选修2-1第05讲抛物线

1、文档编码 : CU8X10P5R7R5 HQ3Q3Y1T8D1 ZN6N9O4S1V10第 5 讲 抛物线A 组一、选择题1在y22 x 上有一点 P ,它到A 1,3的距离与它到焦点的距离之和最小,就点P 的坐标是（）2 ,1 D（ 1,2）A（ 2,1） B（ 1,2） C【答案】 B【解析】由抛物线定义点 P 到焦点的距离为点 P 到抛物线准线 y 1的距离,可知,8当过点 A 作直线垂直于抛物线的准线时,此时抛物线上点 P 到 A 1,3 的距离与它到焦点的距离之和最小,且点 P 横坐标为 1,代入抛物线方程可得 P 2,1 .2如图,已知直线 l：y k x 1 k 0 与抛物线 C

2、 : y 24 x 相交于 A、B 两点,且A、B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M 、 N ,如 | AM | 2| BN ,就 k 的值是（）A1 B2 C2 2 D 2 23 3 3【答案】 C【解析】设 B x y ,直线 y k x 1 过定点 1,0在抛物线的上,就由 AM 2 BN 得A 2 x 1,2 y ,所以4 y 2y 2 4 x42 x 1,解得 xy 122,k12 2 1 0 2 23应选 C3已知抛物线 C : y 24 x 上一点 A 到焦点 F 的距离与其到对称轴的距离之比为 5：4,且 AF 2,就 A 点到原点的距离为（）A3 B 4 2 C 4

3、D 4 3【答案】 B【解析】试卷第 1 页,总 18 页设A x y , ,就xy15y2y15y4 或y（舍AF2）A 4, 4,444,所以到原点的距离为4 2 ,选 B2:x2y21a0,b0的一条4点 A 是抛物线C 1:y22px p0与双曲线Ca2b2p ,就双曲线C 的离心率等于 （）渐近线的交点, 如点 A 到抛物线C 的准线的距离为5 D6A2 B3 C【答案】 C【解析】双曲线的渐近线方程为：ybx,由题意可求得点0A p,p代入渐近线得a2bp2, ba24,c2aa24,2 e5,eap5,应选 C.225抛物线y24px p0与双曲线x2y21 a0,b有相同的焦点

4、F ,点 Aa2b2是两曲线的交点,且AFx 轴,就双曲线的离心率为A.51 B.21 C.31 D.22122【答案】 B【解析】抛物线的焦点和双曲线的焦点相同,p=2c A是它们的一个公共点,且 AF 垂直 x 轴,设 A 点的纵坐标大于 0,2 2 |AF|=p ,A（p ,p）,点 A 在双曲线上, p2 p2 1,p=2c,b 2c 2a ,22 4 a b4 2 2 4 4 2 2 2c 6 c a a 0,e 6 e 1 0,e 1,e 3 2 2e 2 1,6设抛物线 y 22 px p 0 的焦点为 F ,准线为 l ,过抛物线上一点 A作 l 的垂线,垂足为 B ,设 C

5、7p ,0, AF 与 BC 相交于点 E ,如 CF 2 AF ,且 ACE 的面2积 为 3 2,就 p 的 值 为A. 6 B. 2 C. 3 D. 2【答案】 A【解析】设点Ax0y0,就由于CF3p,所以由CF2AF 可得AF3p,2试卷第 2 页,总 18 页再 由 抛 物 线 的 定 义 可 得 ：AF AB 3p, 即 x 0 p 3 p, 所 以 x0 p,2 2 21 3 2 2y 0 2 p,所以 AFC 的面积为 3 p 2 p p,所以 ACE 的面积为2 21 3 2p 2 2p 23 2,所以 p 2 6,即 p 6,故应选 A.3 2 227如抛物线 x 4 y

6、 上有一条长为 6 的动弦 AB ,就 AB 的中点到 x 轴的最短距离为（）A3 B3 C1 D24 2【答案】 D【解析】设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ,抛物线准线 y 1,依据梯形的中位线定理,得所求的距离为 S y 1 y 2 y 1 1 y 2 11,由抛物线的定义得 S AF BF1,利2 2 2用 两 边 之 和 大 于 第 三 边 且 当 A B F 三 点 共 线 时 取 等 号 , 所 以AF BF ABS 1 1,应选 D22 2二、填空题8已知抛物线y24x,过其焦点F 作直线 l 交抛物线于A,B 两点, M 为抛物线的准线与 x 轴的交点,

7、tanAMB4 3,就 AB_.【答案】 16【解析】焦点F1,M1,设 AB 方程ykx1设Ax 1, y 1,Bx 2, y2,4 3,y1y2由于tanAMB4, 即1x 111x2y13y 12x 1x21y 1y2整理得：2 kx 1x 24x 11x 21433ykx1与y24x联立可得k2x22k24xk20,可得x 1x 21,x 1x242,y 1y24,代入可得,k22 kx 1x 244,3k2试卷第 3 页,总 18 页2 2所以 x 1 x 2 83,所以 42 2 4 83,解得 k 3,3 k k 3 k 3所以 x 1 x 2 42 2 14,k所以 AB 1

8、1 196 4 16 , 故填： 16.329已知抛物线：x 2 y ,过点 A 0, 2 和 B t ,0 的直线与抛物线没有公共点,就实数 t 的取值范畴是【答案】 , 1 1, 【 解 析 】 显 然 t 0, 直 线 AB 方 程 为 x y 1, 即 2 x t y 2 t 0, 由t 222 x t y 2 t 0,消去 y 得 tx 2 4 x 4 t 0,由题意 4 216 t 20,解得x 2 yt 1 或 t 1210已知抛物线 y 4 x 与经过该抛物线焦点的直线 l 在第一象限的交点为 A, A 在y轴AB2和准线上的投影分别为点 B C ,BC,就直线l的斜率为【答案

9、】2 2【 解 析 】 设A x0,y0, 就ABx 02, 所 以ABx 0,BC1, 由BC1x 02,y 0422 2,又焦点F1,0,所以直线l的斜率为k2 22 2应21填2 2.11已知点 A 是抛物线 y 1x 的对称轴与准线的交点,2点 F 为该抛物线的焦点, 点 P4在抛物线上且中意 PF m PA , 就 m 的最小值为【答案】222【解析】F 0,2 , A 0, 2,设 P x , x4 2,由 PF mPA 得 mx 2 x42 22x 2,4试卷第 4 页,总 18 页2化简得 m 164 16 16 xx 2x 4 1x 2 1664x 2 16 2 6 x 0,

10、这是最大值 . 设直线 PA 的倾斜角为,就 sin m,当 m 取得最小值时, sin 最小, 此时直线 PA 与抛 物 线 相 切 . 设 直 线 的 方 程 为 y kx 1, 代 入 抛 物 线 方 程 , 化 简 得x 24 kx 4 0, 16 k 216 0, k 1,故 m 的最小值为 2 .4 2212已知抛物线 C y 2 px p 0 的焦点为 F , 过点 F 作倾斜角为60的直线 l 与抛物线 C 在第一、四象限分别交于 A B 两点 , 就 | AF | 的值等于| BF |【答案】 3【解析】设直线l:y3xp与C y22px p0联立可得3y22pyp3p20,

11、2设Ax1,y 1y 10,Bx 2,y2y20,就y1y22p,y 1y22,故3y1y222p24y1y216p2, 所以y 11yy2216, 即y 1y210 3, 解y23y2y 133之得y 13或y 11（舍） , 所以|AF|y 123, 应填 3.y2y 23|BF|yC 上 , 且13 已知抛物线C:y24x 的焦点为F,0为坐标原点, 点 P 在抛物线PFOF , 就 OFPF【答案】5【解析】易知 |OF|=1, |PF| 2, 就|OFPF| |FOFP| |OP|OF|2|FP2 |5.三、解答题14已知抛物线y24x 的焦点为 F ,过点 F 的直线交抛物线于A

12、B 两点 . （ 1）如AF3 FB ,求直线 AB 的斜率；（ 2）设点 M 在线段 AB 上运动, 原点 O 关于点 M 的对称点为 C ,求四边形 OACB 面积的最小值 . 【解析】（ 1）依题意可设直线AB xmy1,试卷第 5 页,总 18 页将直线 AB 与抛物线联立x2my1y24my4y024y y 1 20）4y4x设A x 1,y 1,B x2,y 2由韦达定理得y 1y 24 my y 24y 1y 2AF3 FBy 13y ,2m 21,斜率为3 或3 . 3（2S OACB2 SAOB21OF y 1y 2y 1y216 m 2162当m0时,四边形 OACB的面积

13、最小,最小值为4. kxa a交于M N 两15在直角坐标系xOy 中,曲线C:yx2与直线l:4点（ 1）当 k 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（ 2） y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 OPM OPN ？说明理由【解析】（ 1）由题设可得M2a a,N2a a ,或M2a a,N2a a 又yx,故yx2在x2a 处的导数值为a ,C 在点 2a a 处的切线方程为24yaa x2a,即axya0yx2在x2a 处 的 导 数 值 为a , C 在 点2a a处 的 切 线 方 程 为4yaa x2a,即axya0故所求切线方程为axya0和axya

14、0（ 2）存在符合题意的点,证明如下：设P0,b 为符合题意的点,Mxx y 1,N x 2,y 2,直线PM PN 的斜率分别为k k 将 ykxa 代入 C 的方程得24kx4a0故x 1x24 , k x x24a 试卷第 6 页,总 18 页从而k 1k2y 1x 1by2b2kx x 1 2abx 1x 2k ab,x24yx 2x x 2a当 ba 时,有k1k20,就直线 PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故OPMOPN ,所以点p0,a 符合题意16已知抛物线x24y的焦点为 F ,准线为 l , 经过 l 上任意一点 P 作抛物线的两条切线,切点分别为 A、B.（ 1）

15、求证：以 AB 为直径的圆经过点P；（ 2）比较 AF FB 与PF2的大小 .【解析】（ 1） 证 明： 根 据 已 知得 l 的 方 程为y1. 设P a , 1 ,A x y 1,B x 2,y 2, 且y 112 x 1,y21x 22.442 x 1, 化简由y12 x 得yx, 从而kPA1x 1,k PAy 11,1x 1y 11,y 11422x 1a2x 1a4得x 122ax 140. 同理可得2 x 22ax240.x 1,x 为方程x22ax40的根 . x 1x 22 , a x x 24.PA PBx 1a y 11x 2a y21810 x 1ax 2ay 11y

16、 21x x 2a x 1x 2a2x x 222 x 12 x 2142 2 aa2114 a216444,PAPB , 即 PAPB ,以 AB 为直径的圆经过点P .x 1x 222x x 21（2）根据已知得F0,1.y 1y21x x 2x x 22AF FBx 1,1y 1x 2,y21x x 2y y2164又由（1）知：x 1x 22 , a x x24,AF FB4a2,PF2a24,AF FBPF2.17已知已知点是直线l1:x1上的动点,过作直线2l ,l1l ,点 F 1,0 ,线段F的垂直平分线与2l 交于点（）求点的轨迹 C 的方程；试卷第 7 页,总 18 页（）

17、如点,是直线21l 上两个不同的点,且的内切圆方程为x2y21,直线F的斜率为k,如k2,求实数的取值范畴【解析】（）依题意,点到点 F 1,0的距离等于它到直线1l 的距离,12点的轨迹是以点 F为焦点,直线l1:x1为准线的抛物线曲线 C 的方程为y24x （）设点x 0,y 0,点1,m ,点1,n ,直线方程为：ymy0mx1,x01化简,得y 0m xx 01yy 0mm x 010的内切圆方程为x2y21,圆心 0,0 到直线的距离为 1,即y 0mm x 0122x 0y 0m11x 0故y0m2x 012y0m22m y 0mx01m2易知x 01,上式化简得,x 012 m2

18、y mx 010同理,有x 01n22y nx 010m , n 是关于 t 的方程x 01t22y tx 010的两根mnx2y 0,mnx 01x 01102mn2mn24mn4y224x010 x 01x 01y24x ,y 02x 0,0216x 024x014x204x 0210 x 01x 01x1直线F 的斜率kxy01,就k2x0y2 0124x02x 010试卷第 8 页,总 18 页2k2x 0 2 x4 0 x 0 1 x 0 11 4x 0函数 y x 1 在 1, 上单调递增,x1 1x 0 1 1 0 x 0 4 4x 0 x 00 1 1x 0 14 4x 010

19、418 已知边长为 8 3 的正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线2C : x 2 py p 0 上.（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）已知圆过定点D0 ,2 ,圆心 M 在抛物线 C 上运动,且圆M 与 x 轴交于A,B两点,设DAl1,DBl2,求l1l2的最大值 .l2l1【解析】（ 1）由题意,正三角形的另外两个顶点坐标为44b43,12,代入抛物线方程得p2,所以抛物线方程为x24y；（ 2）设圆 M的圆心坐标为Ma ,b,就a2圆 M的半径为MDa2b2222圆 M的方程为xa2yb2a2b令y0,就xa2b2a2b22整理得x22 ax4 b40由解得xa2,不妨

20、设Aa2 , 0,Ba2 0,所以l1a224,l2a22试卷第 9 页,总 18 页所以l 1l221a216211622,l2l16428当且仅当a264a22.,即a22时取等号,a2l22,当a0时,l1l2l1a22时,所求最大值为2综上可知,当B 组一、选择题1 已 知 双 曲 线C 1:x2y21 a0,b0的 右 焦 点 F也 是 抛 物 线a2b2C 2:y22px p0的焦点,C 与C 的一个交点为P ,如 PFx 轴,就双曲线C 1的离心率为（）21 D31A21 B2 C【答案】 A【解析】由题意可知cp,2 b22p,所以22 b4c,即c2a22 ac ,所以2aa

21、2 e2 e10,解之得e21,应选 A.4x上 不 同 的 两 点 , F 为 焦 点 , 如2 Px 1y 1、Qx 2y2分 别 为 抛 物 线y2|QF|2|PF|,就（）y 22y 11 Dy 22y 1Ax 22 11 Bx 22x 1 C【答案】 A2【解析】在抛物线 y 4 x 中焦参数为 p 2,因此 PF x 1 1,QF x 2 1,所以 x 2 1 2 x 1 1,即 x 2 2 x 1 1应选 A3已知抛物线 y 24 x 的焦点为 F ,点 M m ,0 在 x 轴的正半轴上且不与点 F 重合,如抛物线上的点 A 中意 FA MA 0,且这样的点 A 只有两个,就

22、m 中意（）Am 9 Bm 9 或 0 m 1Cm 9 D 0 m 1【答案】 A【解析】由题知F1,0, 又FAMA0, 就 FAMA , A 点在以 FM 为直径的圆上 ,试卷第 10 页,总 18 页设圆上任一点为 ,x y , 可得圆方程 x 1 x m y 20 , 依据圆与抛物线的对称2性 与 y 4 x 有 两 横 坐 标 相 同 的 交 点 , 将 两 方 程 联 立 , 消 去 y , 可 得2x m 3 x m 0 , 由方程有一解 , 据 0 可得 m 9 . 故此题答案选 A.4已知抛物线 C : y 28 x 的焦点为 F ,准线为 l ,P 是 l 上一点, Q 是

23、直线 PF 与 C 的一个交点,如 FP 4 FQ ,就 | QF |（）A3 B5 C7 D32 2 2【答案】 A【解析】设P2,t,Qx0,y0,F2 0, 就FP4 ,t,FQx 0,2y 0, 由题设可得4 x024, 即x01, 所以|QF|0 x23, 应选 A；5抛物线y2mx m0的焦点为 F ,抛物线的弦 AB 经过点 F ,并且以 AB 为直径的圆与直线x3相切于点M 3,6,就线段 AB 的长为（）A12 B16 C18 D24【答案】 D【解析】因x3是抛物线的准线,故m2p12；即抛物线方程为y212x ；又线段 AB 的中点纵坐标为6；并且F3, 0；设直线AB

24、的方程为yk x3,就y212 x3yk2 y3ky212y36k0；y 1y21212,k1；yk x12kO 为坐标原点,直线AB 斜率为从而求得 |AB|24, 故应选 D；6已知A B 为抛物线y24x 上异于原点的两个点,2,就ABO 重心的纵坐标为（）A2 B4 3 C2 3 D1【答案】 C【解析】设A 2 y 1,y 1,B y22,y2,就y 1y222y 1y 22,因此ABO 重心的纵坐442 y 1y 2044PQF 中, P 在 C 上, Q 在 C 的准线上 , F 为标为y 1y22,选 C.3324x , 如等边三角形7已知抛物线C:y试卷第 11 页,总 18

25、 页C 的焦点 , 就 PF（） 3 D 2A 8 B 4 C【答案】 B【解析】设Px0,y0,Q,1t, 就PFx 0,1PQx 012y 0t2, 由PF2PQ可得y0t, 故x0211, 即x03, 所以PF0 x14,故应选 B.4x上8已知函数fxax12a0 且a1的图象恒过定点A,设抛物线E：y任意一点 M到准线 l 的距离为 d,就 dMA 的最小值为（）2A. 5 B.10 C.5 D.【答案】 C【解析】x 1 0 时,y 1,故 A 1, 1,设抛物线焦点为 F 1,0,依据抛物线的定义可知, d MA 的最小值为 AF 5 .29抛物线 y 2 px p 0 的焦点为

26、 F ,已知点 A B 为抛物线上的两个动点,且中意ABAFB 120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为 N ,就 的MN最小值为（）A3 B2 3 C 13 3D3【答案】 D【解析】如以下图,过A B 分别作准线的垂线AQ BP ,垂足分别为Q P ,设AFaBF ,b,b连接AF,BF ,由抛物线的定义,得AFAQ,BFBP ,在梯形ABPQ 中,2 MNAQBPab,由余弦定理得：A2B22 a2c bo0 a s2 b 1, 整 理 得 22 0 AB2aab2 bab , 因 为aba2b2,就ab2abab2a2b 32 ab,2 即 4试卷第 12 页,

27、总 18 页AB23 4ab2,所以AB23 a41 a4b 23,所以AB3,应选 DMN2b 2MN二、填空题10设抛物线y28x 的焦点为 F ,准线为 l , P 为抛物线上一点,PAl , A 为垂足,假如 AF 的倾斜角为2 3,就 |PF| .【答案】 8【解析】2抛物线方程为 y 8 x ,焦点 F ,2 0,准线 l 方程为 x 2,直线 AF 的倾斜角为2,直线 AF 的方程为 y 3 x 2,由 x 2可得 A 点坐标为3 y 3 x 2,2 4 3 PA l , A 为垂足, P 点纵坐标为 4 3,代入抛物线方程,得 P 点坐标为 ,6 4 3,PF PA 6 2 8

28、 , 故答案为 8 .2 2 211已知圆 x 1 y 4 与抛物线 y mx m 0 的准线交于 A、B两点,且 | AB | 2 3,就 m 的值为 _.【答案】 8【解析】抛物线 y2mx m 0 的准线为：x m,4圆心（ -1 ,0）到准线的距离 d m 1,42 2AB 2 3 2 4 m 1,化为：m 1 1,m 0,解得 m=84 412过抛物线 y 2 2 px p 0 焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,作 AC,BD 垂直抛物线的准线 l 于 C、D,O 为坐标原点, 就以下结论正确选项（填写序号）. AC CD BD BA ；试卷第 13 页,总 18 页存在R

29、 ,使得 ADAO 成立；0. FC FD0；准线 l 上任意点 M ,都使得AMBM【答案】【解析】设 AB : x ty p代 入 y 22 px p 0 可 得 y 22 t p y p 20 . 设2A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 , 就 C p , y 1 , D p , y 2 , F p , 0 且2 2 22 2y 1 y 2 2 tp , y 1 y 2 p . 所 以 x 1 x 2 2 t p p , 就2AB AF BF x 1 x 2 p 2 t p 2 p . 而 AB 的 中 点 到 准 线 的 距 离d x 1 x 2 t 2p p 1AB

30、, 所以以 AB 为直径的圆与准线相切 , 所以不正确 . 又2 2由于 k AO yx 1 1 2y p1 , k OD y 2p 2p y 2 2y y py2 222 p k FC y 1 , k DF y 2, 所以 k OA k OD,k CF k DF y y2 21 , 即 A , O , D 共线且y 1 p p pCF DF , 所以都是正确的 . 明显正确 , 故应填 .13设 O 为坐标原点,抛物线 C ：y 2 4 x 的准线为 l ,焦点为 F ,过 F 且斜率为 3的直线与抛物线 C 交于 A, B 两点,且 | AF | | BF |,如直线 AO 与 l 相交与

31、 D ,就| OF | .| BD |3【答案】4【解析】过 F 且斜率为3 的直线方程为y3x1,与抛物线C：y24x联立解y233x与l:x1的 交 点得A 3,23,B , 132 3, 就 直 线AO方 程 为3|OF|13D 1,2 3,因此|BD|4433关 于 直 线 yxm 对 称 , 且14 抛 物 线y2x2上 两 点A x 1y 1、B x 2y 2x 1x21,就 m等于 .2试卷第 14 页,总 18 页【答案】32【解析】由条件得 A x 1,y 1、 B x 2,y 2两点连线的斜率ky2y 1x 11,x2x 1而y2y 12x22 x 1,得x 1x 21,且

32、2x2,y12y2在直线22yxm上,即y 12y2x 12x2m ,即y 1y 2x 1x22m x 1x 22m,又由于 Ax y 1、Bx 2,y 2两点在抛物线y2x2上,y2所以有22 x 12 x 2x 1x 22m ,：即2x 1x 222 x x 2把代入整理得2m=3,解得m3x21相交于A B 两215抛物线y22px p0的焦点为 F ,其准线与双曲线点,如ABF 为等边三角形,就p【答案】 2 3【解析】抛物线的准线方程为 x p, 设 A B 两点的纵坐标为 y A , y B , 由双曲线方程可知22y 2A y B 21 p, 焦点到准线的距离为 p . 由等边三

33、角形的特点可知 3 AB p , 即4 223 1 p p , 可得 p 2 3 . 故答案应填 2 3 .4来构造等式 . 再运用数形结合 , 利用等边三角形的牲征得出关于 p 的方程 .三、解答题16动点 P 在抛物线x2=2y 上,过点 P 作 x 轴的垂线,垂足为Q ,设 2PMPQ .（）求点 M 的轨迹 E 的方程；（）设点 N 4,4 , 过点 H 4,5 的直线交轨迹 E 于 A B （不同于点 N ）两点,设直线 NA NB 的斜率分别为 k k ,求 | k 1 k 2 | 的取值范畴 .【解析】（）设Mx,y,有Px2,y,将 P 代入x22y,得x24y,从而点 M 的

34、轨迹 E 的方程为x24y. 试卷第 15 页,总 18 页（）设Ax 1,y 1,Bx2,y 2,联立ykx4 5,得x24kx16k200,2 x4y就x 1x2x 24 k20,由于k 1y 14,k 2y 24,所以x 116 kx 14x 24x 1x2x2|k 1k2|kx 1x 14k1kx 2x 24k1|x 118k44x 24x 116A B 两点,由于A B 不同于点 N ,所以k1,就|k1k2|k2218故k 1k2的取值范畴是,1. 5, 2的动直线 l 交抛物线于17已知抛物线2 y2px p0,过点M当直线 l 的斜率为 -1 时,点 M 恰为 AB 的中点（

35、1）求抛物线的方程；（ 2）抛物线上是否存在一个定点P ,使得以弦 AB 为直径的圆恒过点P ,如存在,求出点 P 坐标,如不存在,请说明理由【解析】（ 1）当直线 l 的斜率为-1 时,直线 l 的方程为 x y 3 0,即 x 3 y ,代入y 22 px p 0 得 y 22 py 6 p 0,y 1 y 2 p 2, p 2,所以抛物线的方2程为 y 24 x（ 2）设直线 l 的方程为 x m y 2 5,代入 y 24 x 得 y 24 my 8 m 20 0,2 2设点 A y 1 , y 1 , A y 2 , y 2 , 就 y 1 y 2 4 m y y 2 8 m 20,4 42假 设 存 在 点 P y 0, y 0 总 是 在 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 上 , 就42 2 2 2y 1 y 0 y 2 y 0PA PB y 1 y 0 y 2 y 0 04 4 4 4当 y 1 = y 或 y 2 =