离散傅里叶变换DFT

1、第三章离散傅里叶变换DFT3.1学习要点3.1.1 DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义1. DFT的定义设序列x(n)为有限长序列，长度为M，则定义x(n)的N(n M)点离散傅立叶变换为 TOC o 1-5 h z X (k )= DFTx(n )=习 x(n Wkn,k = 0,1,，N -1(3.1)Nn=0X(k)的N点离散傅立叶逆变换为x(n )= IDFT x (k )=云 X (k )W-kn, n = 0,1,N 1(3.2)NNk =0.2tt其中，WN = e-JN，N成为DFT变换区间长度。由定义可见，DFT使有限长时域离散序

2、列与有限长频域离散序列建立对应关系。2. DFT与ZT、FT的关系设X )= FT x(n ) X (z )= ZT x(n )X (k )= DFT x(n)N点X (X (k )= X (jJX (k )= X (z)k X (k )= X (z)k = 0,1,N 1(3.4)即序列x(n)的N点DFT的物理意义使对x(n)的频谱X(冷)在),2兀上的N点等间隔采 样，采样间隔为2兀N。即对序列频谱的离散化。根据上述基本内容，我们可以看出，对同一序列x(n )：(1)DFT变换区间长度N不同，变换结果X(k)不同。当N确定后，X1)与x(n)是 对应的。当N足够大时，|X(k)的包络可逼

3、近|X 1加)曲线。这一概念在用DFT进行谱分 析使很重要。X(k)表示=Q&N频点的幅度谱线。如果尤。)是一模拟信号的采样，采k样间隔为T，=QT = 2酒T，则k与相对应的模拟频率f的关系为(3.5)A一1即对于模拟频率而言，N点DFT意味着频域采样间隔为N Hz。所以用DFT进行谱分析时，称F = 1 NT为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间长度，显然为了提高频率分辨率，就必须使记录时间T足够大。p3.1.2 DFT的隐含周期性DFT的隐含周期可以从三种不同的角度得出：(1)如前综述，X()是对X(加)的采样，由于X(处)是以2兀为周期的周期函数， 即X(k)是对X。)的主值区b,2兀

4、上N点等间隔采样。显然，当自变量k超出DFT变换 区间时，必然得到b,2兀之外区间上X(冷)的采样，且以N为周期重复出现，得到X()= X&)。N(2)由Wkn的周期性WNk+mN)n = Wkn，可以证明X (k)的隐含周期性。X (k + mN)=如 x(n W(+mN)n = 如 x(n Wkn = X (k)NN n=0n=0即X()隐含周期性，周期为N。(3)由X()与x(n)的周期延拓x()n的DFS系数X()的关系也可以得出DFT的 隐含周期性。设x(n)的周期延拓序列x(n)= x(n)七，则xN (n)的DFS系数为X(k)=如 x (n)e-代成=切 x(nWknNNn=0

5、n=0显然，当k = 0,1, ,N -1时，X (k )= X (k )= DFT x(n )即X (k )= X (k ) Rn (k )(3.6)由于X(k)是以N为周期的，所以有X (k )= X (k )N(3.7)由此得出结论，有限N长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)也可以定义为x(n)的周期延拓序列x(n)的离散傅里叶级数系数X(k)的主值序列，即(3.6)式。显然当k的取值 N域不加限制时，X(k)的取值将是以N为周期的，这就是X()的隐含周期性。另外，X (k )表示x N (n)的频谱特性，所以取主值序列x(n )= x N (n)RN (n)和 X(k)= X).

6、 Rn(k)作为一对变换是合理的。这里得出X(k)的一种物理解释：实质上， X(k)= DFTx(n)表示周期序列x(n)七的频谱特性。3.1.3 DFT的主要性质DFT的定义给出了一个有限长时域序列x(n)的N点DFT的数字运算定义公式，并给出了 DFT的物理概念，这对于理解与应用DFT是必不可少的。但利用DFT的一些基本性质 解决一些问题将更方便，更明了。学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们 知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序 列的移动范围无任何限制。然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，D

7、FT变换区间为0 n N -1。 这一点与傅立叶变换截然不同，由于n N区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以n = N;2点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用xep(n)和气,(n)分别表示有限长(或圆周)共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为如果x(n )如果x(n )= xep(n )+ xopx (n)= x*(N - n)0 n N -1x (n)=-x*(N - n) 0 n M时，才能由X（）恢复x（n）= IDFTX（）=工 x（n + lN）R （n）Nl=s否则产生时域混频失真，无法由X （）得到x（n）o3.1.5 DFT的应

8、用DFT的应用极为广泛，凡是利用快速信号处理的领域都可能用到DFT，实际上都是采用 DFT的快速算法（FFT）计算DFT和IDFT。信号经过一线性非移变系统进行处理，实质上 就是计算输入信号x（n）与系统单位脉冲响应h（n）的线性卷积。所谓的快递卷积就是根据DFT的循环卷积定理，在满足循环线性卷积的条件下，通过DFT将xO与的卷积变成频域X(D与H(0的相乘，再经过IDFT即得到。其中DFT和IDFT均采用快速算法, 从而使卷积运算速度大大提高。3.2教材第三章习题解答1.计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间OJnJN-1内，序列定义为(2) x(n) = 8 ()；(4) x(n) = R

9、 (n),0 mNm2兀(6) x(n) cos(nm),Q m N N(8) x(n) = sin(w n).R ()；o N(10) x(n) = nR ()。N解:(2)X (幻=云 8 (n)W 奶=如 8 S) = 1, k = 0,1, . . ., N -1(2)N TOC o 1-5 h z n=0n=0(4)X(k) = lWknN(4)X(k) = lWknNn=0n = e-JNk(ml) N ,k = 0,l,.，N l1-Wk/兀、nsin( tn)N=1切Jjfn * 1如g-芍心522=0=0-K(z)n l-e-j2(m+k)N=+.2k7.2兀,7、l-eJN

10、(mk) l-eJN(m+k)10kN 0kN TOC o 1-5 h z = N,Q,k m或k N-m(6) X() = 2 cosf mn = S1 (ejZmn + emnekn N ) n 2=0n=0(8)解法1直接计算x (n) = sin(w n)R ()= 一 电川一g-川4? (n)8ON 2jNX (k)二如 x(n)Wkn8X (k)二如 x(n)Wkn8Nn=01毗J ejw0n2 jn=0e - jw0n1-j 皿 kn eN解法2因为所以二命.n =0 L（wn-2）n e - j（w。+了）由DFT的共轭对称性求解1 ejw0N1 ejw0N1 ej(wn-Sk

11、)1 - ej(wn+*)x (n) = ejw0nnR (n) = lcos(w n) + j sin(w n)R (n)x (n) = sin(w n)R (n) = Imtx (n)70DFTjx (n)= DFTjImL (n)=X (k)7087X (k) = -jX (k) = -j 1 X (k) - X*(N - k)8702771 1 ejw0 N1 ejw0 N()2x_2x1 eJ (w0n k)1 eJ (w0n (Nk)1 ejw0 N1 ejw0 N()*2xj (w -k)j (w +k)1 e 0 n 1 e 0 n结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性

12、。（10）解法1X （k）=尸 nWkn k = 结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法1X （k）=尸 nWkn k = 0,1,，N 1Nn=0上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解X（k）。因为x(n) = nR (n)所以x(n) x(n 1) R (n) + N6 (n) = R (n)等式两边进行DFT得到X (k) X (k)Wk + N = N5 (k)N (k)-1X(k) =, k = 1,2，N 一 11 WkN当k = 0时，可直接计算得出X（0）X （0）=芸 n * W 0 =习 n = N（N -1） n2n=0n=0这样，X（k）可写成

13、如下形式:X (k)= X (k)= ,k = 1,2，N -11 - Wk解法2k = 0 时，N -1N (N -1)X (k) = N n =解法2k = 0 时，N -1N (N -1)X (k) = N n =2n=0k丰0时，X(k) = 0 + Wk + 2W 2k + 3W 3k + (N - 1)W (N-1) kWknX(k) = 0 + W2k + 2W3k + 3W4k + . + (N - 2)W;n-1)k + (N -1)X(k) - WknX(k)= NWkn - (N - 1)芝NN n=1Wkn -1 - (N -1) = N Nn=0所以，X (k) =

14、- N , k 01 - WkNX (k)=N (N -1) ,k = 0 2-N,k = 1,2，N -1 1 - WkN2,已知下列X (k),求 x(n) = IDFT X (k);(1)X (k) = NejQ, k = m2Ne - j。，k = N - m ；2；0,其它k(2)X (k) = N-jej。, k = mNje - j。, k = N - m0,其它k解：(1)x( n) = IDFT X (k) = tw x( n) = IDFT X (k) = tw - kn = N 0 N NNej ej N mn + Ne 顼 e：(N - m)n22+ e - j (:

15、mn+)=cos(竺 mn + O), Nn = 0,1，N -1x(n) = 1NN . N2 jejQW-mn + 2 ejQW-(Nm)n(2)12k2k.j( mn+Q)- j( mn+Q)e n e n=sin(竺 mn + Q),Nn = 0,1,N 13.长度为N=10的两个有限长序列1,0 1,0 n 40,5 n 91, 0 n 41,5 n 9作图表示 x (n)、x (n)和 y(n) = x (n) x (n)。1212解：x (n)、x (n)和 y(n) = x (n)x (n)分别如题 3 解图(a)、(b)、(c)所示。121214.两个有限长序列x(n)和y(

16、n)的零值区间为：x(n) = 0, n 0,8 ny (n) = 0, n 0,20 n对每个序列作20点DFT,即X (k) = DFT x (n), k = 0,1, ,19Y (k) = DFT y (n), k = 0,1, ,19 如果.F (k) = X (k) Y (k), k = 0,1, ,19f (n) = IDFT F (k), k = 0,1, ,19试问在哪些点上f (n) = x(n)*y(n)，为什么？解：如前所示，记 f (n) = x(n)*y(n)，而 f (n) = IDFTF(k) = x(n) y(n)。f (n)长度为27，f (n)长度为20。已

17、推出二者的关系为f (n)=党 f (n + 20m) f (n)=I20只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足f (n) = f (n)所以f (n) = f (n) = x(n) * j(n), 7 n 1915.用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率F 50Hz，信号最高频率为1kHZ，试 确定以下各参数：(1)最小记录时间Tp(1)最小记录时间Tp min(2)最大取样间隔T；max(3)最少采样点数N；min(4)解：(1)(4)解：(1)已知F = 50 HZ(2)Tmax(3)f.min2 fmax2 x 103T0.02 s=40p T0.5 x 10-3Nmin-=

18、0.5ms在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。11T = 0.02 sp minF 50(4)分辨率提高一倍(F(4)分辨率提高一倍(F变为原来的1/2)N = .04七 80min0.5ms18.我们希望利用h(n)长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段(本题设 每段长度为M=100个采样点)，但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h(n)的L点 (本题取l=128)循环卷积，得到输出序列Jm(n)，m表示第m段计算输出。最后，从七(n) 中取出B个，使每段取出的B个采样点连接得到滤波输出j(n)。求 V；求 B；确定取出的B个采样应为Jm(n)中的哪些采样点。解：为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列Jm(n)的序列标号为0，1，2,，127。先以h(n)与各段输入的线性卷积Jm(n)考虑，Jm(n)中，第0点到48点(共49个点) 不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点(共51个点)为正确的滤波输出序