选修2-2第1章第5节定积分

1、文档编码 : CW4P3J7C1J7 HN2Z5Z5J7V7 ZT3F10H3X6M1选修 22 第 1 章第 5 节 定积分（理）（学案含答案）年级高学科数学版本苏教版课程二（理）选修 22 第 1 章第 5 节 定积分标题 一、学习目标：1. 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做 功等）,从问题情境中明白定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想,初步明白 定积分的概念； 会利用定积分求由曲线围成的平 面区域的面积；2. 通过实例（如变速运动物体在某段时间内 的速度与路程的关系） ,直观明白微积分基本定 理的含义；二、重点、难点重点：定积分的运算和简洁应用；难点：利用定积分求由曲线

2、围成的平面区域 的面积；三、考点分析：定积分是新课标教材新增的内容, 主要包括 定积分的概念、 微积分的基本定理、 定积分的简 单应用,由于定积分在实际问题中应用特殊广 泛,因此在高考试题中将显现以下几个特点：1. 难度不会很大,留意基本概念、基本性质、基本公式的考查及简洁的应用； 高考中本讲的题 目一般为选择题、 填空题,考查定积分的基本概 念及简洁运算,属于中低档题；2. 定积分的应用主要是运算面积,如运算曲 边梯形的面积、 变速直线运动等实际问题要很好第 2 页的转化为数学模型；一、定积分概念定积分定义：假如函数用分点ax 0 x 1x 2x i1f x 在区间 , a b 上连续,x

3、x n b,将区间 , a b 等分成 n个小区间,在每一个 小 区 间 x i 1 , x 上 任 取 一 点 ii 1,2, , n , 作 和f i xii n1 bn a f i ,当n 时,上述和无限接近某个常数,这个常数叫做函数f x 在区间 , a b 上的定积分,记作 af x dx ,这里a、b 分别叫做积分的下限与上限,区间 , a b 叫做积分区间,函数 f x 叫做被积函数,x叫做积分变量,二、定积分性质1. bkf x dx kbf x dx；aaf x dx 叫做被积式；2. bf1 f2 x dxbf1 x dxbf2 x dxaaa3. cf x dxb cf

4、x dxb af x dx acb a三、定积分求曲边梯形面积由三条直线 xa,xb（ab）,x 轴及一条曲线 yf（x）（f（x）0）围成的曲边梯形的面积 S a f x dx；b假如图形由曲线 y1f1（x）,y2f2（x）（不妨设 f1（x）f2（x）0）,及直线 xa,xb（ab）围成,那么所求图形的面积 SS曲边梯形 AMNBS曲边梯形DMNC a f 1 x dxa f 2 x dx；b b四、微积分基本定理一般地,假如 f x 是在 , a b 上有定义的连续函数 ,f x 在 , a b 上 可 微 , 并 且 F f x , 就baf x dx F b F a ,这个结论叫做

5、微积分基本定理,第 3 页又叫做牛顿 莱布尼兹公式,为了便利,常把F b F a 记作 F x ,即 ba f x dx F x | ba F b F a ；五、常见求定积分的公式1. ba x dx nn 11 x n 1| bn 12. ba cdx cx （c 为常数）3. a sin xdx cos | a b b4. ba cos xdx sin x | ba5. ba 1x dx ln x | bb a 06. a e dx e | a b x x bx7. ba a dx xln aa | ba a 0 且 a 1学问点一：运算常见函数的定积分例 1 求以下定积分（1）3 20

6、x dx（2）0sin xdx（3）21 dx x0思路分析： 依据微积分基本定理, 只须由求导公式找出导数为x , sin x,1 x的函数即可,这就要求对基本求导公式特殊熟识；解题过程：（1）1 3x3x2（2）cos sinxln 2ln1ln 2（3）21dxlnx2 | 11x解题后反思：简洁的定积分运算熟记公式即可；例 2 运算：0sin 22 x dx思路分析： 直接求 sin 22 x 的原函数比较困难,但我们可以将 sin 2 x 先变化为 1 2 cos2 x 12 1 cos2 x ,再求积分,利用上述公式就较简洁求得结果,方法简便第 4 页易行；2 0sin2解2 01

7、cosx题2 01dx12 0过xdx1x| 0 2程x| 0 2：x 2dxdxcos1 2sin2222解题后反思： 较复杂函数的积分, 往往难以直接找到原函数,常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四就运算后,再求定积分；22例 3 用定积分的几何意义求值：（ 1）x dx；（2）1 0 1x1 2xdx2思路分析：（1）依据定积分的几何意义,利用平面几何学问可得面积； （2）可利用定积分的几何意义及公式一起解决；解题过程：（1）2 2 x 2dx 表示半圆 y2 x 2 的 2面 积 , 利 用 平 面 几 何 知 识 可 得 面 积 为,2 2 x dx ；2（2）0 1 x 1

8、2x dx0 1 x 1 2dx0 x dx,前者被 1 1 1积函数 y1 x 1 2（0 x1）恰是一个位于 x 轴上方的半圆,其面积为 2,而后者可用公式求得为 1,故 2 0 1 1 x 1 2x dx2 1；解题后反思： 依据定积分的几何意义, 可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规章图形的面积；函数例 4 已知f x xa12 t4 a dt F a 1f x 3a2dx,求0F a 的最小值；f x 、F x 都是以积分形思路分析： 这里函数第 5 页式给出的,我们可以先用牛顿 莱布尼兹公式求出 f x 与 F x ,再用导数求法求出 F a 的最小值；解题过程：

9、f x xa 12 t 4 a dt当 a 1 时,F a 最小 1 解题后反思： 这是一道把积分上限函数、 二次函数最值,参数a混合在一起的综合题,重点是要分清各变量间的关系；积分、导数、函数单 调性,最值、解析式交汇出题是近几年高考的命 题热点,把它们之间的相互关系弄清是我们解此 类问题的关键；学问点二：定积分的应用例 5 求在0, 2 上,由x轴及正弦曲线ysinx围成的图形的面积；思路分析： 由于在0,0上, sinx0,其图象在x轴上方；在0, 2 上, sinx,其图象在x轴下方,此时定积分为图形面积的相反数,能表示面积；应加确定值才解题过程：作出 y sin x在 0, 2 上的

10、图象如图所示 ,y sin x 与 x 轴 交 于 0 、2 , 所 求 面 积2 2S 0 sin xdx | sin xdx | cos | 0 cos | 4解题后反思：利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形,确定图形范畴其次步：解方程组求出图形的交点坐标,确定积分的上、下限第三步：确定被积函数, 留意分清函数图形的上、下位置第 6 页第四步：运算定积分, 求出平面图形的面积例 6 汽车以每小时54 千米的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度 3 米/ 秒刹车, 问从开头刹车到停车, 汽车走了多少千 米？思路分析：汽车的刹车过程是一个减速运动 过程,我们可以利用

11、定积分算出汽车在这个过程 中所走过的路程, 运算之前应先算出这一过程所 耗费的时间和减速运动的变化式；解题过程： 由题意,v 0054千米 /时 15 米/秒v t v 0at153 t,令v t 得 153t0,t5,即 5 秒时,汽车停车；所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为s5v t dt5153 t dt15 t3t25 | 037.5米0.0375千米002答：汽车走了 0.0375 千米；解题后反思：如做变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为vv t 0意义可知,做变速运动的物体在,由定积分的物理 , a b 时间内的路程 s 是曲边梯形（阴影部分）的面积,即路程s ba v t

12、dt；假如 v t 0 a t b ,就路程 s ba v t dt；如图,过抛物线 C：y3x2（x0）上一点 A（t,3t2）的切线为 l（0t1）,S1 是抛物线 C与切线 l 及直线 x1 所围成的图形面积； S2 是抛物线 C 与切线 l 及直线 x0 所围成的图形面积；（1）求切线 l 的方程；第 7 页（2）用 t 表示 S1和 S2；（3）如 27 S2S1,求 t 的值；常见错误： 不能将有关学问点有效整合；计策：切线的斜率即是函数在点 A 处的导数值,再由定积分式算出 S1 与 S2并用 t 表示,最后是代入方程中求出 t 的值；正解：（1）y6x,故在 A 点处的导数值为

13、 6t,此时切线的方程为： y3t26t（xt）,整理得 y6tx3t2（0t1）（2）S2o 3 x 2 6 tx 3 t 2 dx（x33tx 23t2x）| 0tt3,（0t1）；S1t 1 3 x 2 6 tx t3 2 dx（x33tx 23t2x）| 1 t13t3t2t3（1t）3,（0t1）；（3）27 S2S1 27（1t）3t3 t 4 3；反思： 此题考查了导数与定积分的几何意义,是一道不错的综合题, 复习时应留意定积分的学问与其他学问的结合点；1. 定积分 af x dx是一个常数；2. 用定义求定积分的一般方法是：（1）分割： n 等分区间 a,b；（2z）近似代替：

14、取点 i x i 1, x ；（3）求和：i 1 f i b n；（4）n取极限：af x dx blim ni n1 f i bn a3. 利用微积分基本定理（即牛顿莱布尼兹公式）求定积分,关键是找到中意 F（x） f（x）的函数 F（x）,即找被积函数 f（x）的原第 8 页函数 F（x）,利用求导运算与求原函数运算互为 逆运算的关系, 运用基本初等函数求导公式和导数四就运算法就从反方向上求出F（x）；4. 利用定积分求曲边梯形的面积,要利用数 形结合的方法确定出被积函数和积分的上、下限；5. 几种典型的曲边梯形的运算方法：（1）由三条直线 xa,xb（ab）, x轴和曲线 yf（x）（f（x）0）围成的曲边梯形的面积 Saf x dx（如图）（2）由三条直线xa,xb（ab）, x轴和曲线 yf（x）（f（x）0）围成的曲边梯形的面积