几何体的外接球

1、几何体的外接球一、球的性质回顾如右图所示：O为球心，O为球O的一个小圆的圆心，则 此时OO垂直于圆O所在平面。二、常见平面几何图形的外接圆外接圆半径（r）的求法1、三角形：（ 1）等边三角形：O等边三角形也即正三角形，其满足正多边形的基本特征：五心合一 即内心、外心、重心、垂心、中心重合于一点。O内心：内切圆圆心，各角角平分线的交点； 外心：外接圆圆心，各边中垂线的交点； 重心：各边中线的交点；垂心：各边垂线的交点； 中心：正多边形特有。从而等边三角形的外接圆半径通常结合重心的性质进行求解：（其中a为等边三角形的边长）2）直角三角形：结合直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

2、可知：直角三角形的外 接圆圆心位于斜边的中点处，求解过程比较简单，该处不做重点说明。3）等腰三角形：结合等腰三角形中三线合一的性质可知：等腰三角形的外接圆圆心位于底边的高线即中线 上。4）非特殊三角形：1BD=2a由图可得：思考：钝角三角形和锐角三角形外接圆圆心位置的 区别。考察较少，若出现除以上三种情况以外的三角形在求解外接圆半径时可以参考使用正弦定 理。2、四边形 常见具有外接圆的四边形有：正方形、矩形、等腰梯形，其中正方形和长方形半径求解方法 类似，等腰梯形的外接圆圆心不在中学考察范围内，不用掌握。外接圆圆心是在几何图形所在平面的一个到各个顶点距离相同的点；外接球球心则是空间中 到几何体

3、各个顶点距离相同的点。结合上述所讲内容，外接圆圆心和外接球球心有许多相似之处 以三角形为例，过三角形的外接圆圆心作三角形所在平面的一条垂线，不难得到：该垂线上 的任意一点到该三角形三个顶点的距离恒定相等。转化到几何体中，如正方体，其外接球球心位于体心位置，其和正方体任一表面正方形的中 心连线均垂直于该正方形。从而我们得出如下结论：几何体的外接球球心和底面外心的连线垂直 于底面，也即球心落在过底面外心的垂线上，简单称之为：球心落在 底面外心的正上方。三、常见几何体的外接球半径的求法1、 直（正）棱柱以三棱柱为例 例：在正三棱柱ABC- A1B1C1中三角形ABC是边长为2的正三角形，AA1=3

4、求该 三棱柱的外接球半径.A1C1B1分析：如右图，由正三角形的边长可知底面的外接圆半径r,要求R,只 需确定OO的长度，结合正棱柱也是直棱柱的特征可知，上下两底面三角 形的外心连线和侧棱平行和底面垂直，从而球心 O 必位于上下两底面外 心连线的中点处，即，从而RA1C1B1由题可得： ,在直角三角形AOO中，R2 = r2 + OO2从而2、棱锥常见有三棱锥和四棱锥两类，其中四棱锥的外接球半径求法相对比较简单，此处重点分析三 棱锥的外接球。（1）含有线面垂直关系（侧棱垂直和底面）的三棱锥 该种三棱锥的外接球半径求法有两种，举例说明如下。例：在三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边长为2的正三角

5、形，PA丄平面ABC，PA=3,求 该三棱锥的外接球半径.分析：如右图 法一：该几何体可由正三棱柱沿平民啊 PBC 切割而产生，故该三棱锥的外接球可转化为原三棱柱的外接球；法二：先确定底面三角形ABC的外心O,从而球心位于O的正上方， 即OO丄平面ABC,同时：OP=OA，故，过O作OM丄PA于M,此2/9时 M 必为 PA 中点，从而四边形 OMAO 为矩形，所以，在直角三角形 OOA 中有R 2 = r 2 + OO2.计算过程略.（2）正棱锥 以正三棱锥为例在正三棱柱中顶点和底面中心的连线垂直于底面，即PO丄面ABC，故球心O落在直线PO,上.例：在正三棱锥P-ABC中，三角形ABC是边

6、长为2的正三角形，PA=3,球该三棱锥的外 接球半径.分析：如图由底面正三角形边长可得r,在直角三角形OOA中，R2二r2 + OO2，故只需确定OO的长度即可，结合图形,OO=PO-OP=H-R,带入上式中即可求解.由题可知：r = ，H = x PA2 一 O A2 = 3所以 R2 r2 + （H 一 R）2解得：（3）含有侧面垂直于底面（不含侧棱垂直于底面）的三棱锥该类问题的求解难点在于球心位置的寻找，确定球心时需要分别取两相互垂直的面的过外心的垂线，球心位于两垂线的交点处。例：在三棱锥P-ABC中，面PAB丄面ABC,三角形ABC和三角形PAB均为等边三角形, 且AB=3，求该几何体

7、外接球半径.分析：设厶ABC和厶PAB的球心分别为O,O，取AB中 点 M,球心设为0,则OO丄平面ABC, 00丄平面 PAB,从而四边形OOMO是矩形，可得：OO=OM, 在三角形OOC中结合沟通定理即可求解.133_由题可得：OO = OM = PM = ,r = AB =、-332所以练习题组一1某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表面积为（）侧视團2.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA、PB、PC两两垂直，PA=1,PB+PC=4，当三棱锥的体积最大时，球心O到平面ABC的距离是（）A奇B. C普D3.体积的球有一个内接正三棱锥P -

8、 ABC3.体积的球有一个内接正三棱锥P - ABC，PQ是球的直径，ZAPQ=60。，则三棱锥P - ABC的体积为（A.)C.D.四面体ABCD的四个顶点都在某个球O的表面上，ABCD是边长为3方的等边三角形, 当A在球0表面上运动时，四面体ABCD所能达到的最大体积理耳则四面体OBCD的体积为（ ）A.S1V3A.S1V38C. 9 庁 D.35.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2, AD=3,则该球的表面积为（）A. A. 7nB. 14n C.D.26.已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=l 3, AC=3，若三棱锥D - ABC

9、体积的最大 值为宁，则球0的表面积为（）-I rA. 36n B. 16n C. 12n D.n7.已知直三棱柱ABC - A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1, BC=；瓦若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A. ； 2 B. 一 3 C. 2D. 一 5已知正三棱锥P-ABC,点P, A, B, C都在半径为匚3的球面上，若PA, PB, PC两两 TOC o 1-5 h z 互相垂直，则球心到截面ABC的距离为（）A. B. C.D. 3344已知三棱锥P - ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积毎0,

10、则球O的表面积为（）6A. 4n B. 8n C. 12n D. 16n四棱锥P - ABCD的底面ABCD为正方形，PA丄底面ABCD, AB=2，若该四棱锥的所2437V有顶点都在体积为同一球面上，则PA=（）16A. 3 B. C. 2- 3D.斗练习题组二九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱和底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 P -ABC为鳖臑，PA丄平面ABC, TOC o 1-5 h z PA=AB=2, AC=4,三棱锥P - ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A. 8n B. 12n C. 20n D. 24n已

11、知三棱锥P-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形，PA丄平面ABC, PA=2AB=2T 3,则该球的表面积为（）A. 8n B. 16n C. 32n D. 36n已知三棱锥A - BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC丄平面BCD,BC丄CD, 且 AC=, BC=2, CD=.：，则球 O 的表面积为（）A. 12n B. 7n C. 9n D. 8n4.已知A, B, C三点都在以O为球心的球面上，OA, OB, OC两两垂直，三棱锥O - ABC4的体积为石，则球O的表面积为（）A.BA.B. 16n C.D. 32n已知四棱锥P - ABCD的顶点都在

12、球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD丄底面ABCD,APAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为（A.56A.56兀C. 24n D.6.已知三棱锥P-ABC中，PA丄底面ABC, AB丄BC, PA=AC=2,且该三棱锥所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（)A. 4n B. 8nC. 16n D. 20n7.点 A, B, C,D在同一个球的球面上AB=BC=l： 6,ZABC=90，若四面体 ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为（)A. 2n B. 4nC. 8n D. 16n8.三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB丄BC, AB=BC

13、=AA1=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. 48n B. 32n C. 12n D. 8n9.三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2, PB=PC=, 6,则当三棱锥P - ABC的三个侧面的面积和最大时，经过点P, A, B, C的球的表面积是（）A. 4n B. 8n C. 12n D. 16n10.如图1, ABCD是边长为2的正方形，点E, F分别为BC, CD的中点，将 ABE,AECF,AFDA分别沿AE, EF, FA折起，使B, C, D三点重合于点P,若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（） TOC o 1-5 h z 圉1團2A. T6兀 B. 6n C. 4七兀 D. 12n11.如图某空间几何体的正视图和俯视图分别为边长为2的正方形和正三角形，则该空间几何体的外接球