数理统计-方差与标准差

1、心理和教育方面面的实验或调调查所得到的的数据，大都都具有随机变变量的性质。而而对这些随机机变量的描述述，仅有前一一章所讲集中中趋势的度量量是不够的。集集中量数只描描述数据的集集中趋势和典典型情况，它它还不能说明明一组数据的的全貌。数据据除典型情况况之外，还有有变异性的特特点。对于数数据变异性即即离中趋势进进行度量的一一组统计量，称称作差异量数数，这些差异异量数有标准准差或方差，全全距，平均差差，四分差及及各种百分差差等等。第一节 方差与标准准差方差(Variiance)也称变异数数、均方。作作为统计量，常常用符号S2表示，作为为总体参数，常常用符号2表示。它是是每个数据与与该组数据平平均数之差

2、乘乘方后的均值值，即离均差差平方后的平平均数。方差差，在数理统统计中又常称称之为二阶中中心矩或二级级动差。它是是度量数据分分散程度的一一个很重要的的统计特征数数。标准差(Standdard ddeviattion)即即方差的平方方根，常用SS或SD表示。若若用表示，则是是指总体的标标准差，本章章只讨论对一一组数据的描描述，尚未涉涉及总体问题题，故本章方方差的符号用用S2，标准差的的符号用S。符号不同同，其含义不不完全一样，这这一点望读者者能够给予充充分的注意。一、方差与标准准差的计算(一)未分组的的数据求方差差与标准差基本公式是： （3l a） （31b）表31说明公公式31a与31b的计算步

3、步骤表31 未未分组的数据据求方差与标标准差Xi XiXx x2(XiX)2 Xi2 6 5 7 4 6 8 0 -1 l -2 0 2 0 l 1 4 0 4 36 25 49 16 36 64 N6 Xi36 x0 x210 Xi2226 应用31公式式的具体步骤骤：先求平均数数X36/66；计算Xi -X；求(Xi - X)2即离均差x2；将各离均差差的平方求和和 (x2)；代入公式31a与31b求方差与与标准差。具具体结果如下下： S2=10/6=1.67 (二)已分组的的数据求标准准差与方差数据分组后，便便以次数分布布表的形式出出现，这时原原始数据不见见了，若计算算方差与标准准差可用

4、下式式： (33a) (33b)式中d(Xcc - AMM) / ii，AM为估计平平均数Xc为各分组区区间的组中值值f为各组区间的的次数N=f 为为总次数或各各组次数和i为组距。下面以表188数据为例，说说明分组数据据求方差与标标准差的步骤骤:表32 次次数分布表求求方差与标准准差 分组区间 Xc f d fd fd2 计 算 96- 93- 90- 87- 84- 81- 78- 75- 72- 69- 66- 63- 60- 97 94 91 88 85 82 79 76 73 70 67 64 61 2 3 4 8 11 17 19 14 10 7 3 l 1 6 5 4 3 2 1

5、0 1 2 3 4 5 6 12 15 16 24 22 17 0 14 20 21 12 5 6 72 75 64 72 44 17 0 14 40 63 48 25 36 S2=32* （570/100 -（28/100）2）=50.5944 S7113 i=3 f100 fd=28 fd2=570 具体步步骤： 设估估计平均数AAM，任选一一区间的Xcc充任； 求dd 用ff乘d，并计算fd； 用dd与fd相乘得fd2，并求fd2； 代入入公式计算。二、方差与标准准差的意义 方差与标准差是是表示一组数数据离散程度度的最好的指指标。其值越越大，说明离离散程度大，其其值小说明数数据比较集中中

6、，它是统计计描述与统计计分析中最常常应用的差异异量数。它基基本具备一个个良好的差异异量数应具备备的条件：反应灵敏，每每个数据取值值的变化，方方差或标准差差都随之变化化；有一定的计计算公式严密密确定；容易计算；适合代数运运算；受抽样变动动的影响小，即即不同样本的的标准差或方方差比较稳定定；简单明了，这这一点与其他他差异量数比比较稍有不足足，但其意义义还是较明白白的。除上述之外，方方差还具有可可加性特点，它它是对一组数数据中造成各各种变异的总总和的测量，能能利用其可加加性分解并确确定出属于不不同来源的变变异性(如组间、组组内等)并可进一步步说明每种变变异对总结果果的影响，是是以后统计推推论部分常用

7、用的统计特征征数。在描述述统计部分，只只需要标准差差就足以表明明一组数据的的离中趋势了了。标准差比比其他各种差差异量数具有有数学上的优优越性，特别别是当已知一一组数据的平平均数与标准准差后，便可可知占一定百百分比的数据据落在平均数数上下各两个个标准差，或或三个标准差差之内。对于于任何一个数数据集合，至至少有1一1/h2的数据落在平平均数的h(大于1的实数)个标准差之之内。(切比雪夫定定理)。例如某组组数据的平均均数为50，标准差差是5，则至少有有75(1一1/22)的数据落在在50-2*5至50+2*5即40至60之间，至至少有889(1一1/32)的数据落在在50-3*5至50+3*5356

8、5之间 (h=2，1-1/hh2=1-1/22=3/4=75%，h=3, -1/h22=1-1/32=8/9=88.9%)。如果数据是呈正正态分布，则则数据将以更更大的百分数数落在平均数数上下两个标标准差之内(95)或三个标准准差之内 (99.)。三、由各小组的的标准差求总总标准差 由于方差具有可可加性特点，在在已知几个小小组的方差或或标准差的情情况下，可以以计算出几个个小组联合在在一起的总的的方差或标准准差。这种计计算常在科研研协作中应用用，例如先了了解各班学生生情况，再了了解全年级情情况；或先了了解各年级情情况，再了解解全校总的情情况。但这种种方差或标准准差的合成，只只有在应用同同一种观测

9、手手段，测量的的是同一个特特质，只是样样本不同时，才才能应用。计算总方差或总总标准差的公公式如下； (34a) (34b) 式中 为总方差 为总标准差差 N1Nn为各小组数数据个数 为总平均数 为各小组的的平均数四、标准差的应应用 (一)差异系数数(Coeffficieent off variiationn)当所观测的样本本水平比较接接近，而且是是对同一个特特质使用同一一种测量工具具进行测量时时，要比较不不同样本之间间离散程度的的大小，一般般可直接比较较标准差或方方差的大小-标准差的值值大说明该组组数据较分散散，若标准差差小，则说明明该组数据较较集中。标准准差的单位与与原数据的单单位相同，因因

10、而有时称它它为绝对差异异量。在对不不同样本的观观测结果的离离散程度进行行比较时，常常会遇到下述述情况：两个或多个个样本所测的的特质不同，即即所使用的观观测工具不同同，如何比较较其离散程度度?即使使用的的是同+种观测工具具，但样本的的水平相差较较大时，如何何比较它们的的离散程度?在第一种情情况下，标准准差的单位不不同，显然不不能直接比较较标准差的大大小。第二种种情况虽然标标准差的单位位相同，但两两样本的水平平不同，这可可从平均数的的大小明显不不同确定。通通常情况下，平平均数的值较较大，其标准准差的值一般般也较大，平平均数的值较较小，其标准准差的值也较较小。这种情情况下，若直直接比较标准准差取值的

11、大大小，借以比比较不同样本本的分散情况况是无意义的的。可见，上上述两种情况况下，若用绝绝对差异量进进行直接比较较以确定其分分散程度的大大小是不行的的，这时可用用相对差异量量进行比较。最最常用的相对对差异量就是是差异系数。差差异系数，又称变异系系数、相对标标准差等，通通常用符号CCV表示，其其计算如下，CV=S / M * 1100 (335) 式中S为某样本本的标准差M为该样本的平平均数。差异系数在心理理与教育研究究中常用于：同一团体不不同观测值离离散程度的比比较，对于水平相相差较大，但但进行的是同同一种观测的的各种团体，进进行观测值离离散程度的比比较。例2 已已知某小学一一年级学生的的平均体

12、重为为25公斤，体体重的标准差差是3.7公斤，平平均身高1110厘米，标标准差为6.2厘米，问问体重与身高高的离散程度度哪个大?解： CV体重重3.7 / 25 * 10014.88 CVV身高6.2 / 110 * 10005.644通过比较差异系系数可知，体体重的分散程程度比身高的的分散程度大大(14.885.644)。例3 通通过同一个测测验，一年级级(7岁)学生的平均均分数为600分，标准差差为4.022分，五年级级(14岁)学生的平均均分数为 880分，标准准差为6.004分，问这这两个年级的的测验分数中中哪一个分散散程度大?解： CV一一年级4.02 / 60 * 1000= 6.

13、77 CCV五年级6.04 /80 * 100= 7.555答；五年级的测测验分数分散散程度大。在应用差异系数数比较相对差差异大小时，一一般应注意测测量的数据要要保证具有等等距的尺度，这这时计算的平平均数和标准准差才有意义义，应用差异异系数进行比比较也才有意意义。另外，观观测工具应具具备绝对零，这这时应用差异异系数去比较较分散程度效效果才更好。因因此，差异系系数常用于重重量、长度、时时间，编制得得好的测验量量表范围内。第第三，差异系系数只能用于于一般的相对对差异量的描描述上，至今今尚无有效的的假设检验方方法，因此对对差异系数不不能进行统计计推论。(二)标准分数数(stanndard score

14、e)标准分数又称基基分数或z分数，是以以标准差为单单位表示一个个分数在团体体中所处位置置的相对位置置量数。1计算公式； Z = （X ）/ S (36)式中X代表原始始数据，X为一组数据据的平均数，S为标准差。从公式36可以明了，Z分数的意义，它是一个数与平均数之差除以标准差所得的商数，它无实际单位。如果了个数小于平均数，其值为负数，如果一个数的值大于平均数，其值为正数，如果一个数的值等于平均数，其值为零。可见Z分数可以表明原数目在该组数据分布中的位置，故称为相对位置量数。例4 某某班平均成绩绩为90分，标准准差为3分，甲生得得942分，乙生得得891分，求甲乙乙学生的Z分数各是多多少?解：根

15、据公式336Z甲=(94.290) / 3 = 1.4Z乙=(89.190) / 3 = -0.3Z分数表示其原原分数在以平平均数为中心心时的相对位位置，这比使使用平均数和和原分数表达达了更多的信信息。 2Z分数的性性质 在一组数据中中所有由原分分数转换得出出的z分数之和为为零，其Z分数的平均均数亦为零。一组数据中各各z分数的标准准差为1。3Z分数的应应用Z分数可用于于比较分属性性质不同的观观测值在各自自数据分布中中相对位置的的高低。因为为z分数可以表表明各原数目目在该组数据据分布中的相相对位置，它它无实际单位位。这样不同同观测值的比比较便可进行行。这里所说说的数据分布布中相对位置置包括两个意

16、意思，一个是是表示某原数数目以平均数数为中心以标标准差为单位位所处距离的的远近与方向向；另一个意意思是表示某某原数目在该该组数据分布布中的位置，即即在该数目以以下或以上的的数据各有多多少，如果在在一个正态分分布(或至少是一一个对称分布布)中，这两个个意思可合二二为一。但在在一个偏态分分布中，这两两个意思就不不能统一。这这一点在应用用z分数时要特特别注意。例例如有一人的的身高是1770厘米，体体重是65公斤(也可以是另另一人的体重重)，究竟身高高还是体重在在各自的分布布中较高?这是属于两两种不同质的的观测，不能能直接比较。但但若我们知道道各自数据分分布的平均数数与标准差，这这样我们可分分别求出z

17、分数进行比比较。设Z身高1.7000.5，Z体重65=1.22，则可得出出该人的体重重离平均数的的距离要比身身高离平均数数的距离远，即即该人在某团团体中身高稍稍偏高，而体体重更偏重些些。如果该团团体，身高与与体重的次数数分布为正态态，我们还可可更确切地知知道该人的身身高与体重在在次数分布的的相对位置是是多少，从而而进行更确切切(或更数量化化)的比较。 、当已知各不同同质的观测值值的次数分布布为正态时，可可用z分数求不同同的观测值的的总和或平均均值，以示在在团体中的相相对位置。在在算术平均数数一节中讲到到，在计算平平均数时，要要求数据必须须同质，否则则会使平均数数没有意义，但但有时需要将将不同质

18、的数数据合成，这这时可采用ZZ分数。例如如已知高考的的各科成绩分分布是正态分分布，但是由由于各科的难难易度不同，因因此，各科成成绩就属于不不同质的数据据。以前常采采取总和分数数或求平均分分数的方法，这这是不科学的的。如果应用用Z分数求总和和或平均数则则更有意义。类类似这种情况况有期末成绩绩总和等。举举例如下表3-3 利利用Z分数求总和和 科目 原始分数 甲 乙 全体考生 平均数 标准差 Z分数 甲 乙 语文 政治 外语 数学 理化 85 89 70 62 68 72 53 40 72 87 70 lO 65 5 69 8 50 6 75 8 1.500 1.900 1.000 -0.600 0

19、.125 0.375 0.500 -1.667 0.315 1.500 总计 348 350 2.500 1.505 假设二例是高等等学校入学考考试两名考生生甲与乙的成成绩分数。如如果按总分录录取则取乙生生，若按标准准分数录取则则应取甲生；为何会出现现如此悬殊的的差别?这是由于不不恰当地计算算总和分数造造成的，因为为各科成绩难难易度不同，分分散程度也不不同；：各门门学科的成绩绩分数是不等等价的，亦即即数据是不同同质的，这时时应用总和分分数不够科学学，故此出现现这类问题，科科学的方法应应当用Z分数合成。从从Z分数可知甲甲生多数成绩绩是在平均数数以上，即使使有两种成绩绩低于平均数数，差别也小小。总之成绩绩较稳定且在在分布较高处处，而乙生则则不然。可见见应用Z分数更趋合合理。表示标准测验验分数 经过标准化化的心理与教教育测验，如如果其常模分分数分布接近近正态分布，常常常转换成正正态标准分数数。转换公式式为 Z= aZ + b (37)式