵 (A BFC )x y C)1 (A BFC )x y C)1 (s) C(sI A F若受控系统传递函数表 示为G0(s) C(sI 则GF (s) G0(s)I

3、FG0 (I G0(s)FG0(二1x测器实现状态重构）v uyxBCxx的重xx A&二1x测器实现状态重构）v uyxBCxx的重xx A&2uyvxBC串联补偿2uyvxBC串联补偿三受控系统0的能控性判据阵Qc BMABM反馈系统ck的能控性判据阵 三受控系统0的能控性判据阵Qc BMABM反馈系统ck的能控性判据阵 BM(A BK)BMA BK)n1假设受控系统0 完全能控,必有Qc BABMAn1B BM(A BK)BMA BK)n1(ABK)B AB而(ABK故的B, 的(ABK)2 B (ABK)(A BK)B (ABK)2 B (ABK)(A BK)B (A BK)(AB A

4、2B ABKB BKAB 故(A BK )2 B的由B, AB, A2 B的线性组合表示。以此类推( A BK )n1 B的由B, AB, A2 BL An1 B的因此Qck 又,可把c (A,B,C)看作由ck (A BK),B,C) 经反馈而c (A BK) BK),B,C)故而Qc Qc ck 能控当且仅当c & 2x 0u31oy :能观测性判别 QCA& 2x 0u31oy :能观测性判别 QCAooo 能观测引入状态反K 0,4& (A BK )x 2x 0v则反馈系统 :1y x C 能观测性判别QC(A BK r k 为不完全能观测K 0 1 CrK 0 1 Cr k 为四12

5、状态反馈系统的系统矩阵为（A-BK），其中K为状态反馈阵。输四12状态反馈系统的系统矩阵为（A-BK），其中K为状态反馈阵。输反馈系统的系统矩阵为（A-BFC），其中F为输出反馈阵，这里相当于状态反馈阵中的K阵，但K度大，而F度小，尤其是FC对系统的影响效果要比K小得多，所以输出反馈3。45. 3。45. 极点一u=-v& (ABK极点一u=-v& (ABK)x的极点为* ,L,i 1,2,L,K的算法& 证：必要性：已知可配置极点，欲证A，b为能控利用反证法，假设A，K的算法& 证：必要性：已知可配置极点，欲证A，b为能控利用反证法，假设A，b不完全能控，则必可AA b c1cP0Ac ,K

6、 K 对任一状态反有21det(sI AbK)detP(sI AbKPsI A bc K1A12 bK K 对任一状态反有21det(sI AbK)detP(sI AbKPsI A bc K1A12 bcKsI c0det(sI Ac bc K1 )det(sI Ac 其中K KP K。12充分性。已知A，b为能控，欲证可配对单输入问题来证明若 A, b能控,则必可任意地配置闭环环极点 n1 L1s (s)det(sI A) 令由 A, b能控,导出如下能控规范对单输入问题来证明若 A, b能控,则必可任意地配置闭环环极点 n1 L1s (s)det(sI A) 令由 A, b能控,导出如下能

7、控规范形0MIA P1AP b P1b 0L01,*,L*,导出再由任意指定的期望闭环极nn*(s) (s*)sn L *s *i10i并且, k kP k ,L,* *n1000于是0MM * Abk*0000M0L0n于是0MM * Abk*0000M0L0nL1det(sI Abk) det(sI Abk sn sn1 L*s*10表明对任给*,L,k kP1n三1给定能控系统的矩阵对A，b和一组期望的闭,L,n1n ki(Abk)三1给定能控系统的矩阵对A，b和一组期望的闭,L,n1n ki(Abk)(i 1,2,L,i第一步：计算A的特征多det(sI A) snL1s 第二步：计算

8、由 * ,L,* 所决定的多项式，n*(s)(s )L(s*)sn*sn1 L*s 1n10第三步：计算 k * ,* *011Pb,L, Ab,b1nn1MnLQ Pk 00 & x 0u12 Q Pk 00 & x 0u12 1 1jj12300 6 r1cAs0s 0(s) det( A) det s18s2 720s 12再计算*3 (s) (s ) (s2)(s1 j)(s1 j) s *6s32ik 再计算*3 (s) (s ) (s2)(s1 j)(s1 j) s *6s32ik 24 求12计算变换阵P A2b 0 1 0 b2 6 0 10 0 1011Q P1 011k k

9、Q 4 66 14 12 14 186 144四（一） 单输入1& Axbu y cxL 1s 系统特征多项式为(s)det(sI A)四（一） 单输入1& Axbu y cxL 1s 系统特征多项式为(s)det(sI A) nAxbuy c非奇异变换化控规范0M01 MOc cP A bP 1b 1 0Lg(s) c(sI A)1b c(sI A)1L sg(s) c(sI A)1b c(sI A)1L sLs10定义几个常数 nnL1 cAb n1cAn3L bn1bL0nnn1, ,L, *nn (s)(s )L*1sQ P1*n*, ,L, *nn (s)(s )L*1sQ P1*n

10、*n10iik P为使Abc化为能控规范形Abc k *而0& (Abk)xy & (Abk)xbu其能控规范形为y其中0M01MOAbk b 1 *& (Abk)xbu其能控规范形为y其中0M01MOAbk b 1 *L01,c 10系统状态反馈的传递函数gk (s) c(sI Abkbc(sI AbkL s L s*12而2而输出反馈的极点配& Axy u Fy输出反馈的极点配& Axy u FyF为rm反馈矩阵，v为参, ,L,*2n确定一个反馈矩阵F，使导出的输出反馈& (A BFC )x y C(ABFC) (i 1,2,L,*iiuFyv2.输出反馈局限性：对完全能控n维单输入单输

11、出连续时间线性时& AxuFyv2.输出反馈局限性：对完全能控n维单输入单输出连续时间线性时& Axy uvfyv (s) c(sI Abfc)1证：闭环系统传递函数为：g 而闭环系统的特征多项式(s) det(sI Af(sI Abfc)(sI A)I (sI A)1detI G2(s)G1(s) detI G1(s)G2(sdetI G2(s)G1(s) detI G1(s)G2(s)A)A)1f又到det(sI A)det1 fc(sI A)1c(sIA)1b(s)/det(sI A)表和f (s)(s)f(s)(s)(s)而和c(sI A)1b (s)/(s)对于能控和能观测的受控系统

12、A，B，C，令系统的对于能控和能观测的受控系统A，B，C，令系统的维数n，u FyrB=r, 系统镇定问一ABCu Kx系统镇定问一ABCu Kxx (ABK)xv为参三1 (A,B,C0就是状态反馈能镇定的。（1）对不完全能控系统0 ABC A PAP B PB , , )为能控部分,( Ac ,0)三1 (A,B,C0就是状态反馈能镇定的。（1）对不完全能控系统0 ABC A PAP B PB , , )为能控部分,( Ac ,0)为不能控部分 1 KK1 。基此对任意状态反馈阵K=K ,K ,2 )BcK det(sI A BK) det(sI A BK) detcsI c0 BcK1)

13、为完全能控部分，可根据极点配置定理，选择状态,阵K，使 Bc K1 )的特征值具有负实部1)为完全能控部分，可根据极点配置定理，选择状态,阵K，使 Bc K1 )的特征值具有负实部1为不能控部分，当且仅当A 的特征值都具有负实部( c部分为渐近稳定)时，则引入状态反馈的闭环定是渐近稳定的， 因而系统证毕是状态反馈能镇定Q( （A c能2三A，B能控性。若不完全能控，进入下一步；若完全能判Ac , 2三A，B能控性。若不完全能控，进入下一步；若完全能判Ac , Bc2）对A，B按能控性进行结构分解，导出阵P。计算： A P1P A12BcB P1B 0 dimAc n1dimAc 3）对Ac B

14、c *2，按多输入情形极点配置算法，计算*L1K3）对Ac Bc *2，按多输入情形极点配置算法，计算*L1K1 计算rn镇定状态反馈矩阵KK10P *,L，按多输入情形极点配置算法，计算12n镇定状态反馈矩阵系统解耦问一二设有多输入多输出系统 0 ABC& Ax系统解耦问一二设有多输入多输出系统 0 ABC& Axy uRr其中xRny（1）r=m 且r=n 即传递函数阵G0 (s)u Kx其中Krn状态反馈阵。Lruvyxu Kx其中Krn状态反馈阵。LruvyxLCBAKdetL(A BK),BL,C(s) detL(A BK),BL,C(s) C(sI A BK)1G如果存在某个K、L

15、阵，使闭环传递函G(s) O0 ABC当i 当i 0 ABC当i 当i 有控制作vi对yi 无控制作(i, j ,L, 问题的提出状态反馈物理实现的基础是系统的状态向量 x 的每一个分量匀状态重构问题和状态观测xi(i ,L, 问题的提出状态反馈物理实现的基础是系统的状态向量 x 的每一个分量匀状态重构问题和状态观测xi(i ,L,t时xt g0 x定义：设有线性定常系统0t g0 x定义：设有线性定常系统0 AB1g 以(t (t)t(tg是2（1）观测器 gy u 02（1）观测器 gy u 0（4）观测的结构应尽可能简单，即 （5）观测12A BuL(yC),(0)xyuBC0BL(y为

16、修正项Ag12A BuL(yC),(0)xyuBC0BL(y为修正项Agu和yn (ALC)Ly x x 用xyuC: (A LC u和yn (ALC)Ly x x 用xyuC: (A LC )x(0) x x0 0 x0上式表明 L大, ( A LC )的特征值i ( A LC )(i 1,2,L , n )均具有负实部 , 那么一定可做到lim (t) lim x(tBttg.BBxy& Fz NuuBCw Ez x x1其中为通过输出2x2接测量得到状态。x1得到状态zwEN是x中不能直接测(nmBxy& Fz NuuBCw Ez x x1其中为通过输出2x2接测量得到状态。x1得到状态

17、zwEN是x中不能直接测(nm)x 1FMG四 1结论：n 维线性定常系统0 ABC是能观测的，即若（A，C）观测，则必可采用 (A四 1结论：n 维线性定常系统0 ABC是能观测的，即若（A，C）观测，则必可采用 (ALC) Ly(0)2 Axy Cx ，设A，C为能观测，再对所给定被估计设计的全维观测器指定一组期望极点 , ,L, ，则设计全维状n第一步：导出对偶系统,CT ,第二步：利用极点配置算法，对矩阵对AT CT i(AT CTK) i 1,2,L,i的反馈增益阵KL；第四步：计算（ALC ），的反馈增益阵KL；第四步：计算（ALC ）， (ALC) Bu即为 x而其nq定义n n

18、 P其中R为(n mn常阵且为非奇,唯一的和任意.PQ Q其nq定义n n P其中R为(n mn常阵且为非奇,唯一的和任意.PQ Q1又n(nm CQRQI0Inm 显然Qn1201CQ1 Im CQ2 x ABC,& PAP1x PBu Ax Buy CP1x CQ2x 令x1x2q和(n q)& ux ABC,& PAP1x PBu Ax Buy CP1x CQ2x 令x1x2q和(n q)& ux&A2x1y mxx1为系统的输出 yx2 无法测量,需进行状态重构 .x2的状态方程和输出方(A21 y B2& y B u x1定义输入u A21y 输出w & A11y A22x2 2得规

19、范形式: w A12x2对(n m)维子系统(3)(n m)2定义输入u A21y 输出w & A11y A22x2 2得规范形式: w A12x2对(n m)维子系统(3)(n m)2( Lw2通过选取L而任意配置A22 LA12)的全部特征值,并将u和w入上式得(A22LA12)2 L(& A11yB1u)(A21y2z 2 消去& (A22 LA12)z(A22 LA12)L(A21 LA11)y(B2 LB1此式为以u和y为输入的(n m) z x2 y 2 x P1x 于是系统状态x的重构状态为y Q1y y 2 x P1x 于是系统状态x的重构状态为y Q1yQ2(zL Q1,Q2

20、yLzu现取( n m) 维线性定常系统& FzGy其中现取( n m) 维线性定常系统& FzGy其中：待定系数矩阵F，G和HC=m,A,C(nm)(nm),(nm)m,(nm)P 为非奇异的(n m n满秩阵TTAFT H F的全部特征值i 并且估计状态i ,L,( m均具有负实部 1 Q1 yF的全部特征值i 并且估计状态i ,L,( m均具有负实部 1 Q1 yx zzCQ Tn(nm P m) 第二步：选取一个m实常阵，使得， m) 第二步：选取一个m实常阵，使得，为能控，GMFGMnm1G nrP & FzGy Q1yQ P1 n(nm引入观测器的状态反控制系统的特一线性定常受控系

21、& Axy 0 A, B为能控引入观测器的状态反控制系统的特一线性定常受控系& Axy 0 A, B为能控AC为能观按性能指标确定状态反馈控制u Kx并引入观测器, 令引入的(n m)维观测器为& FzGy: 1 xzz得到包含观测器的状态反馈系统的动态方程为AxBAxBFHKQ2 z y 二1dim() dim(0)dim(ob2 iA BKj(Fi 1,2,L,j 1,2,L,n 3观测器的引入，不影响由状态反馈K所配置的系统特i(A i 1,2,L,j(Fj 1,2,L,n GK (s) GKBABK 的特征值负实部23倍。45例GK (s) GKBABK 的特征值负实部23倍。45例100000& 0 x y0 1 14(s) (s1)(s1 1 14(s) (s1)(s1 j)(s1 j)(ss4 10s 10s 再令K为K k4则10k30400A