几何体外接球精美讲义

1、第二讲几何体的外接球和内切球问题基础知识：常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的夕卜接圆和内切圆 /长方形（正方形）的夕卜接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半yX/厂径为边长的一半；正三角形的内切圆半径：夕卜接圆半径：-3概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定长叫球的半径；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球o或L O 概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的

2、曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。3球的截面：用一平面法截一个球0，设00是平面的垂线段，O为垂 .0足，且00 =d,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r一/ r 1 oi/ap/二 R -d为半径的一个圆，截面是一个圆面. 2球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2 :若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的面积：、芦正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1

3、两部分。2球的概念：外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。长方体的外接球 正方体的内切球5. 外接球和内切球性质：内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均 相等。正多面体的内切球和外接球的球心重合。正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。体积分割是求内切球半径的通用做法。26. 公式：球的表面积公式： S=4：R ;球的体积公式： 7= HR长方体的夕卜接球半径公式：Ra b c ，其中分别为长方体共顶点的3条棱2长正棱锥的夕接球半径公式：R侧棱2 =2r h，其中a为侧棱长，h为正棱锥的2h= a2夕 正棱锥高正

4、棱柱的夕接球球心在两底面中心连线的中点处。典型例题：题型一：球的概念例1.已知球的直径为8cm那么它的表面积为，体积为已知球的表面积为144兀cm，那么它的体积为2已知球的体积为36兀，那么它的表面积为 如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为 例2.（1） （ 2012年新课标文科）平面a截球O的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为,2，则此球的体积为（）A. . 6.B . 4、3 C . 4D . 6、3（2 ）已知过球面上代B,c三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB二BC二CA2，求球的表面积.（3）（ 2013年高考课标I卷（文）已知h是球O的直径AB

5、上点，AH:HB=1:2 , AB _平面，H为垂足，:截球0所得截面的面积为二，则球0的表面积为（4）（ 2013年高考新课标1 （理）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容 器高8cm将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水 深为6cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为500二 3866二 31372二 32048二 3A. cm B. cm C. cm D . cm3333题型二：与长方体、正方体（柱体）有关的外接球问题 例3. （1）设正方体的棱长为 ，则它的外接球的表面积为（3A. 二 BA. 二 B83（2）已知正方体外接球的体积是A. 2 2 B

6、.D. 二43二，那么正方体的棱长等于（323例4. （例4. （1） （2010年新课标文科）32a、 a、a，其顶点C. 1 设长方体的长、宽、高分别为C. 1 设长方体的长、宽、高分别为长为1 cm,那么该棱柱的表面积为2cmA. 3aB. 6a22（2 ）个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上如果正四棱柱的底面边3 （ 2013年辽宁数学（理）已知直三棱柱abc-aag的6个顶点都在球0的球面D. 3.101的球面上，其中底面的三个顶点在A D. 3.101的球面上，其中底面的三个顶点在2 题型三：与正锥体有关的外接球问题例5. （1） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为该球的

7、一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（12B, C都在半径为；12B, C都在半径为；3的求4*3*4（2012年高考辽宁理）已知正三棱锥PABC点P面上，若PA PB, PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为例6.（1） （2013年高考课标H卷（文）已知正四棱锥CABCD勺体积为例6.2边长为.3,则以O为球心，OA为半径的球的表面积为（2）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF / TOC o 1-5 h z 则此正六棱锥的侧面积是.题型四：其他柱体、锥体的外接球问题例7（1 ）直三棱柱ABC -AB1G的各顶点都在同一球面上，若AB AC = AA =2 ,-BAC =

8、120，则此球的表面积等于.（2）四棱锥S -ABCD的五个顶点都在一个球面上，底面是边长为2的正方形，SD_平面ABCD ,（2015年新课标2文科）已知a,b是球O的球面上两点，AOB = 90, C为该球面上的动点若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A 36 B 64 二C 144 D 256题型五：柱体、锥体的内切球问题例8（1）正方体的内切球与其外接球的体积之比为（）(2)正三棱锥的高为1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.球的表面积与体积.拓展练习：一个正四面体的所有棱长都为.2 ,四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为()A. 3 二 B. 4 C . 3一 3二 D . 6二一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4,棱柱的体积为16,棱柱的各顶点在一个球面上，则这个球的表面积是( )A. 16二 B. 20 二 C . 24 二 D . 32 二7. (2012辽宁文)已知点p,代b,c,D是球O表面上的点，PA丄平面ABCD四边形ABCD是边长为2 忑 正方形若pa=2人6，贝