北师版八年级数学第一章勾股定理知识点与常见题型总结及练习

1、精选文档北师版八年级数学第1章勾股定理一?知识归纳1?勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c,那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周代数学家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，此后代们进一步发现并证了然直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常有的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，

2、没有空隙，面积不会改变依据同一种图形的面积不一样的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常有方法以下：方法4S.S正方形EFGH-S正方形ABCD，4ab?(b-a)=c，化简可证.122方法2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=41ab亠c2=2ab亠c22大正方形面积为S=(ab)2二a22abb2因此a2b2=c2111方法三：S梯形.(ab)(ab),S梯形=2SADESABE=2ab，C，化简得证222精选文档b精选文档.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数目关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三

3、角形和钝角三角形的三边就不拥有这一特色，因此在应用勾股定理时，一定了然所观察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的随便两边长，求第三边在UABC中，.C=90，贝Uc=Ja2b2,b=Jc2_a2,a=jc2b2知道直角三角形一边，可得别的两边之间的数目关系可运用勾股定理解决一些实质问题.勾股定理的逆定理假如三角形三边长a,b,c满足a2bc2，那么这个三角形是直角三角形，此中c为斜边勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法，它经过数转变成形”来确立三角形的可能形状，在运用这必定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a,b,

4、c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2:c2，时，以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a,b,c及a2bc2不过一种表现形式，不行以为是独一的，如若三角形三边长a,b,c满足a2cb2，那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描画时，不可以说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2亠b2=c2中，a,b,c为正整数时，称a,b,c为一组勾股数记住常有的勾股数可以提升解题速度，如3,4,5;6,8,

5、10;5,12,13;7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：22n1,2n,n1（n_2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2-n2,2mn,m2n2（mn,m,n为正整数）勾股定理的应用勾股定理可以帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题?在使用勾股定理时，一定掌握直角三角形的前提条件，认识直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应想法增加辅助线（以往作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们经过三角形三边之间的数目关系判断一个三角形是

6、不是直角三角形，在具体精选文档精选文档计算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不行不加思虑的用两边的平方和与第三边的平方比较而获取错误的结论.9.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实质问题或具体的几何问题中，是密不行分的一个整体?以往既要经过逆定理判断一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完成对问题的解决.常有图形：题型一：直接观察勾股定理例1?在ABC中，/C=90?已知AC=6,BC=8?求AB的长已知AB=17,AC=15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b2解：AB=：AC2BC2=10BC=：；AB2-AC2=8题型二

7、：应用勾股定理建立方程例2.A在ABC中，ACB=90,AB=5cm,BC=3cm,CD_AB于D,CD=_已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为_已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为_分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积?有时可依据勾股定理列方程求解解：AC=JAB2_BC2=4CD=ACBC=24AB精选文档精选文档A精选文档精选文档设两直角边的长分别为3k,4k.(3k)2?(4k)2=152,k=3,S=54设两直角边分别为a,b，则a?b=17,a2?b2=289，可得a

8、b=60S=1ab=302例3?如图ABC中，.C=90,.1=/2,CD=1.5,BD=2.5，求AC的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE_AB于E，-,/1Z2，/C=90.DE=CD=1.5在BDE中T.BED=90,BE=BD2DE22:RtACD二RtAEDAC二AE在RtABC中，/C=90AB2二AC2BC2，(AEEB)2二AC242.AC=3例4.如图RtABC，/C=90AC=：3,BC=4,分别以各边为直径作半圆，求暗影部分面积2cm答案：6题型三：实质问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一

9、棵树的树梢飞到另数的树梢，最少飞了_m精选文档精选文档分析：依据题意建立数学模型，如图AB=8m,CD=2m,BC=8m，过点D作DE_AB，垂足为E,则AE=6m，DE=8m在RtADE中，由勾股定理得AD=：；AE2DE2=10答案：10m题型四：应用勾股定理逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形例6?已知三角形的三边长为a，b，c,判断ABC能否为Rt.：52a=1.5，b=2，c=2.5，b=1，c43解：a2b2=1.5222=6.25，c2=2.52=6.25ABC是直角三角形且.C=907b2c2，aS25，b2c-a.ABC不是直角三角形916例7.三边长为a，b，c满足a，b

10、=10，ab=18，c=8的三角形是什么形状?解：此三角形是直角三角形原由：；a2b2=(ab)2-2ab=64，且c2=64.a2b2二c2因此此三角形是直角三角形题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知AABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=AC证明：7AD为中线，.BD=DC=5cm222222在ABD中，?ADBD=169，AB=169.ADBD=AB，/ADB=90，AC2=AD2DC2=169，AC=13cm，AB=AC一、选择题1、在RtAABC中，/C=90,三边长分别为a、b、c,则以下结论中恒建立的是()2222A、

11、2abcC、2abcD、2abb=c),那么a2:b2:c2=2:1:精选文档精选文档1。此中正确的选项是（）A、B、C、D、5、若厶ABC的三边A、锐角三角形a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26cB、钝角三角形C、直角三角形则此为（）D、不可以确立A、40B、80C40或360D、80或3607、如图，在RtABC中，/C=90D为AC上一点，且DA=DB=5又厶DAB的面积为10,那&如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm,叠，AC沿直线使它落在斜边AB上,且与AE重合，则CD等于（6、已知等腰三角形的腰长为10,腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积

12、为（么DCA的、长2是cm（）B、3cmC4cmD、5cmAD折）一只蚂蚁从长、宽都是33,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱D爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_。、在寂静的湖面上，有一支红莲，超过水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲挪动的水平距离为2米，问这里水深是_m。二.解答题D1.如图，某沿海开放城市BA接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D挪动，已第知8题城图市A到BC的距离AD=100km那么台风中心经过多长BC=8cm。现将直角边）时间从B点移到D点？假如在距台风中心30km的圆形地域内都将有遇到台风的破坏的危险，正在D3、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）假如梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）精选文档n为直角2、数组3、4、5;5、三角形的向来角边，用含n的代数式表示斜边和另向来角边。并写出接下来的两组勾股数精选文档当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底