分析力学的形成及其不同的表示

1、分析力学的形成及其不同的表示摘要：分析了分析力学的历史背景及发展历程，介绍了分析力学的一些重要方程 和几种不同的表示方法.关键词：约束力；虚功原理；非惯性系；拉格朗日方程；哈密顿原理；哈密顿正 则方程；积分形式；微分形式引言：分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理,由这些原理出发导出质点系 的基本运动微分方程 ,并研究这些方程本身以及它们的积分方法 .分析力 学作为一般力学的一个分支 ,以广义坐标为描述质点系的变量 ,以虚位移 原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问 题,不必考虑理想约束,可以很方便地建立力学体系的运动微分方程 ,对一 些力学问题的解法进行优化，可以更

2、加快速的求解.近 20 年来,又发展出 用近代微分几何的观点来研究分析力学的原理和方法 .分析力学是经典物 理学的基础之一,也是整个力学的基础之一.它广泛用于结构分析、机器动 力学与振动、航天力学、多刚体系统和机器人动力学以及各种工程技术领 域,也可推广应用于连续介质力学和相对论力学.一、分析力学的历史背景分析力学是 18 世纪后叶随着工业革命的迅速发展而建立起来的. 到现在为止，我们所研究的力学问题基本上是以牛顿运动定律来求解的，但是在求质点 组的运动问题时，常常要解算大量的微分方程组，如果质点组受到约束，则因约束反力都是 未知的，所以并不能因此减少甚至增加了问题的复杂性.18、19 世纪，

3、随着工业革命的迅速 发展，在工程技术上迫切需要解决的又正好是这一类问题.因此，迫切需要寻求另外的方法 来解决这些问题.许多科学家将分析的方法用于力学解决了许多当时没有解决的问题，分析 力学正是在这种历史的大背景下产生的.二、分析力学的发展历程1788 年拉格朗日出版的分析力学是世界上最早的一本分析力学的著作.分析力学是 建立在虚功原理和达朗贝尔原理的基础上.两者结合，可得到动力学普遍方程，从而导出分 析力学各种系统的动力方程.17601761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到 了动力学的普遍方程，几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出 的 .1834 年，汉密尔顿

4、推得用广义坐标和广义动量联合表示的动力学方程，称为正则方程 . 汉密尔顿体系在多维空间中，可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的 力学问题.从1861 年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年阿佩尔在 理性力学中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论.20世纪分析 力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广 泛的研究.三、分析力学的形成(一)分析力学的基本方程及条件 对于完整保守系统，其基本方程及条件如下： 1、广义速度广义位移关系V 二 dq/dt 二 q，(3.1.1)式中广义速度向量V二tv 1(t

5、), V 2 C ),Vn (t )，广义位移向量2、广义动量广义速度关系2、广义动量广义速度关系3.1.2)p = 6L / dv ,3.1.2)式中广义动量向量p二p ), p 2 C), , pnC)1 , Lagrange 函数 llG ,v,t).3、运动方程p 3、运动方程p = 6L / dq ,3.1.3)q q 0二 q 6)= q o,p0 = p(0)= p0，(3.1.4b)二)虚功原理3.1.4a)设受有k个几何约束的某力学体系处于平衡状态.取体系中任意一点pi,并且作用在此质点上主动力的合力为E，约束力的合力为R.，则因在此体系中每一质点都必须处于平衡状态中，故此时

6、必有F + 状态中，故此时必有F + R 二 0 i = 6,2,n) .现在让每一个质点自它的位置发生一虚位移心，则由(3.2.1)式，得 F -6产 + R 产=0i = (1,2,n)i ii i把式(3.2.2)中各等式相加，就得到工 F.d +R.-6产=0i ii ii =1i =13.2.1)3.2.2)3.2.3)但如为理想约束，则根据习R. -6 r . = 0，因此，如果这样的力学体系处于平衡状态,i=1则其平衡条件是3.2.4)6W = f.-6r = 03.2.4)ii或6W = (F 6x + F 6y + F 6z)= 0(3.2.5)ix i iy i iz ii

7、=1反之，也可证明，如果平衡位置是约束所允许的位置，则当3.2.4)式对任意6 r.都 成立时，系统在该位置必保持平衡.由此可知，受有理想约束力的力学体系平衡的充要条件 是此力学体系的诸多主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零.这个关系是1717年伯 努利首先发现的，叫做虚功原理，也叫虚位移原理.（三）拉格朗日方程1、基本形式的拉格朗日方程令s为惯性参考系，s为相对于S系的既平动又转动的非惯性参考系，并且确定s系 原点的位矢和其转动角速度为已知函数。在n个质点组成幷受到k个理想完整约束的力学 体系中，其自由度s=3n-k,选qi, q2,qs为广义坐标，则第i个质点对s系的位矢仍可表 示成r

8、二r（qq2,，qs； t），对其用非惯性系中的动力学方程得3.3.1)3.3.2)ma . = F + R + F i3.3.1)3.3.2)i iiima.+ F + R + F = 0i iiii式中Fi为第i个质点所受主动力的矢量和，为第i个质点所受约束力的矢量和，而惯 性力F： = mila0 + oxr. +x6xr.）+ 2xV（a0为原点相对s系原点的加速度，v为质点i相对s系的角速度）.若用5 r.乘式（3.3.2），并对i求和，在理想约束条件下，则得3.3.3)3.3.4)另（F. m.r.）5 r. = 03.3.3)3.3.4) TOC o 1-5 h z lI IIE

9、C rd r HYPERLINK l bookmark59 o Current Document 亠dq +dt1d q aC t=1如果把实位移dr.改为虚位移5如果把实位移dr.改为虚位移5乙，再经过微商计算得二 crz_Cq a丿P =工a dti=1m rii=1I3.3.5)3.3.6)3.3.7)dt 3.3.6)3.3.7)dt dqa)少=Q (aMaa=1,2,s)上式右方含有求和号的两项，恰为体系动能T =1为m2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark29 o Current Document 2 ii=1对（ia及q偏微商，可把（3.3.5

10、）改写为d C TC T HYPERLINK l bookmark6 o Current Document P =a dt CqCq丄a丄a由于5 q a是相互独立的，所以这就是基本形式的拉格朗日方程.它们是广义坐标qa以时间t作自变量的s个二阶常微 分方程.2、保守系的拉格朗日方程 对保守力来讲，基本形式的拉格朗日方程(3.3.8) d(a2、保守系的拉格朗日方程 对保守力来讲，基本形式的拉格朗日方程(3.3.8) d(ar) arav(dt (aq还能再加简化.aqa二 1,2,s)3.3.9)因为势能v中一般不包含广义速度qa，令L = T - V代表体系的动能与势能之差，则(3.3.1

11、0)ai _ ar6LavaqL = T - V代表体系的动能与势能之差，则(3.3.10)ai _ ar6Lavaqa aq J aq 叽叽而基本形式的拉格朗日方程则变为d ( aL、dt laqa3.3.11)这就是保守力系的拉格朗日方程拉格朗日函数，简称拉氏函数.3、循环积分与能量积分(1)循环积分在讨论质点在有心力场中运动时有时直接叫做拉格朗日方程或拉式方程式中L叫做如设质点的质量为m，则动能1 ( )T = mv 2 + r 20 2 丿2k 2m而平方反比引力的势能伙_，故r(.点)k2mL_T V _ mr2 + r20 2丿+r一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一类坐标幺，则因

12、賽二0，故由式(3.3.11)iaqid ( ai ar-土 二 0, 即 二二 b；=常数 dt I aq；丿aLaqi3.3.12)在此情形下，幺常称为循环坐标对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分.L 中不含某一广义坐标,并不意味着也不包含广义速度乞2)能量积分如果力学体系是稳定的，则r. _ r. (q 1, q 2,，qs)( _ 1,2,，n)，因而葺? _ 0,于是动能T将仅为广义速度的二次其次函数，所以3.3.13)q = 2T dqa3.3.13)a=1%此外，因为T和V都不是时间t的显函数，故1(1(2T )一 dT dt dtdVdt由式孚=一dV，并积分，就得

13、到dt dt3.3.14)这就是力学体系的能量积分.（四）哈密顿正则方程与哈密顿原理1、哈密顿正则方程要使拉氏函数L中的一种独立变量由q = 1,2,s）变为/花二1,2,s），其中dTdLPadTdLPa则应引入函数 H 使3.4.1)3.4.2)dH =dL + 工 Gadqa + 皿卩)dL =HO 3.4.1)3.4.2)dH =dL + 工 Gadqa + 皿卩)dL =HO . + Padqa)+|dta =13.4.3)所以dH=工(p dq + qdp)L-dta =13.4.4)因为经过变换后H已是p,q,t的函数，故dH = ya=1dqa +OHOpadPa +丿OHdt

14、dt(3.4.5)H(P，q,L + 工 paqaa=1a =1我们现在仍把L认为是q，q及t的函数，故比较（3.4.4）及（3.4.5）两式，并因为dPa、dqa及dt都是独立的，故得OHqa =OpaOqa =OpaOH=1,2，,s)3.4.6)Oqa方程式（3.4.6）即为哈密顿正则方程，简称正则方程，而式（3.4.1）为哈密顿函数.2、哈密顿原理 哈密顿原理是一种变分运算，力学变分原理有微分形式和积分形式.虚功原理是力学变 分原理的微分形式，而哈密顿原理是力学变分原理的积分形式.设n个质点所形成的力学体系受有k个几何约束，则这力学体系的自由度是s二3n - k. 因此，如果能把s个广

15、义坐标q = 1,2,s）作为时间t的函数加以确定，也就确定了这力学体系的运动因运动方程是s个二阶微分方程，固有2 s个微分常数，用c1, c2,C2s表Cx = 1,2,s )示可以认为Cx = 1,2,s )(3.4.7)把拉格朗日方程（3.1.11）中的各项乘以5 q a，对a求和，然后沿着一条可能的运动轨道对 t 积分，得ft 2 工11 a=1 i d ft 2 工11 a=1 i d ( dL dt(dqa 丿d ( dL ) dt (dq5 qa dt = 0-8q,上aa 丿dL5q因哈密顿用的是等时变分，这里用对易关系（若 5t = 0，则5( dt 丿3.4.8)3.4.9

16、)=dt(5q把式3.4.9）代入式（3.4.8）得工 5 qa工 5 qa 12 _ft 2 工昱 5qa + a=111 t1 a=12么dLdqa5qa dt = 0丿3.4.10)因 L = lQ, q2,qs； q, q2,qs； t),而5qaIt = t1 =5qa|t = t2 = 0，故式(3.4.10)简化为ft25Ldt = 0（3.4.11）t1又因51 = 0，故式（3.4.11）积分号内的5可移至积分号外，即5 ft2Ldt = 0（3.4.12）t1这就是在保守力系作用下的哈密顿原理的数学表达式哈密顿称f12Ldt为作用函数，当它表t1示为端点时间和位置的函数时，

17、也叫主函数.四、分析力学的不同表示形式 分析力学的基本理论体系可以分为微分形式和积分形式两种表示,它们是可以互相推证 的等价形式.（一）微分形式由基本形式的拉个拉格朗日方程力T(4.1.1)=Q(a = 1,2,s)(4.1.1)敗 a它们是广义坐标q a以时间t作自变量的s个二阶常微分方程，T为系统的动能，如果体系是保守力系,则上式还可以进一步简化为QLC 二 1,2,s)(4.1.2)式中拉氏函数L = T-V ,表示体系的动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数， 表征着约束、运动状态、相互作用等性质.(4.1.1)、(QLC 二 1,2,s)(4.1.2)式中拉氏函数L = T-V

18、,表示体系的动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数， 表征着约束、运动状态、相互作用等性质.(4.1.1)、(4.2.2)式是分析力学微分形式的基本 表达形式.在上述基础上，拉普拉斯修改了拉氏函数的表示方法，并证明势函数V总能满足微分方 程V 2V二竺+竺+竺 dx 2dy 2dz24.1.3)1831年，泊松给出了一个更一般的形式(4.1.4)(二)积分形式分析力学的积分形式是从最小作用原理发展起来的变分原理，是一种通过变分法求泛函 极值的方法.1657 年，费马从反射光线沿需时最少的路径行走的现象得到启示，相信自然是“简单而 又经济地行动的”，确言了最小时间原理，并将这一原理用变分的形

19、式表示为B ds畀=0(4.2.1)Av在这一理论的基础上，1744年，法国物理学家莫泊丢提出了适用于各种物理现象的“最 小作用量原理”，他指出:体系实际发生的真正运动是使某一个作用量取最小值的运动，1755 年，拉格朗日把这种方法称为变分方法，并把作用量定义为运动量的空间积分，对于单个质 点，这个作用等于J pmv - drp0(4.2.2)也可表示为mv 2 dt =2Tdtt 0t 0利用拉氏函数L = T V，把作用量写为1L (q , q 2,，q s, t )dt t04.2.3)4.2.4)称为哈密顿作用量，在确定的初态和终态之间的所有可能的运动中，真实运动的作用函数具有极值6

20、Ldt = 0t04.2.5)这就是哈密顿原理的数学表达式,也是分析力学积分形式的基础表示.由于L = T- V ,所以所以4.2.6)此外,利用广义坐标qi及其与它相共轭的广义动量P二字定义哈密顿函数如aH(p4.2.6)此外,利用广义坐标qi及其与它相共轭的广义动量P二字定义哈密顿函数如aH(p, q, t)= L + E paqaa=14.2.7)则而所以dH =-dL + 工(Padqa + 皿卩)a=1dL 二工(p血 + Padq)+ H dta=1dH二工(-p血+久仇)-Hdta=14.2.8)4.2.9)4.2.10)f i Ldt = f iTdt - ft Wdtt0t0t0因为经过变换后H已是p,q,t的函数，故a=1(dH 1dHda=1(dH 1dHdqa+d- a