高中数学课件椭圆

1、第 二 章圆锥曲线与方程本章内容2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第二章 小结2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程(第一课时)2.2.1 椭圆及其标准方程(第二课时)2.2.2 椭圆的简单几何性质(第一课时)2.2.2 椭圆的简单几何性质(第二课时)2.2.2 椭圆的简单几何性质(第三课时)复习与提高椭圆及其标准方程2.2.1(第一课时)椭圆及标准方程返回目录1. 椭圆是满足什么条件的点的轨迹? 2. 椭圆的标准方程是怎样的? 方程中有哪些常数? 它们存在怎样的关系? 3. 在平面直角坐标系中椭圆的位置如何? 其位置与哪些常数有关系?学习要点 问题1. 你能画一个椭

2、圆吗? 用什么方法画出的?能给一个椭圆的定义吗?取两定点 F1、F2,取一根绳长大于 |F1F2|, 两端固定在 F1、F2 处,用笔套在绳上即可画出椭圆.F1F2 问题1. 你能画一个椭圆吗? 用什么方法画出的?能给一个椭圆的定义吗?取两定点 F1、F2,取一根绳长大于 |F1F2|, 两端固定在 F1、F2 处,用笔套在绳上即可画出椭圆. 到两个定点的距离之和等于定长 (大于两定点的距离) 的点的轨迹叫做椭圆, 两个定点叫椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫椭圆的焦距.F2F1 问题1. 你能画一个椭圆吗? 用什么方法画出的?能给一个椭圆的定义吗?取两定点 F1、F2,取一根绳长大于 |F1F2

3、|, 两端固定在 F1、F2 处,用笔套在绳上即可画出椭圆. 到两个定点的距离之和等于定长 (大于两定点的距离) 的点的轨迹叫做椭圆, 两个定点叫椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫椭圆的焦距. 问: 根据这一定义, 同学们能建立坐标系, 求椭圆的方程吗? 设焦距 | F1F2 | = 2c, 动点 M 到两焦点 F1, F2 的距离之和为 2a (2a2c).xy 以F1F2所在直线为 x 轴, F1F2的中点为原点, 建立平面直角坐标系, 如图,则得两焦点的坐标为F1(-c, 0),F2(c, 0).设点M的坐标为(x, y),由椭圆的定义得|F1M| + |MF2| = 2a,代入两点间的距离

4、公式得(请同学们化简)F2F1MO-cc 设焦距 | F1F2 | = 2c, 动点 M 到两焦点 F1, F2 的距离之和为 2a (2a2c).xy 以F1F2所在直线为 x 轴, F1F2的中点为原点, 建立平面直角坐标系, 如图,则得两焦点的坐标为F1(-c, 0),F2(c, 0).设点M的坐标为(x, y),由椭圆的定义得|F1M| + |MF2| = 2a,代入两点间的距离公式得(请同学们化简)F2F1MO移项后平方再平方整理得a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 = a4-2a2cx+c2x2,(a2-c2)x2+a2y2=0,+ a2(c2-a2)令常数 a2-c2 =

5、b2 (b0),则方程变为b2x2+a2y2-a2b2=0,两边再除以a2b2得: 其中常数 a 是椭圆上的点到两焦点距离和的一半, b2=a2-c2, c 是半焦距, 焦点在 x 轴上, 焦点坐标为 F1(-c, 0), F2(c, 0).椭圆的标准方程:问题2: 常数 a 与 b 哪个大? a 与 c 呢? 为什么?由 a2-c2 = b2 (b0) 知,ab0.由定义知 ac0,F1F2Mxyo 若焦点在 y 轴上, 焦点坐标为 (0, -c), (0, c), 则椭圆的标准方程为: 问题3: 如果给出一个椭圆的方程, 如何判断它的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上?哪个变量的分母大, 焦

6、点就在哪个轴上.F1F2Mxyo如:焦点在 x 轴上,a=4,b=焦点在 y 轴上,a=b=6,4. 例 1. 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 (-2, 0), (2, 0), 并且经过点 求它的标准方程.解:由题设知椭圆的焦点在 x 轴上,且 c=2.如图, 2a =|MF1| + |MF2|,则 b2=a2-c2= 10-4= 6. 椭圆的标准方程为F1F2Mxyo-22得解:由题设知椭圆的焦点在 x 轴上, 且 c=2.设椭圆的方程为b2=a2-c2= a2-4, 椭圆的标准方程为法二,将点 的坐标代入椭圆方程得解得 a2=10,则 b2=a2-c2=6, 例 1. 已知椭圆的两个焦点的

7、坐标分别是 (-2, 0), (2, 0), 并且经过点 求它的标准方程. 例(补充). 已知 B、C 是两个定点, |BC|=6, 且ABC 的周长等于 16, 求顶点 A 的轨迹方程.解:|AB| + |AC| =16-6=10,即点A到两个定点 B、C 的距离之和等于10,所以点A的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆 (如图). 以BC所在直线为 x 轴, BC的中点为原点, 建立平面直角坐标系(如图),xyoCAB2c=|BC|=6,c=3,2a= |AB| + |AC| =10,a=5,则 b2= a2-c2=16,则焦点在 x 轴上, 点 A 的轨迹方程是如图,A、B、C 三点不能共线

8、,y0.(y0).练习: (课本42页)第 1、2 题. 1. 如果椭圆 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 .解:由椭圆方程知a2=100,a=10,2a=20,即 | PF1| + | PF2| = 20, | PF1| = 6, | PF2| = 14.14练习: (课本42页)2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=4, b=1, 焦点在 x 轴上; (2) a=4, 焦点在 y 轴上; (3) a+b=10,解:(2)则 b2=16 -15=1, 焦点在 y 轴上, 椭圆方程为 a=4, b=1, 焦点在 x 轴上; 椭圆

9、方程为(1)2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a=4, b=1, 焦点在 x 轴上; (2) a=4, 焦点在 y 轴上; (3) a+b=10,解:(3)解方程组,得 a=6, b=4,当焦点在 x 轴上时, 椭圆方程为当焦点在 y 轴上时, 椭圆方程为【课时小结】1. 椭圆的定义 到两个定点的距离之和等于定长 (大于两定点的距离) 的点的轨迹叫做椭圆, 两个定点叫椭圆的焦点, 两焦点间的距离叫椭圆的焦距.F2F1M【课时小结】2. 椭圆的标准方程F1F2MxyoF1F2Mxyo(ab0),|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,b2=a2-c2.练习: (课本42

10、页)第 3 题.习题 2.2A 组第 2 题. 3. 已知经过椭圆 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB, 交椭圆于 A、B 两点, F1 是椭圆的左焦点. (1) 求 AF1B 的周长; (2) 如果 AB 不垂直于 x 轴, AF1B 的周长有变化吗? 为什么?ABxoyF1F2解:(1)如图,AF1B的周长等于 4a.由椭圆的方程知 a=5, AF1B的周长等于 20.(2)不管AB与 x 轴垂直与否, AF1B的周长不变.由椭圆的定义知,因为此周长都等于此椭圆中的常数 4a.习题 2.2A 组2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, 焦距等于 4,

11、并且经过点 P(3, ); (2) 焦点坐标分别为 (0, -4)、(0, 4), a=5; (3) a+c=10, a-c=4.解: 焦点在 x 轴上, 焦距等于4, 2a=|PF1| + |PF2|=12,得 a=6,则 b2=a2-c2焦点的坐标是 F1(-2, 0), F2(2, 0). 椭圆的方程为(1)点 在椭圆上,=36-4=32,习题 2.2A 组2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, 焦距等于 4, 并且经过点 P(3, ); (2) 焦点坐标分别为 (0, -4)、(0, 4), a=5; (3) a+c=10, a-c=4.解:(1) 焦点在

12、 x 轴上,由 焦距等于 4 得 c=2, b2=a2-4,则 方程变为可设椭圆方程为法二,将点 P 的坐标代入此椭圆方程解得a2=36, a2=1(舍去),则 b2=32, 椭圆的方程为习题 2.2A 组2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, 焦距等于 4, 并且经过点 P(3, ); (2) 焦点坐标分别为 (0, -4)、(0, 4), a=5; (3) a+c=10, a-c=4.解:(2)焦点在 y 轴上,由题设知, c=4, a=5, b2=a2-c2= 25-16= 9, 椭圆的方程为习题 2.2A 组2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)

13、 焦点在 x 轴上, 焦距等于 4, 并且经过点 P(3, ); (2) 焦点坐标分别为 (0, -4)、(0, 4), a=5; (3) a+c=10, a-c=4.解:(3)解方程组:得 a=7, c=3.于是 b2=a2-c2=49-9=40,当焦点在 x 轴上时, 方程为焦点在 y 轴上时, 方程为椭圆及其标准方程2.2.1(第二课时)有关椭圆的轨迹返回目录 1. 在例题和习题中, 满足什么样条件的一些点的轨迹是椭圆?2. 如何用椭圆的定义确定点的轨迹方程?学习要点 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在

14、圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?DMxyoP分析:点 M 被圆上的点 P 带动,若能求出点 M 的轨迹方程,即可知道点 M 的轨迹是什么.即可请点 P 的坐标将点 M 的坐标代入圆的方程, 就可得到点 M 的轨迹方程. 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?DMxyoP解:点 P 的坐标为 (x0, y0),则有 x02+y02=4,设动点 M 的坐标为 (x, y),PDx 轴, 且M是PD的中点, x=x0,得 x0=

15、x, y0=2y,将代入得x2+(2y)2=4,整理得 点M的轨迹是一个椭圆.(请看轨迹的动画效果)请稍候 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?DMxyoP 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?DMxyoP这是将圆压缩后得到的椭圆.当压缩为 时, 椭圆的方程又是怎样?当 PD 垂直 y 轴时, 椭圆的方程又

16、是怎样?请同学们想想, 做做: 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?当 时,DMxyoPx0=x,代入圆的方程得整理得同样是椭圆. 例 2. 如图, 在圆 x2+y2=4 上任取一点 P, 过点 P作 x 轴的垂线段 PD, D 为垂足. 当点 P 在圆上运动时, 线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 为什么?xyoDMPx0=2x, y0=y.代入圆的方程得整理得焦点在 y 轴上的椭圆.当 PDy 轴, M 为 PD的中点时,(2x)2+y2=4

17、,b=2a=1, 例3. 如图, 设点 A、B 的坐标分别为 (-5, 0), (5, 0). 直线 AM、BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积是 求点 M 的轨迹方程.BMxyoA解:设点M的坐标为 (x, y),由题设得即整理得 4x2+9y2-100=0,此方程可化为椭圆标准方程的形式: 例3. 如图, 设点 A、B 的坐标分别为 (-5, 0), (5, 0). 直线 AM、BM 相交于点 M, 且它们的斜率之积是 求点 M 的轨迹方程.BMxyoA解:设点M的坐标为 (x, y),由题设得即整理得 4x2+9y2-100=0,此方程可化为椭圆标准方程的形式:当 M 在 A、B 处时

18、, 有一直线的斜率为 0, 不满足题设条件.方程中需去掉 y=0 的点.(y0). 若斜率之积为正数时, 曲线是椭圆吗?练习: (课本42页)第 4 题.习题 2.2A 组第 1 题.练习: (课本42页) 4. 点 A, B 的坐标分别是 (-1, 0), (1, 0), 直线AM, BM 相交于点 M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是 2, 点 M 的轨迹是什么? 为什么?BMxyoA解:设点M的坐标为 (x, y),由题设得即化简得 x= -3,当 M 在 x 轴上时, 两直线的斜率为 0, 不能做-3点 M 的轨迹是去掉与 x 轴交点的直线.除数,习题 2.2A 组1. 如果点

19、 M(x, y) 在运动过程中, 总满足关系式点 M 的轨迹是什么曲线? 为什么? 写出它的方程.解:关系式表示点 M(x, y) 到点 F1(0, -3) 与点F2(0, 3)的距离之和等于10.点 M 的轨迹是以 F1, F2 为焦点的椭圆,2a=10, c=3,则 b2=a2-c2=16,由 F1, F2 的位置知, 焦点在 y 轴上,方程为【课时小结】将圆压缩所得曲线是一个椭圆.例 2 是对这一结论的一个证明.证明方法就是求出它的方程, 其方程是一个椭圆的标准方程. 例 3 证明了分别过两定点的直线的斜率之积为一个负数(-1 除外)时, 两直线交点的轨迹是一个椭圆.熟悉椭圆的定义很重要

20、. 习题2.2的第一题, 由定义判断曲线, 让人豁然开朗, 有走出大山进平川的感觉.习题 2.2A 组第 7 题.B 组第 1、2、3 题. 7. 如图, 圆 O 的半径为定长 r, A 是圆 O 内一定点, P 是圆上任意一点. 线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q, 当点 P 在圆上运动时, 点 Q 的轨迹是什么? 为什么?AOQPl解: l 是线段 AP 的垂直平分线,|AQ| = |PQ|,则 |AQ| + |OQ| = |OP|=r,而 O、A 是定点, r 是定长,点Q的轨迹是以O、A为焦点的椭圆, 椭圆上的点到两焦点的距离之和等于圆的半径.B 组 1. 如图,

21、 DPx 轴, 点 M 在 DP 的延长线上, 且 当点 P 在圆 x2+y2=4 上运动时, 求点 M的轨迹方程, 并说明轨迹的形状, 与例 2 相比, 你有什么发现?DMxyoP解:点 P 的坐标为 (x0, y0),则有 x02+y02=4,设动点 M 的坐标为 (x, y), x0=x,整理得这是焦点在 y 轴上PDx 轴, 且代入得的椭圆.B 组 1. 如图, DPx 轴, 点 M 在 DP 的延长线上, 且 当点 P 在圆 x2+y2=4 上运动时, 求点 M的轨迹方程, 并说明轨迹的形状, 与例 2 相比, 你有什么发现?DMxyoPDMxyoP例2的点M在DP上,此题的点M在D

22、P的延长线上,椭圆在圆内与圆相切,椭圆在圆外与圆相切.焦点的 x 轴上.焦点的 y 轴上. 2. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切, 同时与圆x2+y2-6x-91=0 内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线. 解:圆 C1: x2+y2+6x+5=0 的圆心为C1(-3, 0),半径圆 C2: x2+y2-6x-91=0 的圆心为C2(3, 0),半径(如图)C1C2xyO3M设动圆圆心为 M(x, y), 半径为 r, 则 2. 一动圆与圆 x2+y2+6x+5=0 外切, 同时与圆x2+y2-6x-91=0 内切, 求动圆圆心的轨迹方程, 并说明它是什么曲线. 解:

23、圆 C1: x2+y2+6x+5=0 的圆心为C1(-3, 0),半径圆 C2: x2+y2-6x-91=0 的圆心为C2(3, 0),半径(如图)C1C2xyO3M设动圆圆心为 M(x, y), 半径为 r, 则用坐标表示为两式相加消去 r 得方程表示动点 M(x, y) 到定点 C1(-3, 0) 和点C2(3, 0) 的距离和为12,所以动圆圆心的轨迹是以 C1, C2 为焦点的椭圆.将方程化简得椭圆的方程为 3. 点 M 与定点 F(2, 0) 的距离和它到定直线 x=8的距离的比是 1 : 2, 求点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图形. 设点 M 的坐标为 (x, y), 点

24、M 到直线 x=8 的距离为 d,解:则有 | MF | : d = 1 : 2,平方后整理得点 M 的轨迹是以 (-2, 0), (2, 0)为焦点椭圆. 2.2.2椭圆的简单几何性质(第一课时)返回目录 2. 由椭圆标准方程中的常数 a, b 能确定椭圆有多长多宽吗?1. 椭圆中哪些线段的长等于 a, b?3. 什么叫椭圆的长轴, 短轴, 顶点?学习要点所谓几何性质, 就是图形的形状、大小、位置、对称性等. 问题1. 椭圆 有怎样的对称性? 你能由a, b 的值确定它的范围吗?(2) 由椭圆标准方程得a2,则 -axa.b2,-byb.(1) 将 x 换成 -x, 方程 椭圆关于 对称;不

25、变,y 轴将 y 换成 -y, 方程 椭圆关于 对称.不变,x 轴关于原点中心对称吗?Yes!2. 范围-axa.-byb.F1F2xyo-aa-bb1. 对称性椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形.它关于坐标轴成轴对称, 关于原点成中心对称.椭圆在直线 x=a, y=b所围成的矩形方框内.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.F1F2xyo-aa-bb3. 顶点椭圆与坐标轴的交点叫做椭圆的顶点.图中 A1, A2, B1, B2 就是椭圆的四个顶点, 其坐标为A1A2B1B2线段 A1A2 叫做椭圆的长轴, B1B2 叫做椭圆的短轴.长轴长等于 2a, 长半轴长等于 a.短轴长等于 2b, 短半轴长

26、等于 b.A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b).F1F2xyo-aa-bb3. 顶点a, b, c 的几何意义:A1A2B1B2 问题2. b2=a2-c2 满足勾股定理, 你能在椭圆的图中画出表示 a, b, c 长度的线段吗?cba在RtB2OF2中, |OF2| = c, |OB2| = b,则由勾股定理得=a.即椭圆标准方程中的 a, b, c 恰是 RtB2OF2的三边长. 例(补充). 椭圆经过点(3, 0), 长轴是短轴的 3 倍, 求椭圆的标准方程.xyo3-3xyo3-31-19-9解:焦点在 x 轴上时,则 b =1, 椭圆的方程

27、为:当焦点在 y 轴上时,b = 3,a = 3,则 a =9,得椭圆的方程为:练习: (补充) 1. 椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列, 且公差为 4. 求椭圆的标准方程. 2. 已知中心在原点的椭圆经过点 A(3, 0), 短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为直角三角形, 求椭圆的标准方程. 1. 椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列, 且公差为 4. 求椭圆的标准方程.解:由题设得2c=2b-4,2a=2b+4,又 a2=b2+c2,解方程组得a=10, b=8, c=6.当焦点在 x 轴上时, 标准方程为当焦点在 y 轴上时, 标准方程为练习: (补充) 2. 已知中心在原点的

28、椭圆经过点 A(3, 0), 短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为直角三角形, 求椭圆的标准方程.解: 椭圆的方程为若点 A(3, 0) 是长轴的端点 (如图), 则a=3,由题设得F1OB为等腰直角三角形 ,则 b=c,又因为 a2=b2+c2,由解方程组得xyOF1F2A3B 2. 已知中心在原点的椭圆经过点 A(3, 0), 短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为直角三角形, 求椭圆的标准方程.解: 椭圆的方程为若点 A(3, 0) 是短轴的端点 (如图), 则b=3,由题设得F1OA为等腰直角三角形 ,则 b=c=3,又因为 a2=b2+c2,解得 a2=18,xyOF1F2A3

29、【课时小结】F1F2xyo-aa-bb1. 椭圆的几何性质(1) 对称性关于原点成中心对称;关于坐标轴成轴对称.对称中心叫椭圆的中心.(2) 范围-axa.-byb.在直线 x=a, y=b 所围成的矩形方框内.【课时小结】F1F2xyo-aa-bb1. 椭圆的几何性质(3) 顶点A1A2B1B2A1(-a, 0), A2(a, 0),B1(0, -b), B2(0, b).(4) 长轴和短轴长轴: A1A2, 短轴: B1B2.长轴长 |A1A2| =2a, 长半轴长等于 a.短轴长 |B1B2| =2b, 短半轴长等于 b.【课时小结】2. a2=b2+c2 的几何意义F1F2xyOaac

30、bA1A2B1B2在 RtB2OF2 中,|OB2|=b,|OF2|=c,|B2F2|=a.满足勾股定理:b2+c2=a2.练习: (课本48页)第 1、2 题.习题 2.2A 组第 3 题.1. 你能标出图中椭圆焦点的位置吗? 依据是什么? 以B2为圆心, A1O长为半径画弧与 x 轴的两交点 F1、F2 即为椭圆的焦点.|B2O| = b,在 RtF1OB2 和 RtF2OB2 中,|OF1| = |OF2| = c. |B2F1| = |B2F2| = |A1O| = a,则 F1、F2 是椭圆的焦点.B2xoA1A2B1yF1F2练习: (课本48页)2. 求下列椭圆的焦点坐标: (1

31、) (2) 2x2+y2=8.解:(1)由椭圆方程知 a=10, b=6,则焦点在 x 轴上,焦点坐标为(-8, 0), (8, 0).(2)原方程化为标准方程由方程知焦点在 y 轴上,则a2=8, b2=4,焦点坐标为(0, -2), (0, 2).3. 讨论下列椭圆的范围, 并画出图形: (1) 4x2+y2=16; (2) 5x2+9y2=100.解:将原方程化成标准方程椭圆的范围是-2x2,-4y4.在矩形框内画出椭圆如图:(1)焦点在 y 轴上, a=4, b=2,xyo42-4-2习题 2.2A 组3. 讨论下列椭圆的范围, 并画出图形: (1) 4x2+y2=16; (2) 5x

32、2+9y2=100.解:将原方程化成标准方程椭圆的范围是在矩形框内画出椭圆如图:(2)焦点在 x 轴上, a= b=xyo45-4-5习题 2.2A 组2.2.2椭圆的简单几何性质(第二课时)离心率返回目录 2. 离心率决定椭圆的什么几何性质? 离心率的变化引起椭圆的什么变化? 1. 什么是椭圆的离心率? 它是由椭圆方程中的什么常数决定? 离心率在什么范围?学习要点 问题 3. 请你想一想, 试一试, 当 a 一定时, 怎样由 c 的大小确定椭圆的扁圆情况?F2xyo4. 离心率ca 一定时,而b 越大, 则 c 越小, 椭圆越圆,b 越小, 则 c 越大, 椭圆越扁.F1a即 越小, 椭圆越

33、圆, 越大, 椭圆越扁.b 越 椭圆越扁.小,b 越 椭圆越圆,大,ab 问题 3. 请你想一想, 试一试, 当 a 一定时, 怎样由 c 的大小确定椭圆的扁圆情况?F2xyo4. 离心率cF1aab我们把椭圆的焦距与长轴长用 e 表示, 即离心率越大, 椭圆越扁; 离心率越小, 椭圆越圆.称为椭圆的离心率, 的比 例4 求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解:将椭圆方程化成标准方程焦点在 x 轴上,由方程得 a=5, b=4,则 c=a2-b2=3, 长轴长 2a=10,短轴长 2b=8.焦点坐标为(-3, 0),顶点坐标为(3, 0).(-5,

34、0),(5, 0),(0, -4),(0, 4).离心率xyO3-34-45-5F1F2练习: (课本48页)第 3、4、5 题.3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a=6, (2) 焦点在 y 轴上, c=3,解:又 a=6,则 b2 = a2-c2=36-4=32, 椭圆方程为 c=2,又焦点在 x 轴上,(1)练习: (课本48页)3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 焦点在 x 轴上, a=6, (2) 焦点在 y 轴上, c=3,解:又 c=3,则 b2 = a2-c2=25-9=16, 椭圆方程为 a=5,又焦点在 y 轴上,(2)练习:

35、(课本48页)4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) 经过点 P(-3, 0)、Q(0, -2); (2) 长轴的长等于 20, 离心率等于解: (1)由题设知, 点P是椭圆长轴的一个端点,点Q是椭圆短轴的一个端点, a=3, b=2,且焦点在 x 轴上,得椭圆的方程为(2)由题设知 2a=20,得 a=10, c=6,焦点在 x 轴上时, 方程为焦点在 y 轴上时, 方程为则 b2=a2-c2= 100-36=64, 5. 比较下列每组中椭圆的形状, 哪一个更圆? 哪一个更扁? 为什么? (1) 9x2+y2=36 与 (2) x2+9y2=36 与(1)前一个方程化成标准方程为得

36、a=6, b=2,前一个椭圆更扁, 后一个椭圆更圆.解:离心率 e=后一个椭圆中 a=4, b=则离心率 e=而 5. 比较下列每组中椭圆的形状, 哪一个更圆? 哪一个更扁? 为什么? (1) 9x2+y2=36 与 (2) x2+9y2=36 与(2)前一个方程化成标准方程为得 a=6, b=2,前一个椭圆更扁, 后一个椭圆更圆.解:离心率 e=则离心率 e=而后一个椭圆中 a= b=【课时小结】椭圆的离心率焦距与长轴长的比:离心率越大, 椭圆越扁;离心率越小, 椭圆越圆.0e0, 相交;=0, 相切;0, 相离. 例7. 已知椭圆 直线 l: 4x-5y+40=0. 椭圆上是否存在一点,

37、它到直线 l 的距离最小? 最小距离是多少?解:lxyoF1F2l1l2设平行于 l 的直线方程为4x-5y+m=0,将代入椭圆方程得25x2+8mx+m2-225=0,= -36m2+22500= 0,解得 m =25.当 m= -25 时, 切线为 l2, 切点到 l 的距离最大.当 m= 25 时, 切线为 l1, 切点到 l 的距离最小.此时解方程得 x= -4,得切点由点到直线的距离得最小距离为 例5. 如图, 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个

38、焦点F2上. 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2, 已知 BCF1F2, |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm, 试建立适当的坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程 (精确到 0.1cm).xyOABCF1F2ED透明窗反射镜面分析:已经知道 2c = |F1F2|,a, b 中的一个量即可求.而点 B 在椭圆上, 且 |F1B|=2.8, 则可在 RtBF1F2 中求得点 B 到两焦点的距离之和 2a.以 F1, F2 所在平面为 x 轴,F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系.如果再知道 例5. 如图, 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转

39、椭圆面 (椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分. 过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分, 灯丝位于椭圆的一个焦点F1上, 片门位于另一个焦点F2上. 由椭圆一个焦点F1发出的光线, 经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2, 已知 BCF1F2, |F1B|=2.8 cm, |F1F2|=4.5 cm, 试建立适当的坐标系, 求截口BAC所在椭圆的方程 (精确到 0.1cm).xyOABCF1F2ED透明窗反射镜面解:由 2c = |F1F2|=4.5, 得 c=2.25,在 RtBF1F2 中可求得 |BF2|=5.3,则 2a=|BF1|+|BF2|=2.8+5.3=8.1,得 a=

40、4.05.则椭圆方程为3.37,练习: (课本48页)第 6、7 题. (补充练习). 如图, 某隧道设计为双向四车道, 车道总宽 22 m, 要求通行车辆限高 4.5 m, 隧道的拱线近似成半个椭圆形状. 若最大拱高 h 为 6 m, 则隧道设计的拱宽 l 是多少?l22h4.5练习: (课本48页)6. 求下列直线和椭圆的交点坐标: (1) 3x+10y-25=0, (2) 3x-y+2=0,解:(1)将直线方程代入椭圆方程整理得x2-6x+9=0,解得 x=3,再代入直线在方程解得直线与椭圆相切, 切点为练习: (课本48页)6. 求下列直线和椭圆的交点坐标: (1) 3x+10y-25

41、=0, (2) 3x-y+2=0,解:(2)将直线方程代入椭圆方程整理得37x2+48x=0,再代入直线在方程解得 y=2, 或直线与椭圆交于两点解得 x=0, 或(0, 2), 7. 经过椭圆 的左集点 F1 作倾斜角为 60 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, 求 AB 的长.lxyoF1F2AB解:在椭圆中,F1 的坐标为 (-1, 0).由点斜式写出直线的方程为将直线的方程代入椭圆方程整理得7x2+12x+4=0. 7. 经过椭圆 的左集点 F1 作倾斜角为 60 的直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点, 求 AB 的长.lxyoF1F2AB解:在椭圆中,F1 的坐标为 (-

42、1, 0).由点斜式写出直线的方程为将直线的方程代入椭圆方程整理得7x2+12x+4=0. (补充练习). 如图, 某隧道设计为双向四车道, 车道总宽 22 m, 要求通行车辆限高 4.5 m, 隧道的拱线近似成半个椭圆形状. 若最大拱高 h 为 6 m, 则隧道设计的拱宽 l 是多少?l22h4.5解:xyO以拱宽所在直线为 x 轴,拱宽中点为原点建立直角坐标系.则点 P(11, 4.5)在椭圆上.设椭圆的方程为则 b=6,解得则拱宽 2a33.26.答: 隧道设计拱宽约为 33.26 m.P【课时小结】在椭圆 中,分别叫椭圆的右准线和左准线.椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比

43、等于离心率 e.1. 椭圆的准线【课时小结】2. 椭圆与直线 将直线的一次方程代入椭圆的二次方程, 就得到一个一元二次方程.若0, 直线与椭圆相交, 解方程组得交点坐标.习题 2.2A 组第 6、8、9、10 题.B 组第 4 题.习题 2.2A 组 6. 已知点 P 是椭圆 上的一点, 且以点P 及焦点 F1, F2 为顶点的三角形的面积等于 1, 求点P 的坐标.xyoF1F2P解:设点P的坐标为 (x0, y0),由椭圆方程知则求得 c=1.得 y0=1,代入椭圆方程得 8. 已知椭圆 一组平行直线的斜率是 (1) 这组直线何时与椭圆相交? (2) 当它们与椭圆相交时, 证明这些直线被椭

44、圆截得的线段的中点在一条直线上.xyoF1F2解:如图,设直线的方程为(1)将其代入椭圆方程整理得9x2+6mx+2m2-18=0.要使直线与椭圆相交, 需= -36m2+38180,解得直线与椭圆相交.即直线在 y 轴上的截距在 与 之间时, 8. 已知椭圆 一组平行直线的斜率是 (1) 这组直线何时与椭圆相交? (2) 当它们与椭圆相交时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.解:设直线与椭圆交于 A, B,(2)AB 的中点为 M(x, y), 则9x2+6mx+2m2-18=0.xyoF1F2AB由(1)得直线的方程和直线代入椭圆的方程分别为于是得M 8. 已知椭圆 一组平

45、行直线的斜率是 (1) 这组直线何时与椭圆相交? (2) 当它们与椭圆相交时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上.解:设直线与椭圆交于 A, B,(2)AB 的中点为 M(x, y), 则9x2+6mx+2m2-18=0.xyoF1F2AB由(1)得直线的方程和直线代入椭圆的方程分别为于是得M两式消去 m 得 3x+2y=0.由此可知线段AB中点的轨迹是直线在椭圆内的一部分.由(1)中的直线与椭圆相切得切点的 x 从标分别为则轨迹方程为 9. 慧星 “紫金山一号” 是南京天文台发现的, 它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆, 测得轨道的近日点距太阳中心 1.486天文单位, 远日

46、点距太阳中心 5.563天文单位 ( 1天文单位是太阳到地球的平均距离, 约1.5108 km ), 且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上, 求轨道的方程. xyoF2BF1A1.4865.563解:如图建立坐标系,则有 5.563-c = 1.486+c,解得 c = 2.0385,则 a = 5.563-2.0385= 3.5245,于是 b22.8752. 慧星轨道方程为5.563-c1.486+c 10. 已知地球运行的轨道是长半轴长 a=1.50108 km, 离心率 e = 0.0192 的椭圆, 且太阳在这个椭圆的一个焦点上, 求地球到太阳的最大和最小距离. xyoBF1AF

47、2解:由题设中 a 与 e 的值求得c = 0.0288108如图,地球距太阳最大距离为| BF2 | = a+c= 1.5288108 km;最小距离为| AF2 | = a-c= 1.4712108 km.答: 地球到太阳的最大距离约为 1.5288108 km,最小距离约为 1.4712108 km.ABCDEFGHRSTORSTLMN思路:若能在坐标系中求得点 L, M, N 的坐标满足即得到证明. 4. 如图, 矩形ABCD中, |AB|=8, |BC|=6. E, F, G, H 分别是矩形四条边的中点, R, S, T 是线段OF 的四等分点, R, S, T 是线段 CF 的四

48、等分点. 请证明直线 ER 与 GR, ES 与 GS, ET 与 GT 的交点 L, M, N 在同一个椭圆 上.椭圆 的方程, 问题B 组ABCDEFGHRSTORSTLMN证明:建立如图的坐标系,xy则各点的坐标为分别求得直线ER与直线GR的方程为ER: 3x-y-3=0,GR: 3x+16y-48=0,解交点得 4. 如图, 矩形ABCD中, |AB|=8, |BC|=6. E, F, G, H 分别是矩形四条边的中点, R, S, T 是线段OF 的四等分点, R, S, T 是线段 CF 的四等分点. 请证明直线 ER 与 GR, ES 与 GS, ET 与 GT 的交点 L, M

49、, N 在同一个椭圆 上.F(4, 0), E(0, -3), G(0, 3),得 R(1, 0), S(2, 0), T(3, 0).B 组ABCDEFGHRSTORSTLMN证明:建立如图的坐标系,xy则各点的坐标为分别求得直线ER与直线GR的方程为ER: 3x-y-3=0,GR: 3x+16y-48=0,解交点得 4. 如图, 矩形ABCD中, |AB|=8, |BC|=6. E, F, G, H 分别是矩形四条边的中点, R, S, T 是线段OF 的四等分点, R, S, T 是线段 CF 的四等分点. 请证明直线 ER 与 GR, ES 与 GS, ET 与 GT 的交点 L, M

50、, N 在同一个椭圆 上.F(4, 0), E(0, -3), G(0, 3),得 R(1, 0), S(2, 0), T(3, 0).将此点的坐标代入椭圆方程左边得同理解得检验知 M, N 的坐标满足椭圆方程,=1,点 L 在椭圆 上.点 L, M, N 都在椭圆 上.复习与提高复习与提高返回目录知识要点1. 曲线的方程 (1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么, 这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.知识要点2. 求曲线方程的基本步骤 (1) 建立适当的坐标系, 设曲线上任一点的坐标为 M(x, y);(2) 写出满足题设

51、条件 p 的点 M 的集合P= M | p(M) ;(3) 用坐标表示条件 p(M), 列出方程 f(x, y)=0;(4) 化方程 f(x, y)=0 为最简形式;(5) 检验, 如果有不在曲线上的解, 应去掉.知识要点3. 椭圆及其标准方程到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹.ab 时, 焦点在 x 轴上;ba 时, 焦点在 y 轴上.知识要点4. 椭圆的几何性质F1F2xyOaacbA1A2B1B2 (1) 关于原点成中心对称, 关于坐标轴成轴对称. (2) 在直线 x=a, y=b 所围成的矩形方框内.知识要点4. 椭圆的几何性质F1F2xyOaacbA1A2B1B2(3) 顶点A1

52、(-a, 0), A2(a, 0),B1(0, -b), B2(0, b).a, b, c 是直角三角形三边长,(4) 长轴和短轴长轴长 |A1A2| =2a.短轴长 |B1B2| =2b.b2+c2=a2.知识要点4. 椭圆的几何性质F1F2xyOaacbA1A2B1B2焦距与长轴长的比0eb0)两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 若PF1F2的面积为 9, 则 b= .xyOF1F2P分析:已知条件:(1) 由 可用勾股定理.(2) 由三角形面积可得 |PF1|PF2|.(3) 由定义可得 |PF1|+|PF2|=2a.(4) 椭圆中有 a2=b2+c2.由这些关系式进行运算. (

53、用好定义: 椭圆上一点到两焦点的距离之和等于 2a) 例1. 已知 F1, F2 是椭圆 C: (ab0)两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, 且 若PF1F2的面积为 9, 则 b= .xyOF1F2P解:设 |PF1|=m, |PF2|=n.则 m2+n2=(2c)2,m+n=2a,将式平方得m2+n2+2mn=4a2.将式代入上式得4c2+36=4a2,得 a2-c2=9,即 b2=9,b=3.3 例2. 设 F1, F2 是椭圆 E: (ab0) 的左、右焦点, P 为直线 上一点, F2PF1 是底角为30的等腰三角形, 则 E 的离心率为 .分析:已知条件:如图,(1) 由等腰三角

54、形得 |PF2|=2c.xyOF1F2PD(2) 由直线 得 |DF2|=(3) 由等腰三角形两底角为30得PF2D=60.在 RtPDF2中即可写出 a 与 c 的关系.离心率就是 a 与 c 的关系. (求离心率就是找 a, b, c 的一个关系式) 例2. 设 F1, F2 是椭圆 E: (ab0) 的左、右焦点, P 为直线 上一点, F2PF1 是底角为30的等腰三角形, 则 E 的离心率为 .解:如图,在等腰三角形得 F2PF1中.xyOF1F2PD |DF2|=|PF2|cosPF2D,F2PF1 的外角PF2D=60.在 RtPDF2中,|PF2|=|F1F2|=2c.由直线

55、得即得 例3. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则 的最大值为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8xyOFP分析:目标:的函数式.将 写成一个含变量因为点 O 和点 F 已知,则数量积中的变量就是点 P 的坐标.点 P 在椭圆上, 坐标就有个范围.由坐标的范围可能确定最大值. 例3. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的中心和左焦点, 点 P 为椭圆上的任意一点, 则 的最大值为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 8xyOFP解:则设点 P 的坐标为 (x, y).由椭圆方程得左焦点F(-1, 0).(x, y

56、)(x+1, y)=x2+y2+x此二次函数在 -2, +)上是增函数.在椭圆中, x 的范围是-2, 2.当 x=2 时函数取得最大值6.C 例4. 已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 满足 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( ) (A) (0, 1) (B) (C) (D)分析:条件 的几何意义:两焦点 F1, F2 是定点, 点 M 的轨迹是:以线段 F1F2 为直径的圆.由点 M 在椭圆内部得圆在椭圆内部.xyOF1MF2于是题目转化为 “以F1F2为直径的圆在椭圆的内部应满足的条件”.则只需半径小于短半轴即可. (增强几何意识, 从代数的几何意义入手有时更直观

57、) 例4. 已知 F1, F2 是椭圆的两个焦点, 满足 的点 M 总在椭圆内部, 则椭圆离心率的取值范围是 ( ) (A) (0, 1) (B) (C) (D)解:由 知即点 M 的轨迹是以线段 F1F2 为直径的圆.要使圆在椭圆内部, 需xyOF1MF2cb.得 c2b0) 的左焦点为 F, 右顶点为A, 点 B 在椭圆上, 且 BFx 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P, 若 则椭圆的离心率是 ( ) (A) (B) (C) (D) 6. 过椭圆 (ab0) 的左焦点F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若F1PF2=60, 则椭圆的离心率为 ( ) (A) (B) (C) (D) 7. 设椭圆 (ab0) 的左右焦点分别为 F1, F2, 点 P(a, b) 满足 |PF2|=|F1F2|. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, 若直线PF2 与圆 (x+1)2+(y- )2=16, 相交于 M